5.4. Переходные процессы в электрических цепях с последовательно соединенными резисторами и катушками

В данном разделе предполагается не только практическое знакомство с классическим методом расчета переходных процессов, но и с особенностями самих процессов в рассматриваемых задачах.

5.4.1. Короткое замыкание в цепи с резистором и катушкой

Рис. 5.2

Исследуем электромагнитные процессы в цепи, изображенной на рис. 5.2, происходящие после замыкания ключа.

Рассчитаем установившийся режим в цепи до коммутации (до замыкания ключа) и определим из него независимое начальное условие — ток в катушке в момент t = 0_-, непосредственно предшествующий коммутации

i(0_-) = i(0₊) = E / (R_вн + R).

Найдем установившийся ток i после коммутации. Так как во вновь образованном контуре из катушки L и резистора R нет источника, то i_y = 0.

Для определения свободной составляющей тока запишем по второму закону Кирхгофа уравнение электрического состояния цепи после коммутации:

.

Характеристическое уравнение имеет вид:

pL + R = 0.

Общее решение уравнения для свободной составляющей:

i_св = A e^pt,

где: А – постоянная интегрирования;
p = - R/L, c^-1 – корень характеристического уравнения.

Записав общий вид переходного тока катушки

i = i_у + i_св = A e^pt,

приравниваем его значение i(0₊) = A в точке t = 0₊ к значению i(0_-), найденному в п. 1. Получаем искомую константу

A = E / (R_вн + R) = I₀.

Переходный ток i = i_у + i_св при этом равен

,

где τ = L / R – постоянная времени цепи.

Постоянная времени – это время, в течение которого свободная составляющая процесса уменьшается в е = 2,72 раза по сравнению с начальным значением.

Рис. 5.3

График изменения переходного тока показан на рис. 5.3.

Определим э.д.с. самоиндукции катушки

t ≥ 0.

В момент коммутации эта э.д.с. равна напряжению на сопротивлении R, а в дальнейшем уменьшается по экспоненциальному закону. На основании изложенного можно сделать следующие выводы.

1. При коротком замыкании в рассматриваемой цепи ток в ней изменяется по экспоненциальному закону, уменьшаясь от начального значения до нуля.

2. Скорость изменения тока определяется постоянной времени цепи, которая равна индуктивности катушки, деленной на активное сопротивление цепи.

3. Практически можно считать, что переходный процесс заканчивается при t ≈ (3…5)τ , когда первоначальное значение тока уменьшается по модулю на порядок.

4. Напряжение на катушке в начальный момент времени равно напряжению на активном сопротивлении:

u_L(0₊) = I₀R.

5. С энергетической точки зрения рассматриваемый переходный процесс характеризуется расходом энергии магнитного поля катушки на тепловые потери в резисторе. Следует отметить, что сопротивление резистора влияет не на количество выделенной теплоты W, а на начальное значение напряжения катушки и длительность процесса. В самом деле

.

5.4.2. Включение цепи с резистором и катушкой на постоянное напряжение

---

Рис. 5.4

Переходный ток в цепи, изображенной на рис. 5.4, представим в виде

i = i_у + i_св.

1. До коммутации тока в катушке не было, следовательно,

i_L(0_-) = 0.

2. Установившаяся составляющая тока после коммутации

i_у = U / R.

3. Свободная составляющая тока для цепи, описываемой дифференциальным уравнением первого порядка

i_св = A e^-t/τ =A e^pt , p = - R / L.

4. По начальным условиям определим постоянную интегрирования А и свободную составляющую тока:

i(0) = i_у(0) + i_св(0); i(0) = i_у(0₊) + i_св(0_-);

или

0 = U / R + A; A = -U / R; i_св = -U / R · e^-t/τ.

Переходный ток получается в виде

i = U / R (1 - e^-t/τ).

Рис. 5.5

Напряжение на катушке

.

Кривые изменения токов i, i_y, i_св и напряжения на катушке u_L показаны на рис. 5.5.

При включении рассматриваемого контура под постоянное напряжение ток в нем нарастает от нуля до установившегося значения. Скорость нарастания тока

изменяется по экспоненте с отрицательным показателем. В момент t = 0 эта скорость максимальна и равна U / L [А/с], со временем она падает практически до нуля, процесс выходит на установившийся режим.

