ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2020
Просмотров: 241
Скачиваний: 2
2.3
Трансформационные свойства квантовых состояний
Известно, что понятие симметрии физической системы тесно связано с законами
сохранения. Наличие симметрии в физической системе выражается в сохранении ее
физических свойств при определенных преобразованиях. Преобразования связаны с
унитарными операторами, действующими на систему или на координатный базис. Рассмотрим
действие линейного унитарного преобразования
U
на векторы состояний системы
{|
ψ
n
i}
,
приводящее к новым состояниям
{|
ψ
0
n
i}
.
|
ψ
0
n
i
=
U
|
ψ
n
i
,
U
†
=
U
−
1
.
(2.70)
Таким унитарным преобразованием может быть, например, сдвиг во времени, сдвиг в
пространстве, вращение системы координат относительно начала координат и т.п.
Напомним, что в классической теории из принципа однородности времени вытекает закон
сохранения энергии системы, из принципа однородности пространства
–
закон сохранения
импульса, из принципа изотропии пространства
–
закон сохранения момента импульса.
В свою очередь принципы однородности и изотропии позволяют определять линейные
преобразования, соответствующие сдвигу по времени, сдвигу начала координат в трехмерном
пространстве, повороту систем координат и т.д.
Рассматривая скалярное произведение преобразованных состояний (2.70):
ψ
0
n
ψ
0
m
=
ψ
n
U
†
U
ψ
m
=
ψ
n
ψ
m
(2.71)
видно, что при унитарных преобразованиях "длина"
вектора состояний и "угол"
между векторами в пространстве состояний
{h
ψ
0
n
|}
сохраняются. Здесь понятие "угол"
использовано на основе аналогии со скалярным произведением векторов в трехмерном
пространстве.
Определяя некоторое унитарное преобразование над вектором состояний (2.70),
необходимо установить как меняются операторы наблюдаемых при таких преобразованиях.
Для этого рассмотрим матричный элемент произвольного оператора
ˆ
Q
и так как
U
†
U
= 1
,
получим:
ψ
n
ˆ
Q
ψ
m
=
ψ
n
U
†
U
ˆ
QU
†
U
ψ
m
=
ψ
0
n
U
ˆ
QU
†
ψ
0
m
≡
ψ
0
n
ˆ
Q
0
ψ
0
m
(2.72)
Таким образом при унитарных преобразованиях оператор
Q
преобразуется по закону:
Q
0
=
U QU
†
=
U QU
−
1
(2.73)
Оператор
U
, определяющий унитарное преобразование, переходит в единичную матрицу
I
,
если вызванное преобразованием изменение
ε
некоторой переменной стремится к нулю. В
этом случае, для малых
ε
,
U
можно представить в виде:
U
=
I
+
iε
ˆ
T ,
(2.74)
где
ε
–
бесконечное малое число, а оператор
ˆ
T
определяет бесконечно малое преобразование
и называется
генератором бесконечно малого преобразования
. Для того, чтобы
16
удовлетворить условию
U
†
U
=
I
, с точностью до бесконечно малых порядка
ε
, необходимо
чтобы
ˆ
T
= ˆ
T
†
. Так как
U
†
U
= (1
−
iεT
0†
)(1 +
iεT
†
)
'
1 +
iε
(
T
−
T
†
) +
o
(
ε
2
) = 1 +
o
(
ε
2
)
.
Таким образом, генератор бесконечно малого преобразования является эрмитовским
оператором, а, следовательно, связан с наблюдаемой.
Два последовательных унитарных преобразования также дают унитарное преобразование.
В связи с этим,
n
-последовательных бесконечно-малых преобразований, каждое из которых
вызывает изменение
∆ =
ε/n
, определяется оператором:
U
=
h
I
+
i
∆ ˆ
T
i
n
.
(2.75)
Предел при
n
→ ∞
, приводит к понятию оператора конечного преобразования:
U
= lim
n
→∞
h
I
+
i
ε
n
ˆ
T
i
n
= exp
iε
ˆ
T
=
∞
X
k
=0
(
iε
)
k
k
!
ˆ
T
k
.
(2.76)
Так как оператор конечного унитарного преобразования (2.76) определяется оператором
ˆ
T
, то
очевидно, что коммутатор
[
U, T
] = 0
. Это означает, что собственные состояния
ˆ
T
являются
одновременно и собственными для
U
, а собственные значения оператора
ˆ
T
не изменяются
(сохраняются) при действии оператора
U
.
Инвариантность системы по отношению к унитарному преобразованию определяет
закон сохранения собственных значений эрмитовского оператора
ˆ
T
, что соответствует
определенному закону сохранения физической величины
T
.
