Файл: Диф_ур часть1я!.doc

(1.16)

Така функція називається інтегруючим множником.

1.6 Індивідуальні завдання

1 Для даного диференційного рівняння методом ізоклін побудувати інтегральну криву, яка проходить через точку , згідно варіанту:

1.6.1 ,	1.6.2 ,
1.6.3 ,	1.6.4 ,
1.6.5 ,	1.6.6 ,
1.6.7 ,	1.6.8 ,
1.6.9 ,	1.6.10 ,
1.6.11 ,	1.6.12 ,
1.6.13 ,	1.6.14 ,
1.6.15 ,	1.6.16 ,
1.6.17 ,	1.6.18 ,
1.6.19 ,	1.6.20 ,

2 Визначити тип диференціального рівняння та знайти його загальний інтеграл, згідно варіанту

1.6.1	1.6.3
1.6.3	1.6.4
1.6.5	1.6.6 .
1.6.7	1.6.8
1.6.9	1.6.10
1.6.11	1.6.12
1.6.13	1.6.14
1.6.15	1.6.16
1.6.17	1.6.18
1.6.19	1.6.20

3 Визначити тип диференційного рівняння та знайти його загальний інтеграл, згідно варіанту:

1.6.1	1.6.2
1.6.3	1.6.4
1.6.5	1.6.6
1.6.7	1.6.8
1.6.9	1.6.10
1.6.11	1.6.12
1.6.13	1.6.14
1.6.15	1.6.16
1.6.17	1.6.18
1.6.19	1.6.20

4 Визначити тип диференційного рівняння та знайти його загальний інтеграл, згідно варіанту:

1.6.1	1.6.2
1.6.3	1.6.4
1.6.5	1.6.6
1.6.7	1.6.8
1.6.9	1.6.10
1.6.11	1.6.12
1.6.13	1.6.14
1.6.15	1.6.16
1.6.17	1.6.18
1.6.19.	1.6.20

5 Визначити тип диференційного рівняння та розв’язати задачу Коші, згідно варіанту:

1.6.1 ,	1.6.2 ,
1.6.3 ,	1.6.4 ,
1.6.5 ,	1.6.6 ,
1.6.7 ,	1.6.8 ,
1.6.9 ,	1.6.10 ,
1.6.11 ,	1.6.12 ,
1.6.13 ,	1.6.14 ,
1.6.15 ,	1.6.16 ,
1.6.17 ,	1.6.18 ,
1.6.19 ,	1.6.20 ,

6 Визначити тип диференційного рівняння та розв’язати задачу Коші, згідно варіанту:

1.6.1 ,.
1.6.2 ,
1.6.3 ,
1.6.4 ,
1.6.5 ,
1.6.6 ,
1.6.7 ,
1.6.8 ,
1.6.9 ,
1.6.10 ,
1.6.11 ,
1.6.12 ,
1.6.13 ,
1.6.14 ,
1.6.15 ,
1.6.16 ,
1.6.17 ,
1.6.18 ,
1.6.19 ,
1.6.20 ,

7 Визначити тип диференційного рівняння та розв’язати задачу Коші, згідно варіанту:

1.6.1 ,.
1.6.2 ,
1.6.3 ,
1.6.4 ,
1.6.5 ,
1.6.6 ,
1.6.7 ,
1.6.8 ,
1.6.9 ,
1.6.10 ,
1.6.11 ,
1.6.12 ,
1.6.13 ,
1.6.14 ,
1.6.15 ,
1.6.16 ,
1.6.17 ,
1.6.18 ,
1.6.19 ,
1.6.20 ,

---

8 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

1.6.1
1.6.2
1.6.3
1.6.4
1.6.5
1.6.6
1.6.7
1.6.8
1.6.9
1.6.10
1.6.11
1.6.12
1.6.13
1.6.14
1.6.15
1.6.16
1.6.17
1.6.18
1.6.19
1.6.20

1.7 Приклади виконання задач самостійної роботи №1

Приклад 1.7.1 За допомогою ізоклін побудувати інтегральні криві рівняння

Розв’язок: Покладемо , отримаємо рівняння сімейства ізоклін .

