ВУЗ: Смоленский областной казачий институт промышленных технологий и бизнеса
Категория: Лекция
Дисциплина: Моделирование систем
Добавлен: 19.11.2018
Просмотров: 1853
Скачиваний: 18
83
ков. Поток вкладчиков поступает в сберкассу с интенсивностью
30
=
λ
чел./ч.
Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного
вкладчика
3
t
=
обс
мин.
Определить характеристики сберкассы как объекта СМО.
РЕШЕНИЕ.
Интенсивность
потока
обслуживания
333
,
0
3
/
1
t
/
1
=
=
=
обс
μ
,
интенсивность
нагрузки
5
1
мин
чел
333
0
мин
чел
60
30
мин
чел
333
0
час
чел
30
p
,
/
.
,
/
.
/
.
,
/
.
=
=
=
=
μ
λ
.
1) Вероятность простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня
(см. предыдущую задачу №3):
(
)
210
,
0
5
,
1
3
!
3
5
,
1
!
3
5
,
1
!
2
5
,
1
!
1
5
,
1
!
0
5
,
1
1
P
4
3
2
1
0
0
=
−
+
+
+
+
=
.
2) Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми:
118
,
0
21
,
0
!
3
5
,
1
P
3
n
=
=
(
)
.
3) Вероятность очереди:
118
,
0
21
,
0
5
,
1
3
!
3
5
,
1
P
4
=
−
=
оч
.
4) Среднее число заявок в очереди:
(
) (
)
236
,
0
21
,
0
5
,
1
3
!
1
3
5
,
1
L
2
4
=
−
−
=
оч
.
5) Среднее время ожидания заявки в очереди:
472
,
0
5
,
0
236
,
0
t
=
=
оч
мин.
6) Среднее время пребывания заявки в СМО:
472
,
3
3
472
,
0
t
=
+
=
смо
мин.
7) Среднее число свободных каналов:
5
,
1
5
,
1
3
n
=
−
=
св
.
8) Коэффициент занятости каналов обслуживания:
5
,
0
3
5
,
1
k
=
=
з
.
9) Среднее число посетителей в сберкассе:
736
,
1
5
,
1
236
,
0
z
=
+
=
чел.
ОТВЕТ. Вероятность простоя контролеров-кассиров равна 21% рабочего
времени, вероятность посетителю оказаться в очереди составляет 11,8%,
среднее число посетителей в очереди 0,236 чел., среднее время ожидания по-
сетителями обслуживания 0,472 мин.
84
5. (Задача с применением СМО с ожиданием и с ограниченной длиной
очереди.) Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомо-
били с грузом прибывают в разное время с интенсивностью
6
=
λ
машин в
день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к про-
даже позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя автома-
шинами (
m
). В магазине работают три фасовщика (
), каждый из ко-
торых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в течение
2
=
3
n
=
t
4
=
обс
97
P
ч. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет
12 ч.
Определить, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы
вероятность полной обработки товаров была
.
,
0
*
≥
обс
РЕШЕНИЕ. Определим интенсивность загрузки фасовщиков:
/
2
3
/
6
p
=
=
=
μ
λ
,
4
/
12
1
t
/
1
=
⋅
=
=
обс
μ
3 авт./дн.
1) Найдем вероятность простоя фасовщиков при отсутствии машин
(заявок):
128
,
0
1
)
2
3
(
!
3
2
!
3
2
!
2
2
!
1
2
!
0
2
:
1
P
1
3
3
2
1
0
0
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
+
+
+
=
+
3
2
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
,
причем 0!=1,0.
2) Вероятность отказа в обслуживании:
075
,
0
3
!
3
2
128
,
0
P
P
2
2
3
m
n
=
=
=
+
+
отк
925
,
0
075
,
0
1
P
=
−
=
обс
<
= 925
,
0
P
обс
97
,
0
P
*
=
обс
3
=
122
,
0
P
0
=
048
,
0
P
=
отк
952
,
0
P
.
3) Вероятность обслуживания:
.
Так как
, произведем аналогичные вычисления
для
m
, получим
=
,
,
обс
<
= 952
,
0
P
обс
4
m
.
Так как
, примем
97
,
0
P
*
=
обс
=
.
Для этого случая
12
,
0
P
0
=
028
,
0
P
=
отк
972
,
0
P
=
,
,
обс
97
,
0
972
,
0
>
4
m
=
5
,
4
n
=
,
, емкость подсобных помещений необходимо увеличить до
.
Для достижения заданной вероятности обслуживания можно увеличи-
вать число фасовщиков, проводя последовательно вычисления СМО для
и т.д. Задачу можно решить, увеличивая емкость подсобных поме-
щений, число фасовщиков, уменьшая время обработки товаров.
Найдем остальные параметры СМО для рассчитанного случая при
,
12
,
0
P
0
=
028
,
0
P
=
отк
,
972
,
0
P
=
обс
,
4) Абсолютная пропускная способность:
85
832
,
5
6
972
,
0
А
=
⋅
=
авт./дн.
5) Среднее число занятых обслуживанием каналов (фасовщиков):
944
,
1
3
/
832
,
5
n
=
=
.
зан
6) Среднее число заявок в очереди:
(
) (
)
(
)
548
,
0
12
,
0
3
/
2
1
3
/
2
4
1
4
3
/
2
1
!
3
3
2
L
2
4
4
=
⋅
−
⋅
−
+
−
⋅
⋅
=
оч
.
