ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.10.2020
Просмотров: 12478
Скачиваний: 247
408
∃
α
i
=α
∀
m
∑
i=1
T
i
=T>t
з
;(17.50)
∀
α
i
≤ α
∃
m
∑
i=1
T
i
= T=t
з
.(17.51)
Для досрочного решения задач должно выполняться условие (17.49), а для своевременного
решения - (17.51); условие (17.50) приводит к эффективным затратам в соответствии с
выражениями (17.40) и (17.41); потери в этом случае тоже могут определяться по условию (17.44).
Определим форму ограничения целевой функции эффективности капитальных вложений по
качеству решения задач. Предположим, что поток обнаруженных ошибок в результате решения
некоторых задач описывается показательным законом распределения вероятностей случайно
обнаруженных ошибок Y=(y
1
, у
2
, y
3
, ..., y
n
) с плотностью f(у), по которой определим функцию
распределения, т.е. вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:
F(y)=P(k
1
<Y<k
2
)=1-exp(-λy), (17.52)
где λ- интенсивность появления ошибок.
Используя формулу Ньютона- Лейбница и произведя соответствующие преобразования, запишем
вероятность обнаружения ошибок для заданного интервала в процессе решения конкретных задач
P(k
1
<Y<k
2
)=exp(-λk
1
) - ехр(-λk
2
). (17.53)
Зная вид показательного распределения ошибок, например f(у)=2ехр(-2у), по уравнению (17.53)
определим вероятность того, что за один прогон массива количество обнаруженных ошибок
окажется не менее одной и не более трех
Р(1<Y<3)=ехр(-2) - ехр(-6) ≈ 0,123.
Пусть в заданном интервале ошибок p
i
- вероятность обнаружения ошибки в i-й задаче, q
i
–
вероятность достоверности информации (не обнаружение ошибки в этом интервале). Тогда
q
i
= l-[exp(-λk
1
)-exp(-λk
2
)] . (17.54)
По теореме умножения независимых событий определим с учетом регламентированного
(ограничения) количества ошибок Q
0
вероятности достоверности информации по всем п решаемым
задачам в течение t
з
n
∏
i=1
q
i
=
n
∏
i=1
(1-[exp(-λk
1
)-exp(-λk
2
)])≤Q
0
. (17.55)
409
Так как математическое ожидание появления числа ошибок М(Х)=1/λ, то допустимое количество
ошибок должно быть в пределах 0≤ Q
0
≤1/λ,.
Таким образом, с учетом нормативного коэффициента эффективности единовременных затрат
(капиталовложений) и в соответствии с изложенными выше ограничениями сформулируем
математическую постановку задачи синтеза состава и структуры центрального ядра технических
средств ЛИСМО по критерию затрат на проектирование, приобретение и эксплуатацию техники
следующим образом.
1.Заданы две системы линейных алгебраических уравнений (17.40) и (17.41) с п неизвестными х
1
,
х
2
, х
3
,..., х
n
.
2.Задана целевая функция (линейная форма)
Ф =
m
∑
i=1
n
∑
j=1
a
ij
x
j
+
m
∑
i=1
n
∑
j=1
b
ij
x
j
(17.56)
3.Задано условие неотрицательности переменных
x
j
≥0. (17.57)
4.Заданы следующие ограничения соответственно на средства приобретения С' и эксплуатации L'
вычислительной техники, сроки и качество решения задач:
m
∑
i=1
c
i
≤C';
m
∑
i=1
1
i
≤L';
m
∑
i=1
T
i
<t
з
; 0≤Q
0
≤1/λ.(17.58)
Требуется среди всех неотрицательных решений систем (17.40), (17.41) и (17.58) выбрать такое
количество типов вычислительной техники из полного их набора и такое количество x
j
модульных
устройств каждого типа, при которых линейная форма Ф достигает наименьшего значения
(минимизируется).
Таким образом, сформулированная задача синтеза состава и структуры центрального ядра
информационных систем сведена к двухпараметрической задаче линейного программирования,
методика решения которой общеизвестна.
410
::
::
17
.4. Метод определения вероятностных характеристик
ЛИСМО с использованием цепей Маркова
Пусть задано вероятностное пространство Е
b
, Т, Р, где E
b
={ε
1
,ε
2
,ε
3
,...,ε
n
} - пространство
элементарных событий; Т - σ-алгебра подмножеств Е
b
; Р - вероятностная мера.
С целью исследования ИСМО выделим в вероятностном пространстве определенный класс Т
подмножеств E
B
, соответствующих последовательности ее случайных состояний. Каждому
элементарному состоянию ξ
∈
Т
1
⊂
T поставим в соответствие числовую функцию Р(ξ),
представляющую вероятность нахождения системы в этом состоянии. Запишем интегральную
функцию распределения случайного процесса ξ(t), определяющего состояния ИСМО:
410
F(x)= {ξ(t) < х} .(17.59)
В определенный момент случайная величина ξ может принять некоторое значение, отвечающее
номеру (шагу) состояния системы, т.е. ξ
1
=Ψ(ε
1
) . В последующий момент система может перейти в
другое состояние, вероятность перехода в которое будет зависеть как от ε
2
, так и от предыдущего
состояния ξ
1
и т.д.
