ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2020
Просмотров: 240
Скачиваний: 2
Очевидно, что если
ˆ
H
не зависит от времени, то оператор эволюции равен:
U
(
t
) = exp
−
i
~
ˆ
H
·
t
.
(2.45)
Подводя итог формулировки общих принципов квантовой теории можно еще раз
вернуться к понятию состояния квантовой системы. В определении состояния утверждается,
что состояние
–
это полный набор переменных, характеризующих систему. В общем случае
этот набор переменных устанавливается как совокупность физических величин, операторы
которых коммутируют друг с другом и коммутируют с оператором Гамильтона.
2.2
Представление квантовых состояний и операторов
Изложенная выше формальная аксиоматическая схема квантовой теории, построенная
в воображаемом гильбертовом пространстве не является физической теорией, так как
не позволяет ответить на вопрос о том, как конкретно изложенные принципы связаны
с физическими системами и наблюдаемыми, не устанавливает явного вида операторов
физических величин и соответствия этих операторов известным математическим операторам.
Физическое "оживление" квантовой теории осуществляется на основе так называемой
теории представлений. Теория представлений устанавливает связь квантовых состояний с
комплексными числами и операторов с математическими операциями над полем комплексных
чисел .
Как следует из определения квантовых состояний комплексные числа образуются при
скалярном произведении векторов состояний.
Введем следующую терминологию. Будем называть векторы состояний физических
величин следующим образом (ниже
x
–
координата,
p
–
импульс,
E
–
энергия):
|
x
i
–
состояние с определенным значением координаты,
|
p
i
–
состояние с определенным значением импульса,
|
E
n
i
–
состояние с определенным значением энергии,
|
f
n
i
–
состояние с определенным значением физической величины
F
и т.д.
В теории представлений вводится понятие:
функция состояния в
F
-представлении
по
следующему определению:
Ψ
состояние
(
представление
)
≡
представление
состояние
.
(2.46)
В соответствии с (2.46), например, следующие скалярные произведения будут именоваться:
x
p
–
функция состояния с определенным значением импульса в координатном
представлении;
p
x
–
функция состояния с определенным значением координаты в импульсном
представлении;
x
E
n
–
функция состояния с определенным значением энергии в координатном
представлении;
f
n
A
–
функция состояния с определенным значением физической величины
A
в
F
-
представлении и т.п.
По определению функции некоторого состояния в определенном представлении является
комплексным числом или комплексной функцией своих переменных, вычисление которых
11
определяется стандартными, хорошо известными правилами теории функций комплексной
переменной. На основании (2.46) и (2.9) видно, в качестве вектора представления состояний
может быть вектор, соответствующий произвольной динамической переменной. Более того,
по сути имеется полная симметрия между переменными, определяющими состояние и
перменными, определяющими представление. По историческим причинам в квантовой теории
координатное представление имеет, в определенной степени, преимущественое значение,
так как квантовая механика, построенная Шредингером в координатном представлении
приводит к хорошо разработанному математическому способу описаная, основаному на
решении дифференциальных уравнений. При этом
Ψ
E
(
x
)
≡
x
E
называется волновой
функцией в координатном представлении. Энергетическое представление было использовано
Гейзенбергом, приведя к формулировке матричной квантовой механики. По сути можно
построить неограниченное число представлений квантовой теории.
Аналогично способу задания соответствия состояний и комплексных функций необходимо
ввести правила задания соответствия для операторов, действующих в формальном
математическом гильбертовом пространстве, математическим операциям определенным над
полем комплексных чисел (функций) в заданном представлении.
Любое преобразование векторов состояний в Гильбертовом пространстве под действием
оператора, в общем случае имеет вид:
|
A
i
= ˆ
S
|
B
i
,
(2.47)
где
ˆ
S
–
произвольный оператор. В квантовой теории для физических величин и функций от
них используются только линейные самосопряженные (эрмитовские) операторы.
Установим вид соотношения (2.47) в произвольном
F
-представлении. Пусть физической
величине
F
соответствует линейный эрмитовский оператор
ˆ
F
, собственные значения
f
n
которого, образуют дискретный спектр:
ˆ
F
|
n
i
=
f
n
|
n
i
,
n
= 1
,
2
. . .
