ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.10.2020
Просмотров: 8963
Скачиваний: 26
показателей. Она соответствует либо наиболее частому
значению, либо среднему значению класса с наибольшей
частотой. Так, в нашем примере для экспериментальной
группы мода для фона будет равна 15 (этот результат
встречается четыре раза и находится в середине класса 14-15-
16). а после воздействия - 9 (середина класса 8-9-10).
Мода используется редко и главным образом для того,
чтобы дать общее представление о распределении В
некоторых случаях у распределения могут быть две моды;
тогда говорят о бимодальном распределении. Такая картина
указывает на то, что в данном совокупности имеются две
относительно самостоятельные группы (см., например,
данные Триона, приведенные в документе 3.5).
Бимодальное распределение
2. Медиана
(Me) соответствует центральному значению
в последовательном ряду всех полученных значений. Так, для
фона в экспериментальной группе, где мы имеем ряд
10 11 12 13 14 14 15 15 15 15 17 17 19 20 21,
медиана соответствует 8-му значению, т.е. 15. Для
результатов воздействия в экспериментальной группе она
равна 10.
В случае если число данных и, четное, медиана равна
средней арифметической между значениями, находящимися в
ряду на и/2-м и п/2 + 1-м местах. Так, для результатов
воздействия для восьми юношей опытной группы медиана
располагается между значениями. находящимися на 4-м (8/2 =
4) и 5-м местах в ряду. Если выписать весь
Статистика и обработка дачных 287
ряд для эгих данных, а именно
7 8 9 11 12 13 14 16,
то окажется, что медиана соответствует (11 + 12)/2 =
11,5 (видно.^что медиана не соответствует здесь ни одному из
полученных значении).
3 Средняя арифметическая (М) (далее просто «средняя»)
- это наиболее часто используемый показатель центральной
тенденции. Ее применяют, в частности, в расчетах,
необходимых для описания распределения и для его
дальнейшего анализа. Ее вычисляют, разделив сумму всех
значений данных на число этих данных. Так, для нашей
опытной группы она составит 15,2(228/15) для фона и
11,3(169/15) для результатов
воздействия.
Если теперь отметить все эти три параметра на каждой
из кривых для экспериментальной группы, то будет видно,
что при нормальном распределении они более или менее
совпадают, а при асимметричном
распределении - нет.
Прежде чем идти дальше, полезно будет вычислить все
эти показатели для обеих распределений контрольной группы-
они пригодятся нам в дальнейшем:
9 10 11 12131415161718192021
222324
Фон
Mo=15 Me =15 М=15,2
678 9101112131415161718192021 После воздействия
Мо=9 Ме=10 М=11.3
288
Приложение Б
Оценка разброса
Как мы уже отмечали, характер распределения
результатов после воздействия изучаемого фактора в опытной
группе дает существенную информацию о том, как
испытуемые выполняли задание. Сказанное относится и к
обоим распределениям в контрольной группе:
Контрольная группа Мода (Мо) Медиана (Me)
Средняя М\)
Ф°": ............ ............ ............
После воздействия: ............ ............ ............
8 9 10 11 12 1314 1516 171819 2021 22232425
После
воздействия
Сразу бросается в глаза, что если средняя в обоих
случаях почти одинакова, то во втором распределении
результаты больше разбросаны, чем в первом. В таких
случаях говорят, что у второго распределения больше
диапазон, или размах вариаций, т. е. разница между
максимальным и минимальным значениями.
Так, если взять контрольную группу, то диапазон
распределения для фона составит 22 — 10 = 12, а после
воздействия 25 — 8 = 17. Это позволяет предположить, что
повторное выполнение задачи на глазодвига-тельную
координацию оказало на испытуемых из контрольной группы
определенное влияние: у одних показатели улучшились, у
других ухудшились
1
. Однако для количественной оценки
разброса результатов
' Здесь мог проявиться зффект п.шцебо, связанный с тем.
что запах дыма травы вызвал у испытуемых уверенность в
том, что они находятся под воздействием наркотика. Для
проверки этого предположения следовало бы повторить
эксперимент со второй контрольной группой, в которой
испытуемым будуг 1;|вать только обычную сигарету.
289
относительно средней в том или ином распределении
существуют более точные методы, чем измерение диапазона.
Чаще всего для оценки разброса определяют отклонение
каждого из полученных значений от средней (М-М),
обозначаемое буквой d, а затем вычисляют среднюю
арифметическую всех этих отклонений. Чем она больше, тем
больше разброс данных и тем более разнородна выборка.
Напротив, если эта средняя невелика, то данные больше
сконцентрированы относительно их среднего значения и
выборка более однородна.
Итак, первый показатель, используемый для оценки
разброса,-это среднее отклонение. Его вычисляют следующим
образом (пример, который мы здесь приведем, не имеет
ничего общего с нашим гипотетическим экспериментом).
