ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2020
Просмотров: 106
Скачиваний: 1
4.2
Эволюция оператора плотности.
Эволюция оператора плотности легко определяется в случае, когда две подсистемы
A
и
B
не связаны друг с другом. Гамильтониан в этом случае имеет вид:
ˆ
H
AB
= ˆ
H
A
⊗
ˆ
I
B
+ ˆ
I
A
⊗
ˆ
H
B
,
(4.17)
где
ˆ
H
A
и
ˆ
H
B
–
операторы, действующие в пространстве векторов состояний
A
и
B
,
соответственно.
Оператор эволюции для объединенной системы в этом случае есть прямое произведение
операторов эволюции векторов состояний систем
A
и
B
:
ˆ
U
AB
(
t
) =
U
A
(
t
)
⊗
U
B
(
t
)
.
(4.18)
Вектор состояния объединенной системы в произвольный момент времени может быть
представлен в виде:
|
Ψ(
t
)
i
AB
=
X
n,m
a
nm
|
n
(
t
)
i
A
⊗ |
m
(
t
)
i
B
,
(4.19)
где векторы состояний
|
n
(
t
)
i
A
=
U
A
(
t
)
|
n
(0)
i
A
,
|
m
(
t
)
i
B
=
U
B
(
t
)
|
m
(0)
i
B
,
(4.20)
определяют новый ортогональный базис, так как
U
A
(
t
)
и
U
B
(
t
)
–
унитарные операторы. Таким
образом, оператор матрицы плотности подсистемы
A
есть
ˆ
%
A
(
t
) =
X
n,m,k
a
nm
a
∗
km
|
n
(
t
)
i
AA
h
m
(
t
)
|
=
U
A
(
t
)
%
A
(0)
U
†
A
(
t
)
(4.21)
В частном случае, в базисе состояний, в котором
ˆ
%
A
(0)
–
диагональна, получим:
ˆ
%
A
(
t
) =
X
n
p
n
U
A
(
t
)
|
n
(0)
i
A A
h
n
(0)
|
U
†
A
(
t
)
.
(4.22)
Если оператор Гамильтона
ˆ
H
не зависит от времени, то
ˆ
%
(
t
) = exp
−
i
~
ˆ
Ht
ˆ
%
(0) exp
i
~
ˆ
Ht
,
(4.23)
из которого следует уравнение:
i
~
∂
ˆ
%
∂t
=
h
ˆ
H, %
i
.
(4.24)
Данное уравнение часто называют уравнением Лиувилля, так как оно имеет вид совпадающий
с уравнением движения в фазовом пространстве для функции распределения вероятности в
классической механике.
Уравнение (4.22) справедливо только при выполнении условия (4.17). Более общий случай
будет рассмотрен позднее.
35
4.3
Вектор поляризации. Спиновая матрица плотности.
Для детального описания чистых спиновых состояний вводится
вектор поляризации
~
P
,
компоненты которого определяются как средние значения матриц Паули
P
i
≡ h
σ
i
i
;
i
=
x, y, z
или
1
,
2
,
3
.
(4.25)
В
s
z
-представлении, с учетом явного вида матриц Паули получим для пучка частиц,
находящихся в чистом
|
0
i
состоянии:
P
x
=
0
σ
x
0
= (1
,
0)
0 1
1 0
1
0
= 0
(4.26)
P
y
=
0
σ
y
0
= 0;
P
z
=
0
σ
z
0
= 1
.
Аналогично для ансамбля частиц, находящихся в чистом состоянии
|
1
i
:
P
x
=
1
σ
x
1
= 0;
P
y
=
1
σ
y
1
= 0;
P
z
=
1
σ
z
1
=
−
1
.
(4.27)
В обоих случаях векторы поляризации имеют единичную длину, но направлены
противоположно.