(2.48)
Разложения состояний
|
A
i
и
|
B
i
из (2.47) по полному набору состояний
|
n
i
имеют вид:
|
A
i
=
X
n
a
n
|
n
i
=
X
n
|
n
i
n
A
(2.49)
|
B
i
=
X
n
b
n
|
n
i
=
X
n
|
n
i
n
B
(2.50)
Подставляя (2.49), (2.50) в (2.47) и умножая полученное равенство на
h
m
|
, находим:
m
A
=
X
n
m
ˆ
S
n
n
B
,
m, n
∈
1
,
2
. . .
(2.51)
Если ввести для краткости обозначение
m
ˆ
S
n
≡
S
mn
, то видно, что уравнение (2.51)
является матричным уравнением, связывающим набор комплексных чисел
m
A
(
m
=
1
,
2
, . . .
) с набором комплексных чисел
n
B
(
n
= 1
,
2
, . . .
). Каждый из этих наборов
12
образует функции состояния
A
или
B
в
F
–
представлении:
1
A
2
A
..
.
k
A
..
.
=
S
11
S
12
S
13
. . .
S
21
S
22
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
S
k
1
S
k
2
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
B
2
B
..
.
k
B
..
.
(2.52)
Таким образом, вектор состояния определенный набором комплексных чисел
n
A
получается из вектора состояния определенного набором комплексных чисел
n
B
путем действия оператора, имеющего вид матрицы
S
, элементы которой
S
nm
называются
матричными элементами оператора
ˆ
S
. Фактически (2.52) и определяет вид оператора
ˆ
S
в
F
-
представлении.
Рассмотрим один тривиальный, но поучительный пример. Пусть оператор
ˆ
S
совпадает с
оператором
ˆ
F
. В этом случае на основании (2.48) имеем:
m
ˆ
S
n
≡
m
ˆ
F
n
=
f
n
m
n
=
f
n
δ
nm
,
(2.53)
где
δ
nm
–
символ Кронекера.
Таким образом,
оператор
в
своем
собственном
представлении есть диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят
собственные числа оператора
ˆ
F
→
f
1
0
0
. . .
0
f
2
0
. . .
0
0
f
3
. . .
. . . . . . . . . . . . . .
(2.54)
Как следует из изложенного выше размерность матрицы оператора определяется числом
состояний
|
n
i
. Так, если оператор имеет только два собственных состояния, то операторы,
действующие в пространстве этих двух состояний являются квадратными матрицами
размерности
2
×
2
. При числе состояний
n
–
образуются квадратные матрицы размерности
n
×
n
. Для случая бесконечного числа состояний операторы являются квадратными матрицами
бесконечной размерности.
Для случая, когда оператор
ˆ
F
–
имеет непрерывный спектр, уравнение (2.48) есть:
ˆ
F
|
F
i
=
f
|
F
i
,
(2.55)
и вместо (2.51), действуя аналогично выводу уравнения (2.51) получим интегральное
равенство:
F
A
=
Z
F
ˆ
S
F
0
F
0
B
dF
0
.
(2.56)
Таким образом, если спектр оператора непрерывен, оператор
ˆ
S
становится ядром
интегрального
преобразования.
В
случае,
если
ˆ
S
≡
ˆ
F
,
ядро
интегрального
преобразования (2.56) имеет вид:
F
ˆ
S
F
0
≡
F
ˆ
F
F
0
=
S
F F
0
=
f
0
δ
(
F
−
F
0
)
,
(2.57)
13
где
δ
(
F
−
F
0
)
–
дельта-функция Дирака. Оператор в этом частном случае (оператор в
своем собственном представлении) является бесконечно мерной непрерывной диагональной
матрицей, на главной диагонали которой расположены собственные значения оператора.
Например, координата (частицы)
x
–
принимает непрерывный ряд значений. Ядро
интегрального преобразования (2.56) оператора координаты в координатном представлении,
в соответствии с (2.56), (2.57) есть:
x
ˆ
x
x
0
=
x
0
δ
(
x
−
x
0
)
.
(2.58)
Таким образом, оператор координаты в координатном представлении есть умножение на
координату
x
(ˆ
x
≡
x
)
, а уравнение (2.47) в кординатном представлении имеет вид:
x
A
=
x
x
B
.