В первый после коммутации момент t = 0₊ ток в цепи еще равен нулю, и напряжение на катушке максимально u_L = U, далее оно экспоненциально снижается до нуля.

5.4.3. Включение цепи с резистором и катушкой на синусоидальное напряжение

Рис. 5.6

Если напряжение источника цепи (рис. 5.6)

u = U_msin(ωt + ψ),

то установившийся ток

i_у = U_m / Z sin(ωt + ψ - φ),

где: – полное сопротивление цепи;
φ = arctg(ω L/R) - угол сдвига фаз между напряжением и током.

Свободный ток определяется

i_св = A e^-t/τ.

Суммируя установившуюся и свободную составляющие, получим выражение для переходного тока:

i = i_у + i_св = U_m / Z sin(ωt + ψ - φ) + A e^-t/τ.

Рис. 5.7

используя независимые начальные условия при t = 0

i(0_-) = i(0₊) = 0,

находим постоянную интегрирования:

A = -U_m / Z sin(ψ - φ).

Тогда переходный ток:

.

Зависимости переходного тока от времени при различных значениях разностей ψ - φ показаны на рис. 5.7. Их анализ позволяет сделать следующие выводы.

1. Если в момент включения установившийся ток равен нулю (ψ - φ = 0 или ψ - φ = π), то свободной составляющей тока не возникает и в цепи сразу возникает установившийся режим:

i = i_у = I_m sin(ωt) = U_m / Z sin(ωt).

2. Если в момент включения установившийся ток имеет наибольшее значение (ψ - φ = π / 2), свободный ток достигает максимального по модулю значения приблизительно через половину периода, однако ни при каких условиях он не может превышать удвоенной амплитуды установившегося тока (рис. 5.7 б).

5.5 Переходные процессы в цепи с последовательно включенными резисторами и конденсатором

5.5.1. Разряд конденсатора на резистор

Рассмотрим переходный процесс при коротком замыкании в цепи с конденсатором и резистором (рис. 5.8), если предварительно конденсатор был заряжен до напряжения

u_C(0₊) = U₀ = Е.

Рис. 5.8

Установившийся ток через конденсатор и установившееся напряжение на конденсаторе равны нулю. Для построения характеристического уравнения запишем по второму закону Кирхгофа уравнение для вновь образованного контура

---

R i + u_C = 0.

При расчете переходных процессов в цепях с конденсатором часто удобнее отыскать сначала не ток, а напряжение на конденсаторе u_C , а затем учитывая, что , найти ток через конденсатор. Поэтому запишем уравнение по второму закону Кирхгофа в виде:

.

Характеристическое уравнение имеет вид:

RCp + 1 = 0.

Общее решение для свободной составляющей напряжения:

u_Cсв = A e^pt = A e^-t/τ,

где: А = U₀ – постоянная интегрирования;
p = - 1 / (RC) – корень характеристического уравнения;
τ = RC – постоянная времени цепи.

С учетом нулевого значения установившегося напряжения получим напряжение на конденсаторе:

u_C = U₀ e^-t/τ.

Переходный ток в цепи

.

Рис. 5.9

Кривые изменения напряжения на конденсаторе и тока в цепи во времени имеют вид экспонент (рис. 5.9).

С энергетической точки зрения переходный процесс характеризуется переходом энергии электрического поля конденсатора в тепловую энергию в резисторе. Следует отметить; что сопротивление резистора влияет не на количество выделенной теплоты, а на начальное значение тока и длительность разряда. В самом деле

.

5.5.2. Включение цепи с резистором и конденсатором на постоянное напряжение (заряд конденсатора)

Из схемы, приведенной на рис. 5.10, следует, что установившаяся составляющая напряжения на конденсаторе u_Cу = U, а свободная составляющая, очевидно, равна

Рис. 5.10

u_Cсв = A e^-t/τ, τ = RC.

Полагаем, что до замыкания ключа конденсатор не был заряжен (Uс(0_-) = 0). На основании законов коммутации u_C(0_-) = u_C(0₊) = 0, при t = 0; следовательно:

u_C(0) = u_Cу(0) + u_Cсв(0) или 0 = U + A, откуда А = -U.

Тогда переходное напряжение на конденсаторе

u_C = U (1 - e^-t/τ),

а переходный ток в цепи

.

