ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2020
Просмотров: 239
Скачиваний: 2
Если коммутатор двух операторов равен нулю, то такие операторы называются
коммутирующими
ˆ
A
·
ˆ
B
= ˆ
B
·
ˆ
A
. Если коммутатор операторов не равен нулю, то правило
перестановки операторов определяется выражением (2.17).
Целая положительная степень оператора
определяется равенством
ˆ
A
n
= ˆ
A
·
ˆ
A
·
ˆ
A . . .
ˆ
A
|
{z
}
n
.
(2.18)
Обратный оператор
к
ˆ
A
обозначается как
ˆ
A
−
1
. Обратный оператор определен только тогда,
когда уравнение
ˆ
A
|
x
i
=
|
y
i
разрешимо относительно
|
x
i
. В этом случае
|
x
i
= ˆ
A
−
1
|
y
i
. По
определению:
ˆ
A
−
1
·
ˆ
A
= ˆ
A
·
ˆ
A
−
1
≡
1
,
h
ˆ
A,
ˆ
A
−
1
i
= 0
.
(2.19)
Функция от оператора
определяется по аналогии с разложением функции в ряд Тейлора
(если такое разложение возможно):
ˆ
F
( ˆ
A
)
≡
∞
X
n
=0
1
n
!
F
(
n
)
(0)
·
ˆ
A
(
n
)
,
F
(
n
)
(0) =
∂
n
F
(
x
)
∂x
n
x
=0
.
(2.20)
Выше рассмотрено действие операторов на кет-состояния. Для определения смысла
действия операторов на бра-состояния рассмотрим скалярное произведение
h
b
|
с
ˆ
F
|
a
i
.
Данное произведение, по определению
–
число линейно зависящее от вектора
ˆ
F
|
a
i
и в
соответствии с определением бра-вектора может рассматриваться как произведение вектора
|
a
i
на некоторый бра-вектор. Определенный таким образом бра-вектор зависит линейно от
h
b
|
, так что его можно рассматривать как результат действия некоторого линейного оператора
на
h
b
|
. Этот линейный оператор определяется оператором
ˆ
F
и его естественно считать тем же
самым оператором, действующим на бра-вектор.
Бра-вектор, полученный в результате действия оператора
ˆ
F
на
h
b
|
удобно обозначить в
виде:
h
b
|
ˆ
F
=
F
†
b
, так что уравнение, определяющее вектор
n
h
b
|
ˆ
F
o
имеет вид:
F
†
b
a
=
b
ˆ
F a
≡
b
ˆ
F
a
.
(2.21)
Оператор,
удовлетворяющий
условию
называется
самосопряженным
или
эрмитовским, что символически выражается операторным равенством
A
=
A
†
. Учитывая
операцию сопряжения бра
–
и кет
–
состояний ясно, что эта операция соответствует
операции эрмитовского сопряжения.
Если операторы
ˆ
A
и
ˆ
B
–
самосопряженные, то и сумма операторов
ˆ
A
+ ˆ
B
–
также является
самосопряженном оператором.
Рассмотрим соотношение (2.21) для произведения самосопряженных операторов. По
определению
b
ˆ
A
·
ˆ
B
a
=
ˆ
A
†
b
ˆ
B
a
=
ˆ
B
†
ˆ
A
†
b
a
=
( ˆ
A
·
ˆ
B
)
†
b
a
.
(2.22)
Таким образом
( ˆ
A
ˆ
B
)
†
=
ˆ
B
†
ˆ
A
†
. В результате оператор
ˆ
R
=
ˆ
A
·
ˆ
B
–
самосопряжен, если
h
ˆ
A,
ˆ
B
i
= 0
. Операторы
ˆ
A
·
ˆ
B
+ ˆ
B
·
ˆ
A
и
i
( ˆ
A
·
ˆ
B
−
ˆ
B
·
ˆ
A
)
–
всегда самосопряжены (доказать
самостоятельно).
6
Помимо скалярного произведения бра- и кет-векторов можно рассмотреть их
произведение следующего вида
|
a
i h
b
|
. Скалярно умножая данное произведение на
произвольный вектор
|
x
i
справа, получим вектор
|
a
i
умноженный на число
b
x
, то
есть новый кет-вектор, который линейно зависит от вектора
|
x
i
. Таким образом,
|
a
i h
b
|
–
есть линейный оператор, который действует на кет-векторы. Умножая
|
a
i h
b
|
на бра-вектор
h
x
|
слева получим бра-вектор
h
b
|
, умноженный на число
x
a
. То есть
|
a
i h
b
|
–
может
рассматриваться как оператор, действующий как на бра- так и на кет-состояние, при этом
(
|
a
i h
b
|
)
†
=
|
b
i h
a
|
.
(2.23)
3. Постулат соответствия оператор
–
физическая величина
.
