ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.10.2020
Просмотров: 12443
Скачиваний: 247
G|G|m|n
{
on - line
при
n =
2,3,4,...,
(17.9)
off-line
при
n
=0
399
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М., 1964. Т.1.
::
::
::
::
::
17.2.
Теорема о генерализационном потоке информации
При проектировании локальных многотерминальных информационно-справочных систем массового
обслуживания, информационно-биологических или информационно-космических систем необходимо
знать, каким генерализационным (обобщенным) законом можно аппроксимировать распределение
очень большого числа входящих потоков информации при заданной суммарной их интенсивности.
На этот вопрос можно ответить, доказав следующую теорему.
Теорема.
Если имеется бесконечное (счетное) число однородных независимых потоков
информации (не разнесенных во времени), каждый из которых описывается не обязательно
одинаковым законом распределения и соответствующей интенсивностью λ
i
(t), то при совмещении
начальных моментов t
0
возникновения источников потоков информации на некоторой
регламентированной по времени вещественной оси 0t распределение генерализационного потока
информации с интенсивностью
λ =
n
∑
i=1
λ
i
(t)
будет близкое к пуассоновскому.
Доказательство.
Обозначим через Δt
1
i
случайную величину, заданную законом распределения:
399
Δt
1
1
Δt
1
2
Δt
1
3
... Δt
1
n
p
1
1
p
1
2
p
1
3
... p
1
n
(17.10)
Обозначим через Δt
2
i
случайную величину, значение которой тоже заданы указанным законом
распределения. Запишем законы распределения вероятностей для других аналогичных случайных
величин:
Δt
2
1
Δt
2
2
Δt
3
2
... Δt
2
n
p
2
1
p
2
2
p
3
2
... p
2
n
Δt
3
1
Δt
3
2
Δt
3
3
... Δt
3
n
p
3
1
p
3
2
p
3
3
... p
3
n
........................
Δt
m
1
Δt
m
2
Δt
m
3
... Δt
m
n
p
m
1
p
m
2
p
m
3
... p
m
n
(17.11)
Заметим, что для законов распределения (17.10) и (17.11) приняты следующие ограничения:
Δt
j
i
< Δt
j+α
i+k
при: i = 1,n; j = 1,m; k =1,n-1;α = 1,m-1.
Запишем случайные величины моментов возникновения источников информации и их вероятности в
виде матрицы случайных величин и матрицы вероятностей:
(
t
1
t
2
t
3
... t
n
)
T =
П
1
Δt
1
1
Δt
2
1
Δt
3
1
... Δt
n
1
λ
1
П
2
Δt
2
1
Δt
2
2
Δt
3
2
... Δt
n
2
λ
2
П
3
Δt
3
1
Δt
3
2
Δt
3
3
... Δt
n
3
λ
3
...
... ... ... ... ...
...
П
m
Δt
m
1
Δt
m
2
Δt
m
3
... Δt
m
n
λ
m
(
)
P =
Δp
1
1
Δp
2
1
Δp
3
1
... Δp
n
1
Δp
2
1
Δp
2
2
Δp
3
2
... Δp
n
2
Δp
3
1
Δp
3
2
Δp
3
3
... Δp
n
3
... ... ... ... ...
Δp
m
1
Δp
m
2
Δp
m
3
... Δp
m
n
Из матрицы (17.12) для каждого из потоков П
i
определим математическое ожидание:
400
n
M
i=1
(Δt
1
1
)=a
1
n
n
M
i=1
(Δt
2
1
)=a
2
n
................
n
M
i=1
(Δt
m
i
)=a
m
n
(17.14)
А так как математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме
слагаемых, то получим:
a
n
=
n,m
∑
i,j=1
a
j
i
. (17.15)
Следует отметить, что в матрице (17.13)
p=
n,m
∑
i,j=1
p
j
i
=1.
Аналогично определим среднее квадратичное отклонение случайной величины:
σ
2
(Δt
1
i
)=(σ
1
n
)
2
σ
2
(Δt
2
i
)=(σ
2
n
)
2
σ
2
(Δt
m
i
)=(σ
m
n
)
2
.
(17.16)
Запишем сумму квадратов средних квадратических отклонений
σ
2
n
=
n,m
∑
i,j=1
(σ
j
i
)
2
или σ
n
=
√
n,m
∑
i,j
(σ
j
i
)
2
.(17.17)
Конечное число взаимно независимых случайных величин также представим в виде суммы
t
n
=
n,m
∑
i,j
Δt
j
i
. (17.18)
Интенсивность генерализационного суммарного потока информации, очевидно, равна сумме
интенсивностей конечного числа частных потоков
λ=
m
∑
i=1
λ
i
(t). (17.19)
401
Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность между суммарной случайной величиной
t
n
и ее суммарным математическим ожиданием а
n
,называемой отклонением или центрированной
случайной величиной
K°
n
=t
n
-a
n
. (17.20)
Разделив центрированную величину на суммарное значение среднего квадратичного отклонения и
записав функцию распределения новой суммарной величины, получим,
P
n
=(T<t) = P
n
[(t
n
-a
n
)/<t]=P
n
(K°
n
<tσ
n
).(17.21)
Преобразуем выражение под знаков вероятности следующим образом
(-t <
K°
n
σ
n
) < t
(-σ
n
t <K°
n
< σ
n
t (17.22)
Ввиду того, что суммарная случайная величина может принять значение, принадлежащее интервалу
(- σ
n
t,σ
n
t), функция распределения вероятностей (17.21), переписанная с учетом (17.22), будет
равна определенному интегралу от плотности распределения суммарной случайной величины К°
n
с
пределами интегрирования от - σ
n
t до σ
n
t :
P
n
(-σ
n
t < K°
n
<σ
n
t=
σnt
∫
-σ
n
t
f(K°
n
) dK°
n
(17.23)
Пусть суммарная случайная величина К°
n
распределена по нормальному закону с плотностью
распределения
f(K°
n
) =
1
σ
n
(2π)
1/2
e
-(t
n
-a
n
)2/2σ2
n
. (17.24)
Тогда, заменяя в (17.23) f(K°
n
) на выражение (17.24), получим вероятность того, что
случайная величина К°
n
попадает в интервал (-σ
n
t,σ
n
t):
P
n
(-σ
n
t <K°
n
<σ
n
t ) =
1
σ
n
√
2π
σ
n
t
∫
-σ
n
t
e
-(t
n
-a
n
)2/2σ2
n
K°
n
(17.25)
402
Произведем некоторые преобразования. Пусть λ = (t
n
-а
n
)/σ , тогда t
n
= λσ
n
+a
n
и dt
n
≈d K°
n
=
σ
n
dσ. Найдем новые пределы интегрирования. Положим t
n
= –tσ
n
, тогда λ = (-tσ
n
, -а
n
)/σ
n
= = -
(tσ
n
, + a
n
)/σ
n
и t
n
= tσ
n
, следовательно, λ = (tσ
n
- a
n
)/σ
n
.
Перепишем функцию общего (суммарного) нормального распределения случайной величины с
учетом преобразований
P
n
=(-σ
n
t <K°
n
< σ
n
t) =
1
σ
n
√
2π