Рассмотрим теперь чистое нормированное однокубитовое состояние, являющееся
суперпозицией состояний
|
0
i
и
|
1
i
:
|
Ψ
i
=
a
1
|
0
i
+
a
2
|
1
i ≡
cos
θ
2
|
0
i
+
e
iϕ
sin
θ
2
|
1
i
=
cos(
θ/
2)
e
iϕ
sin(
θ/
2)
(4.28)
рис.4.2.
В этом случае получим для компонент вектора
поляризации
P
x
=
Ψ
σ
x
Ψ
= sin
θ
cos
ϕ,
P
y
=
Ψ
σ
y
Ψ
= sin
θ
sin
ϕ,
P
z
=
Ψ
σ
z
Ψ
= cos
θ.
(4.29)
Вектор
поляризации,
компоненты
которого
определяются
выражениями
также
имеют
единичную длину, а параметры
θ
и
ϕ
являются углами
сферической
системы
координат,
определяющие
направление
~
P
(см. рис. 4.2.). Если выбрать новую
систему координат
(
x
0
, y
0
, z
0
)
так, что ось
z
0
была
параллельна
~
P
, то выбирая ось
z
0
в качестве оси
квантования, получим в новой системе координат
P
x
0
= 0
,
P
y
0
= 0
,
P
z
0
= 1
. Если направить пучок через фильтр
Штерна-Герлаха, расположенный параллельно вектору
~
P
, то весь пучок пройдет через фильтр полностью.
Рассмотрим теперь вектор поляризации пучка спинов, приготовленного из двух пучков,
в которых
n
1
частиц приготовлены в состоянии
|
0
i
, а
n
2
в состоянии
|
1
i
независимо друг от
друга. В соответствии с (4.16)
P
i
=
h
σ
i
i
=
Sp
ˆ
F
ˆ
%
=
p
1
0
σ
i
0
+
p
2
1
σ
i
1
,
(4.30)
36
где
p
1
=
n
1
/n
,
p
2
=
n
2
/n
,
n
=
n
1
+
n
2
. Вычисления
P
i
по (4.30) приводят к следующему
результату:
P
x
= 0
,
P
y
= 0
,
P
z
=
p
1
−
p
2
= (
n
1
−
n
2
)
/n.
(4.31)
Как видно длина вектора поляризации меньше единицы и пропорциональна разности числа
спинов в состояниях
|
0
i
и
|
1
i
.
В общем случае, когда пучок приготовлен путем смешивания
n
A
частиц в состоянии
|
Ψ
A
i
см. (4.28) и
n
B
частиц в состоянии
|
Ψ
B
i
, компоненты вектора поляризации равны:
P
i
=
p
A
Ψ
A
σ
i
Ψ
A
+
p
B
Ψ
B
σ
i
Ψ
B
=
p
A
P
A
i
+
p
B
P
B
i
, i
= 1
,
2
,
3
.
(4.32)
Здесь
p
A
=
n
A
/n
;
p
B
=
n
B
/n
;
n
=
n
A
+
n
B
, а
P
A
i
и
P
B
i
определяются выражением (4.29).
Соотношение (4.32) в векторном виде есть:
~
P
=
p
A
~
P
A
+
p
B
~
P
B
,
(4.33)
при этом
|
~
P
A
|
=
|
~
P
B
|
= 1
. Модуль вектора
~
P
в (4.33) определяется соотношением:
|
~
P
|
=
√
P
2
=
q
p
2
A
+ 2
p
A
p
B
(
~
P
A
·
~
P
B
) +
p
2
B
6
6
q
p
2
A
+ 2
p
A
p
B
+
p
2
B
=
p
(
p
A
+
p
B
)
2
=
√
1 = 1
.
(4.34)
Таким образом, длина вектора поляризации системы частиц, находящихся в смешанном
состоянии удовлетворяет условию:
0
6
|
~
P
|
6
1
.