1.
Сдвиг во времени
Рассмотрим преобразование
ˆ
T
(
τ
)
, которое переносит физическую систему во времени
из
t
в
t
+
τ
, или меняет временную координату с
t
на
t
0
=
t
−
τ
ˆ
T
(
τ
)
|
t
i
=
|
t
0
i
=
|
t
−
τ
i
.
(2.77)
Если изменение времени
τ
мало, то формальное разложение состояния
|
t
0
i
в ряд Тейлора
дает:
|
t
0
i
=
|
t
i
+ (
−
τ
)
∂
∂t
|
t
i
+
1
2!
(
−
τ
)
2
∂
2
∂t
2
|
t
i
+
· · · ≡
exp
−
τ
∂
∂t
|
t
i
.
(2.78)
В результате, сравнивая (2.77) с (2.78), с учетом уравнения Шредингера
(
i
~
∂
∂t
|
ψ
i
=
ˆ
H
|
ψ
i
)
находим, что оператор сдвига во времени есть:
ˆ
T
(
t
) = exp
i
~
t
ˆ
H
,
(2.79)
где
ˆ
H
–
оператор Гамильтона. Оператор (2.79) является оператором сдвига во времени
для состояний в которых
H
сам явно не зависит от времени. То есть симметрия
системы, связанная с однородностью времени, приводит к закону сохранения энергии,
17
так как собственными числами оператора Гамильтона являются энергии
ˆ
H
|
n
i
=
E
n
|
n
i
.
Изменение квантовых состояний во времени определяется в этом случае выражением:
|
ψ
(
t
)
i
= ˆ
T
(
−
t
)
|
ψ
(0)
i
= exp
−
i
~
t
ˆ
H
|
ψ
(0)
i
= exp
−
i
~
tE
0
|
ψ
(0)
i
.
(2.80)
Здесь
E
0
–
энергия состояния системы в начальный момент времени. Оператор
U
(
t
) =
T
(
−
t
) =
T
(
t
)
†
называется
оператором эволюции
.
2.
Сдвиг в пространстве
Одномерный оператор сдвига
ˆ
D
(
z
)
, перемещающий систему из точки
z
0
в точку
z
0
+
z
и,
следовательно, изменяющий координату с
z
0
на
z
0
=
z
0
−
z
определяется равенством
ˆ
D
(
z
)
|
z
0
i
=
|
z
0
i
=
|
z
0
−
z
i
.
(2.81)
Аналогично предыдущему случаю, если перемещение мало, получим
|
z
0
i
=
|
z
0
i
+ (
−
z
)
∂
∂z
0
|
z
0
i
+
1
2!
(
−
z
)
2
∂
2
∂z
2
0
|
z
0
i
+
· · · ≡
exp
−
z
∂
∂z
0
|
z
0
i
(2.82)
или
ˆ
D
(
z
) = exp
−
iz
p
z
~
,
(2.83)
где
p
z
=
−
i
~
∂
∂z
–
проекция оператора импульса на ось
z
. Для трехмерного сдвига, на
вектор
~
r
, обобщением (2.83) является:
~
D
(
~
r
) = exp
−
i
~
~
r
·
ˆ
~
p
,
(2.84)
где
~
p
=
−
i
~
~
∇
–
оператор импульса в координатном представлении.
3.
Вращение в пространстве
Оператор поворота вокруг оси
z
на угол
ϕ
определяется равенством:
ˆ
R
z
(
ϕ
)
|
ϕ
0
i
=
|
ϕ
0
i
=
|
ϕ
0
−
ϕ
i
.
(2.85)
Аналогично предыдущим случаям:
|
ϕ
0
i
= exp
−
ϕ
∂
∂ϕ
0
|
ϕ
0
i
= exp
−
i
L
z
~
ϕ
|
ϕ
0
i
,
(2.86)
где
L
z
=
−
i
~
∂
∂ϕ
–
оператор момента импульса
~
L
= [
~
r
×
~
p
]
. Для произвольного вращения
вокруг оси
~
n
на угол
α
, обобщение (2.86) есть:
ˆ
R
~
n
(
α
) = exp
−
i
~
α
(
~
J
·
~
n
)
,
(2.87)
где
~
J
–
оператор углового момента системы.
Оператором
углового
момента
называется
любой
векторный
оператор
~j
,
удовлетворяющий коммутационным соотношениям:
[
j
i
, j
j
] =
iε
ijk
j
k
,
(2.88)
где
ε
ijk
–
полностью антисимметричый, единичный тензор третьего ранга (символ Леви-
Чивита).
18