Как отмечалось ранее, направления бра- или кет-векторов соответствуют состояниям
физической системы в определенный момент времени. Следующее утверждение квантовой
теории состоит в том, что динамическим переменным системы соответствуют линейные
самосопряженные операторы (в тот же момент времени).
Динамическими переменными
называются физические величины, использующиеся при
классическом описании системы (координаты, скорости, импульсы, моменты импульсов,
энергия, а так же функции от этих величин и т.п.).
Таким образом вводится утверждение:
динамическая переменная
⇒
линейный самосопряженный оператор
Или другими словами физической величине
F
ставится в соответствие линейный
самосопряженный оператор
ˆ
F
:
F
⇒
ˆ
F
.
В квантовой теории имеет большое значение уравнение вида:
ˆ
F
|
a
i
=
α
|
a
i
,
(2.24)
где
α
число. Если уравнение α
называется собственным
значением оператора
ˆ
F
, а вектор
|
a
i
–
собственным вектором линейного оператора
ˆ
F
.
Соответственно ˆ
F
.
Решение уравнения вида α
∈
α
1
α
2
. . . α
n
. . .
, (в том числе и образующих дискретный ряд чисел). В этом случае:
ˆ
F
|
a
n
i
=
α
n
|
a
n
i
,
(2.25)
где каждому собственному числу
α
n
соответствует свой собственный вектор
|
a
n
i
.
Совокупность всех
α
n
называется
спектром оператора
. В сучае, если одному собственному
числу соответствует несколько векторов состояний, спектр называется вырожденным.
ˆ
F
|
a
nk
i
=
α
n
|
a
nk
i
,
k
∈
1
,
2
, . . . f,
(2.26)
а
f
–
называется кратностью вырождения.
Для самосопряженных операторов выполняются следующие утверждения, вытекающие
из –
собственные значения самосопряженного оператора
–
вещественные числа;
7
–
собственные значения, соответствующие сопряженным бра- и кет-состояниям,
совпадают;
–
бра-вектор,
сопряженный
кет-вектору,
является
собственным
бра-вектором,
относящимся к тому же собственному значению, что и кет-вектор, и обратно;
–
собственные векторы самосопряженного оператора ортонормированы (ортогональны и
нормированы). В случае, если спектр оператора дискретный, условие ортонормировки
состояний имеет вид:
a
n
a
m
=
δ
nm
,
(2.27)
где
δ
nm
–
символ Кронекера.
В случае, если спектр непрерывен, уравнение (2.25) имеет следующий вид:
ˆ
F
|
x
i
=
α
|
x
i
(2.28)
то есть уравнение имеет решение при любых значениях
α
на отрезке
α
min
6
α
6
α
max
.
Условие ортонормировки состояний в этом случае есть:
x
x
0
=
δ
(
x
−
x
0
)
.
(2.29)
Здесь
δ
(
x
)
–
дельта-функция Дирака.
–
набор собственных векторов эрмитовского оператора
–
полный. Условие полноты
векторов состояний можно представить в форме:
X
n
|
n
i h
n
|
= 1
или
Z
|
x
i h
x
|
dx
= 1
.
(2.30)
Динамические переменные, собственные состояния которых образуют полную систему,
называются
наблюдаемыми
. Другими словами, свойство системы, которое может быть
измерено есть наблюдаемая.
Не всякая динамическая переменная в конкретной физической системе обладает
достаточным количеством собственных состояний, чтобы образовать полную систему.
Переменные, собственные состояния которых не образуют полной системы, не являются
наблюдаемыми и не могут быть измерены.
4. Постулат об измерении
.
В квантовой теории постулируется, что
результатом измерения динамической
переменной (или физической величины) является число, принадлежащее спектру
оператора этой физической величины
. Кроме того,
в результате процесса измерения,
вектор состояния системы изменяется и становится собственным для оператора этой
физической величины
. Таким образом, если до измерения квантовая система определялась
вектором состояния
|
ψ
i
и в этой системе проводится измерение величины
F
, которой
соответствует самосопряженный оператор
ˆ
F
, то:
а. необходимо определить собственные векторы и собственные числа оператора
ˆ
F
(например, в случае дискретного невырожденного спектра)
ˆ
F
|
n
i
=
f
n
|
n
i
,
n
= 1
,
2
. . .
;
(2.31)
8
б. результатом измерения может быть только одно из чисел
f
n
;
в. вероятность измерения определенного числа
f
n
определяется квадратом модуля
коэффициента разложения состояния
|
ψ
i
по полному набору состояний
|
n
i
.
|
ψ
i
=
X
n
a
n
|
n
i
;
a
n
≡
n
ψ
,
(2.32)
вероятность
(
f
n
) =
n
ψ
2
=
ψ
n
n
ψ
=
ψ
P
n
ψ
,
(2.33)
здесь
P
n
≡
|
n
i h
n
|
–
оператор проектирования на состояние
|
n
i
. Оператор
проектирования удовлетворяет очевидным соотношениям:
P
n
P
m
=
δ
nm
P
n
,
P
†
n
=
P
n
;
(2.34)
г. в результате измерения состояние
|
ψ
i
переходит (редуцируется) в состояние
|
ψ
i ⇒
|
Φ
n
i
=
|
n
i
, которое является собственным для оператора
ˆ
F
. Другими словами, любое
последующее измерение физической величины
ˆ
F
в заданной системе будет приводить с
вероятностью равной единице к значению величины
f
n
.