Таким чином, ізоклінами є прямі, які проходять через початок координат. При отримаємо ізокліну , при - ізокліну , при = ізокліну . Розглядаючи перевернуте рівняння знайдемо ізокліну , у всіх точках якої інтегральні криві мають вертикальні дотичні. За допомогою отриманих ізоклін будуємо інтегральні криві, як на рис.1.

Рисунок 1.1 – Наближений графік розв’язку рівняння

Приклад 1.7.2 Розв’язати рівняння

(1.17)

Розв’язок: Перетворимо рівняння (1.17) до вигляду

=>

Ділимо обидві частини рівняння на . Отримаємо

Змінні розділені. Інтегруємо обидві частини

=>

При діленні на могли бути втрачені розв’язки і . Перевіркою з’ясовуємо, що - є розв’язком рівняння (1.17), а -ні.

Приклад 1.7.3 Знайти розв’язок рівняння

, (1.18)

який задовольняє початковій умові

(1.19)

Розв’язок: Маємо . Інтегруючи останнє рівняння, отримуємо

(1.20)

Вважаючи в (1.20) , будемо мати . Підставляючи С в (1.20), отримаємо або .

Приклад 1.7.4 Знайти розв’язок задачі Коші

, (1.21)

Розв’язок: Приведемо рівняння до вигляду та зробимо заміну змінних . Тоді , і рівняння набуває вигляду .

Розділяємо змінні та інтегруємо => => .

Повертаємось до старої змінної , - загальний розв’язок рівняння (1.21).

Знайдемо розв’язок в точці , : . Отже, частинний розв’язок має вигляд .

Приклад 1.7.5 Розв’язати рівняння

(1.22)

Розв’язок: Функції , мають другий ступень, тому рівняння однорідне. Покладемо . Тоді . Підставляючи в (1.22), отримаємо => .

Розділяємо змінні та інтегруємо => =>

Повертаючись до старої змінної, отримаємо загальний інтеграл рівняння .

Окрім того, маємо розв’язок , який було втрачено при діленні на .

Приклад 1.7.6 Розв’язати рівняння

(1.23)

Розв’язок: Знайдемо точку перетину прямих

,

Зробимо заміну змінних . Рівняння (1.23) набуде вигляду

(1.24)

Рівняння (1.24) є однорідним. Покладемо . Отримаємо . Звідки . Розділимо змінні . Інтегруючи, знаходимо , .

Повертаємось до змінних :

, або

Приклад 1.7.7 Розв’язати рівняння

(1.25)

Розв’язок: Зробимо підстановку , . Підставимо в (1.25)

або .

Рівняння буде однорідним, якщо ступені усіх доданків однакові . Звідки , . Отже, маємо і рівняння (1.25) набуває вигляду , яке є однорідним. Покладемо . Тоді , або .

Розділюючи змінні, отримуємо або .

Повертаючись до старих змінних, отримуємо загальний інтеграл рівняння (1.25)

---

Приклад 1.7.8 Розв’язати рівняння

, (1.26)

Розв’язок: Зробимо заміну змінних .

Рівняння (1.26) набуде вигляду , або

(1.27)

Рівняння (1.27) – лінійне неоднорідне. Відкидаючи праву частину, розв’язуємо лінійне однорідне рівняння

(1.28)

Розділимо змінні . Інтегруючи, отримуємо => =>

Вважаючи функцією, залежною від , застосовуємо метод варіації довільної сталої.

(1.29)

(1.30)

Підставимо (1.29), (1.30) у рівняння (1.26)

=> => .

Звідки

Підставимо в рівняння (1.29) та одержимо загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння (1.27). Повернемося до змінної

.