7) Среднее время ожидания обслуживания:
09
,
0
6
548
,
0
t
=
=
оч
дн.
8) Среднее число машин в магазине:
492
,
2
944
,
1
548
,
0
z
=
+
=
авт.
9) Среднее время пребывания машины в магазине:
415
,
0
6
492
,
2
t
=
=
смо
4
дн.
ОТВЕТ. Емкость подсобных помещений магазина должна вмещать то-
вар, привезенный 4 автомашинами (
m
= ), при этом вероятность полной об-
работки товара будет
.
972
,
0
P
=
обс
Задания для самостоятельной работы
Для каждой из следующих ситуаций определить:
a)
к какому классу относится объект СМО;
b)
число каналов
n;
c)
длину очереди
m ;
d)
интенсивность потока заявок
λ ;
e)
интенсивность обслуживания одним каналом
μ ;
f)
количество всех состояний объекта СМО.
В ответах указать значения по каждому пункту, используя следующие
сокращения и размерности:
a) ОО – одноканальная с отказами; МО – многоканальная с отказами;
ОЖО – одноканальная с ожиданием с ограниченной очередью; ОЖН - одно-
канальная с ожиданием с неограниченной очередью; МЖО – многоканальная
с ожиданием с ограниченной очередью; МЖН - многоканальная с ожиданием
с неограниченной очередью;
b) n
=…
(единиц);
c)
m
=…
(единиц);
d) λ
=ххх/ххх
(единиц /мин);
e) μ
=ххх/ххх
(единиц /мин);
f) (единиц).
86
1.
Дежурный по администрации города имеет пять телефонов. Теле-
фонные звонки поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя про-
должительность разговора составляет 2 мин.
2.
На стоянке автомобилей возле магазина имеются 3 места, каждое из
которых отводится под один автомобиль. Автомобили прибывают на стоянку
с интенсивностью 20 автомобилей в час. Продолжительность пребывания ав-
томобилей на стоянке составляет в среднем 15 мин. Стоянка на проезжей
части не разрешается.
3.
АТС предприятия обеспечивает не более 5 переговоров одновре-
менно. Средняя продолжительность разговоров составляет 1 мин. На стан-
цию поступает в среднем 10 вызовов в сек.
4.
В грузовой речной порт поступает в среднем 6 сухогрузов в сутки. В
порту имеются 3 крана, каждый из которых обслуживает 1 сухогруз в сред-
нем за 8 ч. Краны работают круглосуточно. Ожидающие обслуживания сухо-
грузы стоят на рейде.
5.
В службе «Скорой помощи» поселка круглосуточно дежурят 3 дис-
петчера, обслуживающие 3 телефонных аппарата. Если заявка на вызов врача
к больному поступает, когда диспетчеры заняты, то абонент получает отказ.
Поток заявок составляет 4 вызова в минуту. Оформление заявки длится в
среднем 1,5 мин.
6.
Салон-парикмахерская имеет 4 мастера. Входящий поток посетите-
лей имеет интенсивность 5 человек в час. Среднее время обслуживания одно-
го клиента составляет 40 мин. Длина очереди на обслуживание считается не-
ограниченной.
7.
На автозаправочной станции установлены 2 колонки для выдачи
бензина. Около станции находится площадка на 2 автомашины для ожидания
заправки. На станцию прибывает в среднем одна машина в 3 мин. Среднее
время обслуживания одной машины составляет 2 мин.
8.
На вокзале в мастерской бытового обслуживания работают три мас-
тера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он
уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов,
обращающихся в мастерскую за 1 ч, равно 20. Среднее время, которое затра-
чивает мастер на обслуживание одного клиента, равно 6 мин.
87
9.
АТС поселка обеспечивает не более 5 переговоров одновременно.
Время переговоров в среднем составляет около 3 мин. Вызовы на станцию
поступают в среднем через 2 мин.
10.
На автозаправочной станции (АЗС) имеются 3 колонки. Площадка
при станции, на которой машины ожидают заправку, может вместить не бо-
лее одной машины, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к
станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю станцию. В
среднем машины прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки
одной машины продолжается в среднем 2,5 мин.
11.
В небольшом магазине покупателей обслуживают два продавца.
Среднее время обслуживания одного покупателя – 4 мин. Интенсивность по-
тока покупателей – 3 человека в минуту. Вместимость магазина такова, что
одновременно в нем в очереди могут находиться не более 5 человек. Покупа-
тель, пришедший в переполненный магазин, когда в очереди уже стоят 5 че-
ловек, не ждет снаружи и уходит.
12.
Железнодорожную станцию дачного поселка обслуживает касса с
двумя окнами. В выходные дни, когда население активно пользуется желез-
ной дорогой, интенсивность потока пассажиров составляет 0,9 чел./мин. Кас-
сир затрачивает на обслуживание пассажира в среднем 2 мин.
Для каждой из указанных в вариантах СМО интенсивность потока зая-
вок равна
λ
и интенсивность обслуживания одним каналом
μ . Требуется:
- составить перечень возможных состояний;
- построить граф состояний по схеме "гибели и размножения".
В ответе указать для каждой задачи:
- количество состояний системы;
- интенсивность перехода из последнего состояния в предпоследнее.
Вариант № 1
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 1 заявку
2. 2-канальная СМО с отказами
(задача Эрланга)
3. 31-канальная СМО с 1-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 31-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 2
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 2 заявки
2. 3-канальная СМО с отказами
(задача Эрланга)
3. 30-канальная СМО с 2-ограниченной очередью