Нормированное состояние после измерения
|
Φ
n
i
имеет вид:
|
Φ
n
i
=
1
q
ψ
P
ψ
·
P
n
|
ψ
i
.
(2.35)
Как следует из постулата об измерении физической величины процесс измерения в
квантовой теории носит вероятностный характер. То есть теория предсказывает лишь
вероятность измерения конкретного значения. Многократное повторение измерения в
системе предполагает наличие ансамбля систем в состоянии
|
ψ
i
. В этом случае можно
внести понятие среднего значения физической величины, которое будет получено в результате
многократных измерений в данном ансамбле состояний. Обозначим среднее значение
величины
F
символом
h
F
i
, тогда по определению теории вероятности на основании (2.33):
h
F
i
=
X
n
f
n
· |
n
ψ
|
2
=
X
n
f
n
ψ
n
n
ψ
.
(2.36)
С учетом (2.32),(2.31) данное равенство можно преобразовать следующим образом:
h
F
i
=
X
n
ψ
ˆ
F
n
n
ψ
=
ψ
ˆ
F
ψ
.
(2.37)
Выражение
ψ
ˆ
F
ψ
–
определяет правило вычисления среднего значения произвольной
физической величины, полученной в результате многократного повторения процесса
измерения
F
в ансамбле состояний
|
ψ
i
.
Из постулата соответствия оператор
–
физическая величина и постулата об измерении
вытекает
теорема
"принцип
неопределенности
для
физических
величин",
которая
формулируется следующим образом:
9
Теорема
Если для произвольных линейных эрмитовских операторов
ˆ
F
и
ˆ
M
выполняется равенство
:
h
ˆ
F ,
ˆ
M
i
=
i
ˆ
K,
(2.38)
где
ˆ
K
–
линейный эрмитовский оператор, то для операторов среднеквадратичных отклонений
∆ ˆ
F
2
= ( ˆ
F
−
< F >
)
2
и
∆ ˆ
M
2
= ( ˆ
M
−
< M >
)
2
имеет место неравенство:
h
(∆ ˆ
F
)
2
ih
(∆ ˆ
M
)
2
i
>
h
ˆ
K
2
i
4
(2.39)
Содержательная часть данной теоремы состоит в том, что физические величины
F
и
M
могут
быть измерены точно в одном состоянии, только при условии, если их операторы коммутируют
друг с другом.
5. Эволюция квантовых состояний
Квантовое состояние реальной физической системы зависит от времени
|
ψ
(
t
)
i
. Развитие
состояния во времени (эволюция) определяется уравнением
i
~
∂
∂t
|
ψ
(
t
)
i
= ˆ
H
|
ψ
(
t
)
i
,
(2.40)
где
~
–
постоянная Планка, а
ˆ
H
–
некоторый специальный самосопряженный оператор,
который носит название оператор Гамильтона или Гамильтониан системы и определяется как
сумма операторов кинетической энергии
T
и потенциальной функции
U
.
ˆ
H
= ˆ
T
+ ˆ
U
. В случае,
если потенциальная функция не зависит от времени,
U
совпадает с потенциальной энергией
системы. Явный вид этих операторов устанавливается в теории представлений (см. ниже).
Если, например, состояние
|
ψ
(
t
)
i
–
является собственным состоянием оператора
Гамильтона
ˆ
H
|
ψ
(
t, E
n
)
i
=
E
n
|
ψ
(
t, E
n
)
i
,
(2.41)
то, как следует из (2.40), зависимость такого состояния от времени определяется
выражением:
|
ψ
(
t, E
n
)
i
= exp
−
i
E
n
~
t
|
E
n
i
,
(2.42)
здесь
E
n
–
энергия системы, а
|
E
n
i
-собственный вектор оператора
H
. В квантовой теории
состояния типа (2.42) называются стационарными квантовыми состояниями.
Эволюция состояния
|
ψ
(
t
)
i
во времени может быть описана на языке оператора эволюции,
который связывает состояния в различные моменты времени. Так, если в начальный момент
t
= 0
исходное состояние обозначить
|
ψ
(0)
i
, то состояние в момент времени
t
определяется
выражением:
|
ψ
(
t
)
i
= ˆ
U
(
t
)
|
ψ
(0)
i
,
(2.43)
где
ˆ
U
(
t
)
- оператор эволюции. Подставляя (2.43) в (2.40) нетрудно получить уравнение для
определения оператора эволюции:
i
~
∂
∂t
ˆ
U
= ˆ
H
ˆ
U .
(2.44)
10