Приклад 1.7.9 Розв’язати рівняння 21ік каті

(1.31)

Розв’язок: Знайдемо частинний розв’язок рівняння 21ік каті і зробимо заміну змінних

(1.32)

Підставимо (1.32) в рівняння (1.31)

, або

(1.33)

Одержали рівняння Бернуллі з . Зробимо заміну

або

Знайдемо розв’язок лінійного неоднорідного рівняння.

,

=>

(1.34)

Застосуємо метод варіації довільної сталої

(1.35)

Підставимо і в лінійне неоднорідне рівняння

Інтегруючи, одержимо

(1.36)

Підставляючи (2.36) в рівняння (1.35) одержимо загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння

(1.37)

Послідовно повертаємось до змінних та

,

.

Приклад 1.7.10 Знайти загальний розв’язок рівняння

(1.38)

Розв’язок: , . Перевіримо виконання умови : , . Умова виконується. Знаходимо загальний розв’язок рівняння (1.38)

Приклад 1.7.11 Знайти загальний розв’язок рівняння

(1.39)

Розв’язок: , . Перевіримо виконання умови : , . Умова не виконується. Підберемо інтегруючий множник, так щоб виконалася умова , або . Звідки

(1.40)

Припустимо, що і рівняння (1.39) набуває вигляду

.

Рівняння є рівнянням в повних диференціалах. Його ліву частину можна звести до вигляду . Звідки і загальний інтеграл даного рівняння є .

---

2 Самостійна робота № 2

Рівняння, які не розв’язані відносно похідної. Рівняння Лагранжа та Клеро. Особливі розв’язки

Рівняння, не розв’язані відносно похідної в загальному випадку мають вигляд

(2.1)

Методи розв’язування таких рівнянь залежать від їх вигляду:

а) розв’язати рівняння відносно , тобто з рівняння (2.1) виразити через та . Отримаємо одне чи декілька рівнянь вигляду , кожне з яких розв’язується окремо;

б) метод введення параметру. Нехай рівняння (2.1) можна розв’язати відносно , тобто записати у вигляді . Вводячи параметр

(2.2)

отримаємо

(2.3)

Обчислимо повний диференціал від обох частин рівності (2.3) та замінімо на

Якщо розв’язок цього рівняння знайдено у вигляді , то скориставшись рівністю (2.3), отримаємо розв’язок вихідного рівняння в параметричному запису

,

З допомогою цього ж методу розв’язуються рівняння вигляду ;

в) рівняння Лагранжа має вигляд

(2.4)

Покладаючи , методом диференціювання з заміною на , зводимо це рівняння до лінійного відносно , як функції . Нехай розв’язок лінійного рівняння. Тоді загальний розв’язок рівняння Лагранжа у параметричній формі має вигляд

, ;

г) рівняння Клеро має вигляд

(2.5)

Для розв’язання рівняння (2.5) використовується той самий метод, що й для рівняння Лагранжа. Загальний розв’язок має вигляд .

Розв’язок диференціального рівняння (2.1) називається особливим, якщо у кожній його точці порушується властивість єдиності, тобто через кожну його точку , окрім цього розв’язку проходить і іншій розв’язок, який має в точці ту ж саму дотичну, що й розв’язок але не співпадає з ним в досить малому околі . Графік особливого розв’язку називається особовою інтегральною кривою рівняння (2.1). Якщо функція та її часткові похідні і неперервні за всіма аргументами , то будь-який особливий розв’язок рівняння (2.1) задовольняє також рівнянню

(2.6)

Таким чином, для того щоб знайти особливі розв’язки рівняння (2.1) треба вилучити з рівнянь (2.1), (2.6). Отримане в результаті цього рівняння

(2.7)

називається - дискримінантом рівняння (2.1), а крива (2.7) називається - дискримінантною кривою. Часто - дискримінантна крива розпадається на декілька гілок. Тоді треба перевірити, чи є кожна окрема гілка розв’язком рівняння (2.1) і якщо є, чи буде він особливим, тобто чи порушується його єдиність в кожній точці.