С учетом отмеченного имеем:
ξ
1
=Ψ
1
(ε
1
);
(17.60)
ξ
2
=Ψ
2
(ξ
1
,ε
2
);
ξ
3
=Ψ
3
(ξ
l
,ξ
2
,ε
3
);
..................
ξ
n
=Ψ
n
(ξ
1
,ξ
2
,...,ξ
n-1
,ε
n
)
Функцию распределения состояний системы для
п
независимых моментов ε
n
и случайных величин
ξ
1
,...ξ
n-1
, можно записать следующим образом:
F
Ψ(ξ,ε)
(x
i
)=P(ξ
1
<x
1
,ξ
2
,...,ξ
n-1
<x
n-1
),I э{n}.(17.61)
Так как определенное состояние ξ
n
ИСМО зависит только от ξ
n-1
и n-го элементарного момента
(события) ε
n
из множества E
b
, то зависимости между случайными величинами ξ
1
,...,ξ
n
будут
марковскими, если их можно выразить следующими функциями:
Ψ
0
(...,ε
0
)=Ψ;
(17.62)
Ψ
1
(...,x
0
,ε
1
)=Ψ
1
(x
0
,ε
1
);
Ψ
2
(x
0
,x
1
,ε
2
)=Ψ
2
(x
1
,ε
2
);
Ψ
3
(x
0
,x
1
,x
2
,ε
3
)=Ψ
3
(x
2
,ε
3
);
..................
Ψ
n
(x
0
,x
1
,...,x
n-1
,ε
n
)=Ψ
n
(x
n-1
,ε
n
).
Случайные величины (ξ
i
< x
i
)
∈
T вероятностного пространства при i=0,l,2,...,n образуют цепь
Маркова, которая в зависимости от значения i
∈
{п}может принимать целый ряд состояний,
адекватно описывающих (n-1) состояний ИСМО:
411
2
∪
i=0
ξ
i
={ξ
0
,ξ
1
,ξ
2
};
(17.63)
3
∪
i=0
ξ
i
={ξ
0
,ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
};
..................
n
∪
i=0
ξ
i
={ξ
0
,ξ
1
,...,ξ
n
}.
Если последующие состояния системы зависят только от настоящего состояния, то такая
последовательность состояний системы образует марковскую цепь и, следовательно, такая ИСМО
будет являться марковской. В системах, описываемых марковскими процессами, последующее
(будущее) состояние зависит от прошедших (прошлых) состояний только через настоящее.
Информационно-вычислительная система может находиться в одном из вышеперечисленных
состояний ξ
1
,ξ
2
,...,ξ
i
,...ξ
j
. Условная вероятность P
ij
(Z) того, что после Z-гo перехода система
окажется в ξ
j
-м состоянии, если после (Z-l)-гo перехода (шага) она была в ξ
i
-м состоянии, не
зависит от предшествующего ξ
i
-му состоянию. Дальше мы будем рассматривать однородные
марковские ИСМО, т.е. такие системы, вероятность перехода которых из состояния j в состояние у
не зависит от номера состояния (шага перехода).
Обобщенным уравнением, описывающим марковские процессы, является уравнение Колмогорова-
Чепмена, позволяющее определять одну из главных характеристик однородных марковских ИСМО -
вероятность перехода из ξ
i
-го состояния в ξ
j
-е за (k+l) шагов:
P
ij
(ε,k+1)=
∑
μ
P
iμ
(ε,k)P
μj
(ε,1), (17.64)
где P
iμ
(ε,k)- вероятность перехода ИСМО из ξ
i
-го состояния в момент ε за k шагов в
состояние μ, являющееся промежуточным между i-м и j-м состояниями системы; P
μj
(ε,1) -
вероятность перехода из ξ
μ
состояния за l шагов в ξ
j
состояние.
В стационарном режиме работы ИСМО уравнение (17.64) можно записать в следующем виде:
P
ij
(Z)=
n
∑
μ=1
P
iμ
(Z
1
)P
μj
(Z
2
), (17.65)
где Р
ij
- переходная вероятность; Z=Z
1
+Z
2
- число шагов перехода ИСМО из состояния i в
состояние j; n - конечное число состояний.
Определив все переходные вероятности Р
ij
,можно записать матрицу перехода системы из одного
состояния в другое за один шаг
412
M(1) =
(
)
, (17.66)
P
11
(1) P
12
(1) ... P
1n
(l)
P
21
(1) P
22
(1) ... P
2n
(1)
... ... ... ...
P
n1
(1) P
n2
(1) ... P
nn
(1)
где 0 ≤ P
ij
≤1;