Зависимости напряжений и токов от времени показаны на рис. 5.10. Из них видно, что напряжение на конденсаторе возрастает по экспоненциальному закону от нуля до напряжения источника, а ток уменьшается от начального значения до нуля также по экспоненте. Длительность их изменения определяется постоянной времени τ = RC. Здесь как и в п. 5.5.1 время переходного процесса принимается равным t ≈ (3 ÷ 5)τ.

5.5.3. Включение цепи с резистором и конденсатором на синусоидальное напряжение

Рис. 5.11

Пусть напряжение источника изменяется по закону

u = U_m sin(ωt + ψ).

Установившаяся составляющая напряжения на конденсаторе (см. рис. 5.11) равна:

u_Cу = -U_m X_C / Z sin(ωt + ψ – φ – π / 2).

где: - полное сопротивление цепи;
X_C = 1 / (ωC) – емкостное сопротивление;
φ = -arctg(X_C / R) – угол сдвига фаз между установившимся током в цепи и приложенным синусоидальным напряжением.

Свободная составляющая напряжения на конденсаторе

u_Cсв = A e^-t/τ, τ = RC.

Переходное напряжение на конденсаторе

.

Рис. 5.12

Полагая, что u_C(0_-) = 0, для постоянной интегрирования получим

.

Окончательно напряжение на конденсаторе можно записать в виде

.

Ток в цепи

.

Зависимости переходного напряжения на конденсаторе от времени при различных значениях разностей ψ - φ показаны на рис. 5.12. Их анализ позволяет сделать следующие выводы.

---

Если в момент включения мгновенное значение установившегося напряжение на конденсаторе равно нулю (ψ – φ – π / 2 = 0), то и свободная составляющая напряжения равна нулю. В цепи сразу устанавливается режим (рис. 5.12 а).

Если в момент включения мгновенное значение установившегося напряжение на конденсаторе имеет наибольшее значение (ψ – φ – π / 2 = π / 2), то переходное напряжение достигает максимального значения приблизительно через половину периода и может приблизиться к удвоенной амплитуде установившегося напряжения, но не превысит его (рис. 5.12 в).

5.6. Разряд конденсатора на цепь с резистором и катушкой

Рис. 5.13

Пусть в цепи, изображенной на рис. 5.13, конденсатор был заряжен до напряжения u_C(0_-) = U₀. Исследуем процессы в контуре, образованном резистором, конденсатором и катушкой после замыкания в момент t = 0 ключа. Так как источники в цепи отсутствуют, то установившиеся составляющие решений равны нулю. Решение будет состоять из одной свободной составляющей.

5.6.1. Составление характеристического уравнения. Определение собственных частот цепи

По второму закону Кирхгофа t ≥ 0 имеем:

.

Учитывая, что , получаем дифференциальное уравнение второго порядка для свободной составляющей напряжения

.

Характеристическое уравнение при этом имеет вид:

.

Характер электромагнитных процессов в контуре зависит от соотношения параметров R, L, С, входящих в выражение для корней характеристического уравнения

.

В зависимости от знака подкоренного выражения корни могут быть вещественными или комплексно-сопряженными. Они определяют характер свободных составляющих переходных токов и напряжений.

5.6.2. Апериодический разряд конденсатора на катушку и резистор

Рассмотрим процесс разряда конденсатора на резистор R и катушку L. Если параметры контура из резистора, катушки и конденсатора удовлетворяют условию или , то корни характеристического уравнения контура вещественные, различные, т.е. р₁ ≠ р₂, и отрицательные. В этом случае напряжение на конденсаторе описывается уравнением

u_C = u_Cсв = A₁ · e^p₁^t + A₂ · e^p₂^t,

где А₁ и А₂ – постоянные интегрирования, определяемые из начальных, условий.

Свободный ток равен

.

Установившиеся составляющие напряжения на конденсаторе и тока равны нулю. Поэтому их переходные значения равны свободным составляющим:

u_C = u_Cсв; i = i_св.

Определим из начальных условий постоянные интегрирования А₁ и А₂. При t = 0, u_C(0) = U₀ и i(0) = 0. Подставив их в выражения для переходных напряжений и токов при t = 0 имеем

U₀ = A₁ + A₂; 0 = A₁ p₁ + A₂ p₂.