2.1 Індивідуальні завдання

1 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

2.1.1	2.1.2
2.1.3	2.1.4
2.1.5	2.1.6
2.1.7	2.1.8
2.1.9	2.1.10
2.1.11	2.1.12
2.1.13	2.1.14
2.1.15	2.1.16
2.1.17	2.1.18
2.1.19	2.1.20

2 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

2.1.1	2.1.2
2.1.3	2.1.4
2.1.5	2.1.6
2.1.7	2.1.8
2.1.9	2.1.10
2.1.11	2.1.12
2.1.13	2.1.14
2.1.15	2.1.16
2.1.17	2.1.18
2.1.19	2.1.20

---

3 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

2.1.1	2.1.2
2.1.3	2.1.4
2.1.5	2.1.6
2.1.7	2.1.8
2.1.9	2.1.10
2.1.11	2.1.12
2.1.13	2.1.14
2.1.15	2.1.16
2.1.17	2.1.18
2.1.19	2.1.20

4 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

2.1.1	2.1.2
2.1.3	2.1.4
2.1.5	2.1.6
2.1.7	2.1.8
2.1.9	2.1.10
2.1.11	2.1.12
2.1.13	2.1.14
2.1.15	2.1.16
2.1.17	2.1.18
2.1.19	2.1.20

5 Знайти лінію, яка проходить через т. і таку, що в будь-якій її точці нормальний вектор з кінцем на вісі , має довжину, яка дорівнює , та утворює гострий кут з додатнім напрямом вісі .

2.1.1 ,	2.1.2 ,
2.1.3 ,	2.1.4 ,

Знайти лінію, яка проходить через т. , якщо відрізок будь-якої нормалі, який знаходиться між віссю віссю та ділиться точкою лінії у відношенні (рахуючи від вісі ).

2.1.5 ,	2.1.6 ,
2.1.7 ,	2.1.8 ,

Знайти лінію, яка проходить через т. , якщо відрізок будь-якої її дотичної, який знаходиться між точкою дотику віссю , ділиться в точці дотику з віссю абсцис у відношенні (рахуючи від вісі ).

2.1.9 ,	2.1.10 ,
2.1.11 ,	2.1.11. ,

Знайти лінію, яка проходить через т. , якщо відрізок будь-якої її дотичної, який знаходиться між віссю та віссю , ділиться в точці дотику у відношенні (рахуючи від вісі ).

2.1.13 ,	2.1.14 ,
2.2.15 ,	2.1.16 ,

Знайти лінію, яка проходить через т. і володіє властивістю, що в будь-якій точці дотичний вектор з кінцем на вісі має проекцію на вісь , яка дорівнює .

2.1.17 ,	2.1.18 ,
2.1.19 ,	2.1.20 ,

2.2 Приклади виконання задач самостійної роботи №2

Приклад 2.2.1 Розв’язати рівняння `

(2.8)

Розв’язок: Розв’язавши це рівняння відносно будемо мати

або , , звідки ,

Приклад 2.2.2 Розв’язати рівняння

(2.9)

та знайти особливий розв’язок.

Розв’язок: Вводимо параметр ,

(2.10)

Беремо повний диференціал від обох частин рівності (2.10) та замінюємо на :

або

Розв’язуємо отримане рівняння

(2.11)

а) Якщо , то скорочуємо на : , .

Підставляючи це в (2.10), отримаємо розв’язок у параметричній формі

, (2.12)

В даному випадку розв’язок можна знайти в явному вигляді, виключаючи параметр з рівнянь (2.12)

(2.13)

б) Нехай в (2.11) . Підставляючи в (2.10) отримаємо розв’язок . Знайдемо особливі розв’язки рівняння (2.9). Знайдемо похідну від обох його частин по :

(2.14)

Виключимо з рівнянь (2.9), (2.14). З (2.14) маємо , підставляючи це в (2.9) отримаємо рівняння дискримінантної кривої

(2.15)

---