(2.59)
Аналогично, если импульс частицы в системе принимает непрерывный ряд значений, получим,
что оператор импульса в импульсном представлении есть умножение на импульс
(ˆ
p
=
p
)
.
Как уже отмечалось выше, конкретный вид уравнений квантовой механики может
быть получен в представлении любой физической величины или динамической переменной.
Исторически первые уравнения квантовой теории были установлены независимо в
координатном представлении (Шредингер) и энергетическом представлении (Гейзенберг). Так
уравнение (2.40) в координатном представлении имеет вид:
i
~
∂
∂t
x
ψ
= ˆ
H
x
ψ
.
(2.60)
Здесь
x
ψ
≡
ψ
(
x, t
)
–
волновая функция в координатном представлении, а
ˆ
H
–
оператор
Гамильтона в координатном представлении. Для одной частицы массы
m
, находящейся в
потенциальном поле с потенциальной энергией
U
(
x
)
(для одномерного случая) оператор
ˆ
H
есть:
ˆ
H
= ˆ
T
+ ˆ
U
=
ˆ
p
2
2
m
+
U
(
x
)
.
(2.61)
Для определения явного вида
ˆ
H
необходимо установить вид оператора импульса в
координатном представлении, так как вид оператора потенциальной энергии в координатном
представлении, в силу (2.58), (2.59) совпадает с потенциальной функцией.
В силу того, что оператор импульса в импульсном представлении известен
—
это
есть умножение на импульс, возникает задача нахождения вида оператора импульса в
координатном представлении.
Для состояний с определенным значением импульса, (состояний непрерывного спектра)
имеет место равенство:
p
0
p
=
δ
(
p
−
p
0
)
.
(2.62)
В силу условия полноты состояний с определенным значением координаты
R
|
x
i h
x
|
dx
= 1
,
перепишем (2.62) в виде:
p
0
p
=
∞
Z
−∞
p
0
x
x
p
dx
=
δ
(
p
−
p
0
)
.
(2.63)
14
По определению
x
p
≡
ψ
p
(
x
)
–
функция состояния с определенным значением импульса
в координатном представлении, а
p
0
x
=
x
p
0
∗
=
ψ
∗
p
0
(
x
)
–
комплексно сопряженная
функция состояния с определенным значением импульса в координатном представлении, то
есть (2.63) имеет вид:
∞
Z
−∞
ψ
∗
p
0
(
x
)
·
ψ
p
(
x
)
dx
=
δ
(
p
−
p
0
)
.
(2.64)
Для
δ
–
функции Дирака известно интегральное определение:
∞
Z
−∞
exp [
ix
(
k
−
k
0
)]
dx
= 2
π δ
(
k
−
k
0
)
.
(2.65)
Таким образом:
x
p
≡
ψ
p
(
x
) =
1
√
2
π
~
exp
i
p
~
x
.
(2.66)
Очевидно, что спектр оператора не зависит от типа представления и, например, уравнение на
собственные функции оператора импульса в координатном представлении
ˆ
p
x
имеет вид:
ˆ
p
x
x
p
=
p
x
p
.
(2.67)
На основании (2.66) можно установить, что оператор импульса в координатном
представлении есть:
ˆ
p
x
≡ −
i
~
∂
∂x
.
(2.68)
В результате одномерное уравнение Шредингера для частицы в поле
U
(
x
)
в координатном
представлении имеет вид уравнения в частных производных:
i
~
∂ψ
(
x, t
)
∂x
=
−
~
2
2
m
∂
2
∂x
2
+
U
(
x
)
ψ
(
x, t
)
.
(2.69)
Волновая функция в координатном представлении обычно и называется волновой
функцией. Волновая функция удовлетворяет следующей статистической интерпретации:
|
ψ
(
x, t
)
|
2
dx
–
есть вероятность обнаружить частицу в интервале
x
÷
x
+
dx
в момент
времени
t
. На волновую функцию в координатном представлении накладываются три
условия, которые называются
стандартными
. А именно, волновая функция должна быть:
ограниченой, непрерывной и однозначной
функцией своих переменных.
Статистическая интерпретация функции состояния в произвольном представлении
отражает вероятностный характер принципов квантовой механики и имеет аналогичный
смысл.
15