Отсюда

A₁ = U₀ p₂ / (p₂ - p₁); A₂ = -U₀ p₁ / (p₂ - p₁);

С учетом начальных условий запишем

; .

Рис. 5.14

Произведение корней по теореме Виета: p₁ p₂ = 1 / (LC), следовательно, ток

.

Напряжение на катушке

.

Графики зависимости тока и напряжения от времени, показанные на рис. 5.14 позволяют говорить об апериодическом разряде конденсатора. Апериодическим называется такой разряд, при котором конденсатор все время разряжается, т.е. функция u_C(t) - убывающая, а ток i не меняет своего направления, в нашем случае он отрицателен. Сделаем некоторые выводы.

---

1. Апериодический разряд конденсатора в цепи R, L, С возникает при вещественных, отрицательных и неравных корнях характеристического уравнения.

2. При апериодическом разряде напряжение на конденсаторе уменьшается от начального значения до нуля, а ток сначала возрастает по модулю, затем уменьшается, проходя через максимальное значение.

3. Напряжение на катушке уменьшается от начального значения, проходит через нулевое значение, изменяя знак и, достигнув наибольшего значения, уменьшается до нуля.

5.6.3. Предельный апериодический разряд конденсатора на катушку и резистор

При соотношении параметров контура из конденсатора, катушки и резистора

,

где R_КР - критическое сопротивление резистора R, корни характеристического уравнения контура вещественные, равные и отрицательные:

p₁ = p₂ = p = -R / (2L).

Переходный процесс получается апериодическим, но граничным с колебательным процессом. Переходный ток и переходное напряжение в этом случае имеют вид:

u_C = (A₁ + A₂ t) e^pt;

.

При начальных условиях u_C(0) = U₀; i(0) = 0 находим: А₁ = U₀; A₂ = -p U₀. С учетом найденных постоянных интегрирования получаем решения:

u_C = U₀ (1 - pt) e^pt;
;
.

Зависимости i, u_C, u_L такие же, как для апериодического разряда.

5.6.4. Периодический (колебательный) разряд конденсатора на цепь с резистором и катушкой

При соотношении параметров контура из конденсатора, катушки и резистора , где R_КР – критическое сопротивление цепи, корни характеристического уравнения комплексные сопряженные:

p_1,2 = -α ± jω,

где α = R / (2L) – коэффициент затухания свободной составляющей;
– угловая частота собственных колебаний контура;
Т₀ – период собственных колебаний.

Поскольку , то можно ввести обозначения

, , .

Свободная составляющая переходного напряжения при комплексно-сопряженных корнях (см. п.п. 5.2.1)

u_Cсв = A e^-αt sin(ω₀t + ψ),

Для свободной составляющей тока имеем

i_св = C A e^-αt (-α sin(ω₀t + ψ) + ω₀ cos(ω₀t + ψ)).

С учетом начальных условий при t = 0, u_C = U₀ , i = 0 из последних двух уравнений находим константы интегрирования:

U₀ = A sin ψ; 0 = C A (-α sin ψ + ω₀ cos ψ).

и далее

.

Запишем переходные напряжения и ток:

u_C = U_Cm e^-αt sin(ω₀t + ψ);
i = -I_m e^-αt sin(ω₀t + π);
u_L= U_Lm e^-αt sin(ω₀t - ψ),

где ; .

Рис. 5.15

Зависимости переходных напряжения и тока u_C, i показаны на рис. 5.15. Они представляют собой затухающие синусоиды. Скорость затухания колебаний оценивают декрементом колебаний. Декремент колебания - это постоянная, зависящая от параметров R, L, С и равная отношению амплитуд переходных параметров, отстающих друг от друга на период колебания Т₀, например:

.

Часто пользуются логарифмическим декрементом колебания:

.

В предельном случае чисто консервативной системы (R = 0) Δ = 1 колебания в параллельно соединенных конденсаторе и катушке носят незатухающий характер. Период этих колебаний дается формулой Томпсона , а частота незатухающих колебаний .

5.7. Включение контура из конденсатора, резистора, катушки на постоянное напряжение

---

Смотрите также файлы

• 8(2) Практикум Переходные процессы в линейных электрических цепях.doc

• 9(1) Трансформаторы.doc

• 9(2) Практикум трансформаторы.doc

• LEX1.doc

• LEX2.doc