Собрав все данные и расположив их в ряд
356911 14, находят среднюю арифметическую для
выборки:
3+5+6+9+11+14 48
__————^———————=^=8.
Затем вычисляют отклонения каждого значения от
средней и суммируют их:
-5 -3 -2 +1 +3 +6 (3 - 8) + (5 - 8) + (6 -
8) + (9 - 8) + (11 - 8) + (14 - 8).
Однако при таком сложении отрицательные и
положительные отклонения будут уничтожать друг друга,
иногда даже полностью, так что результат (как в данном
примере) может оказаться равным нулю. Из этого ясно, что
нужно находить сумму абсолютных значений индиви-
дуальных отклонений и уже эту сумму делить на их общее
число. При этом получится следующий результат:
среднее отклонение равно 53213 |3-
8|+|5-8[+|6-8|+|9-8|+|11 -8|+
14
^
8
!
20
ззз
6
б
33
'
3
-
Общая формула:
2^| п
Среднее отклонение =
где Т. (сигма) означает сумму; | d\ - абсолютное значение
каждого индивидуального отклонения от средней; и-число
данных.
Однако абсолютными значениями довольно трудно
оперировать в алгебраических формулах, используемых в
более сложном статистическом анализе. Поэтому статистики
решили пойти по «обходному пути», позволяющему
отказаться от значений с отрицательным знаком, а именно
возводить все значения в квадрат, а затем делить сумму
квадратов на
290
Приложение Б
число данных. В нашем примере это выглядит
следующим образом:
(_5)
2
+ (-З)
2
+ (-2)
2
+ (+1)
2
+ (+3)
2
+ (+6)
2
_
6 _25+9+4+1+9+36_84_
6
-
6 ~ '
В результате такого расчета получают так называемую
вариансу
1
Формула для вычисления вариансы, таким образом,
следующая:
Варианса -=•
Наконец, чтобы получить показатель, сопоставимый по
величине со средним отклонением, статистики решили
извлекать из вариансы квадратный корень. При этом
получается так называемое стандартное отклонение:
Стандартное отклонение =
В нашем примере стандартное отклонение равно ^14 =
3,74.
Следует еще добавить, что для того, чтобы более точно
оценить стандартное отклонение для малых выборок (с
числом элементов менее 30), в знаменателе выражения под
корнем надо использовать не п, an—I:
Вернемся теперь к нашему эксперименту и посмотрим,
насколько полезен оказывается этот показатель для описания
выборок.
На первом этапе, разумеется, необходимо вычислить
стандартное
* Варианса представляет собой один из показателей
разброса, используемых в гекоторых статистических
методиках (например, при вычислении критерия
F,
<.м.
следующий раздел). Следует отметить, что в отечественной
литературе вариансу часто называют дисперсией. -Прим.
перед.
* Стандартное отклонение для популяции обозначается
маленькой греческой буквой сигм! (ст), а для выборки -
буквой s. Это касается и вариансы, т.е кзадрага стандартного
отклонения, для популяции она обозначается ет
2
, а для
выборки s
2
.
Статистика и обработка данных
отклонение для всех четырех распределений. Сделаем
это сначала для фона опытной группы:
Расчет стандартного отклонения ^ для фона
контрольной группы
Испытуемые Число пора- Средняя Отклоне-
Квадрат от-женных мише- ние от клонения от ней в
серии средней (d) средней (d
2
)
19 10
12
15,8 15,8 15,8
-3,2 +5.8 +3,8
10.24 33,64 14,44
15
22 15,8 -6,2
38,44
Сумма (^)d
2
= 131,94
131,94
Варианса (s
2
} = • = 9,42.
Н-1 14 Стандартное отклонение (?) = ^'варианса =
л/9,42 == 3,07.
' Формула для расчетов и сами расчеты приведены здесь
лишь в качестве иллюстрации В наше время гораздо проще
приобрести гакой карманный микрокалькулятор, в котором
подобные расчеты уже заранее запрограммированы, и для
расчета стандартного отклонения достаточно лишь ввести
данные, а затем нажать клавишу s.
О чем же свидетельствует стандартное отклонение,
равное 3,07? Оказывается, оно позволяет сказать, что большая
часть результатов (выраженных здесь числом пораженных
мишеней) располагается в пределах 3,07 от средней, т.е.
между 12,73 (15,8 - 3,07) и 18,87 (15,8 + 3,07).
Для того чтобы лучше понять, что подразумевается под
«большей частью результатов», нужно сначала рассмотреть те
свойсгва стандартного отклонения, которые проявляются при
изучении популяции с нормальным распределением.
Статистики
показали, что
при
нормальном
распределении «большая
часть» результатов,
располагающаяся в пределах одного стандартного отклонения
по обе стороны от средней, в процентном отношении всегда
одна и та же и не зависит от величины стандартного
отклонения: она соответствует 68% популяции (т.е. 34% ее
элементов располагается слева и 34%-справа от средней):
292
Приложение
Б
Точно так же рассчитали, что 94,45% элементов
популяции при нормальном распределении не выходит за
пределы двух стандартных отклонений от средней: