ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.10.2020
Просмотров: 12411
Скачиваний: 247
(tσn-an)/σn
∫
-(tσ
n
+a
n
)/σ
n
e
-λ2/2
σ
n
dλ. (17.26)
Заменим f(K°
n
) асимптотически ей приближенной функцией φ(K°
n
) согласно предельному
отношению
lim
n→∞
=
f(K°
n
)
φ(K°
n
)
= 1 , φ(K°
n
), т.е. φ(K°
n
) =f(K
n
) при n
→
∞ . Поскольку асимптотическая функция φ(K°
n
) при a
n
= 0 и
σ
m
=1 является еще и нормированной, то (17.26) можно записать в следующем виде:
Р
n
= (-t <K°
n
<t} =
1
√
2π
t
∫
-t
е
-λ2/2
dλ.(17.27)
Следовательно, функция распределения центрированной случайной величины (суммарного потока)
при п-
→
∞ стремится к функции нормального распределения.
Можно показать, что кривая нормального распределения (17.27) приближается к пуассоновскому
распределению, производя расчеты двумя способами. Необходимо извлечь неопределенный
интеграл правой части выражения (17.27). В результате чего получим асимптотическую функцию.
Предварительно в (17.27) сделаем замену: – λ
2
/2 = z и продифференцируем обе части равенства:
d(-λ
2
/2)= dz = (dλ
2
/2) = -dλ. Вычислим неопределенный интеграл путем извлечения дифференциала
из функции распределения:
1
√
2π
∫
е
-λ2/2
dλ =
1
√
2π
∫
(-1)е
z
dz
=
-
1
√
2π
е
z
= -
1
√
2π
е
-λ2/2
= P
1
n
(K°
n
) = φ(K°
n
)
Так как плотность нормированного распределения является четной и табулированной
функцией, то
403
φ(K°
n
) =
1
√
2π
е
-λ2/2
.
(17.29)
1
√
2π
∞
∫
-∞
е
-λ2/2
dλ =
1
√
2π
∞
∫
-∞
(-1)е
z
dz
=
=
1
√
2π
0
∫
-∞
(-1)е
z
dz
+
1
√
2π
∞
∫
-∞
(-1)е
z
dz
(17.30)
Поменяем, пределы интегрирования на реальные вещественные числа пределов распределения
числовой оси
lim
a→-∞
-
1
√
2π
0
∫
a
e
z
dz +
lim
b→∞
-
1
√
2π
b
∫
0
e
z
dz =
=-
1
√
2π
e
-λ2/2
0
I
a
-
1
√
2π
e
-λ2/2
b
I
0
=
=
1
√
2π
e
-a2/2
-
1
√
2π
e
-b2/2
=
=
1
√
2π
e
-λ2t
1
/2
-
1
√
2π
e
-λ2t
2
/2
=
=
1
√
2π e
λ2t
1
/2
-
1
√
2π e
λ2t
2
/2
=
=
1
√
2π
e
-λ2t
1
/2
-0(Δ)≈
1
√
2π
e
-λ2t/2
=φ(K°
n
).
(17.31)
Плотность распределения (17.29, 17.30) суммарной центрированной случайной величины
имеет нормированную кривую, являющуюся асимптотическим приближением плотности
нормального распределения.
Определим теперь плотность суммарной случайной величины входного потока информации,
распределенную по закону Пуассона. Запишем функцию пуассоновского распределения через
плотность распределения
F(k) = P(K <k)=
∞
∫
0
f(k)dk.(17.32)
Найдем по функции распределения ее плотность, взяв от нее производную
404
f(k) =
d
dk
P
t
(K<k). (17.33)
Если считать, что суммарная интенсивность в основном является постоянной, то вероятность
появления
E
входящих потоков информации за интервал длительностью
t
является функцией
распределения и зависит от
К
и
t.
Так как функция
е
-λ
не зависит от
К
и от
t,
а только от λ=const, то
ее можно вынести за знак производной. В результате дифференцирования выражения (17.32)
получим аналитическую модель закона Пуассона:
d
dk
P
t
(K<k) =
d
dk
(λt)
k
k!
e
-λt
=
k(λt)
k-1
k!
e
-λt
. (17.34)
Нормальный и пуассоновский законы, а также закон Эрланга аппроксимируются на положительной
вещественной оси распределением Пуассона (при λ≥10), нормальным распределением (при λ = λ , σ
= √λ, ) и параметрами Эрланга λ и k
→
∞ , если число входящих потоков П
вх
=4÷5≤П
∑
≤∞. С учетом
указанных ограничений можно записать аппроксимированные тождества для следующих законов:
а) нормальный и пуассоновский
1
√
2π
e
-(λt)2/2
≈
(λt)
k-1
(k-1)!