(4.35)
Максимально возможное значение
|
~
P
|
= 1
достигается, когда пучок находится в чистом
состоянии, а для смешанных состояний
|
~
P
|
<
1
.
Спиновая матрица плотности является двумерной эрмитовой матрицей, которую можно
представить в виде линейной комбинации единичной
2
×
2
матрицы и матриц Паули
σ
i
:
%
=
aI
+
3
X
k
=1
b
k
σ
k
.
(4.36)
В этом выражении коэффициенты
a
,
b
1
,
b
2
,
b
3
подлежат определению. Учитывая, что
Sp %
= 1
,
получим
a
= 1
/
2
. Умножая (4.36) на
σ
i
и вычисляя
Sp %σ
i
, получим:
Sp %σ
i
≡ h
σ
i
i ≡
P
i
=
3
X
k
=1
b
k
Sp
(
σ
i
σ
k
) =
3
X
k
=1
b
k
·
2
δ
ik
= 2
b
i
, i
= 1
,
2
,
3
(4.37)
так как с учетом свойств матриц Паули
Sp
(
σ
i
σ
k
) = 2
δ
ik
. Таким образом,
b
i
=
P
i
/
2
. В
результате вид спиновой матрицы плотности есть:
%
=
1
2
(
I
+
~
σ
·
~
P
) =
1
2
1 +
P
z
P
x
−
iP
y
P
x
+
iP
y
1
−
P
z
.
(4.38)
37
Исходя из полученного выражения
det %
=
1
4
(1
−
P
2
)
. Таким образом, условие
положительности собственных значений
%
есть
det %
>
0
или
P
2
6
1
.
В случае чистого состояния
|
A
i
, оператор плотности есть оператор проектирования
%
(
A
)
=
|
A
i h
A
|
, и, обозначая вектор поляризации состояния
|
A
i
через
~
P
(
A
)
, находим:
|
A
i h
A
|
=
1
2
(1 +
~
σ
·
~
P
(
A
)
)
(4.39)
В результате
A
%
A
=
Sp
{|
A
i h
A
|
%
}
=
1
4
Sp
{
(1 +
~
σ
·
~
P
(
A
)
)(1 +
~
σ
·
~
P
)
}
=
1
2
(1 +
~
P
(
A
)
·
~
P
)
.
(4.40)
Данный результат можно интерпретировать следующим образом. Если пучок частиц
определяется матрицей плотности
%
, то этот пучок может проходить через фильтр
Штерна-Герлаха лишь находясь в чистом состоянии
|
A
i
. Другими словами, если фильтр
ориентирован параллельно вектору
~
P
(
A
)
, то вероятность того, что частица пучка пройдет
через фильтр определяется скалярным произведением
~
P
(
A
)
·
~
P
. Вероятность максимальна,
если
~
P
ориентирован параллельно градиенту поля
(
~
P
(
A
)
)
и минимальна, в случае его
антипараллельной ориентации. В частности, если пучок не поляризован
(
~
P
= 0)
, то для
любого фильтра:
A
%
A
= 1
/
2
.
(4.41)
В соответствии с (4.38)
P
x
,
P
y
,
P
z
представляют собой тот минимальный набор данных,
который необходим для определения матрицы плотности спина
1
/
2
.
Таким образом, начальной информацией о пучке является значение трех компонент
вектора
~
P
. Если вектор
~
P
известен, то (4.38) содержит всю информацию о пучке.
Если
|
~
P
|
= 1
, то система (пучок) находится в чистом спиновом состоянии. В этом случае
достаточно двух параметров для описания системы (например, углы
θ
и
ϕ
вектора
~
P
).
Если
|
~
P
|
<
1
, то пучок находится в смешанном состоянии. Такие состояния
характеризуются тремя параметрами (
|
~
P
|
,
θ
,
ϕ
).
4.4
Разложения Шмидта (Schmidt)
Теорема
.
Пусть
|
Ψ
i
–
чистое состояние составной системы
A
+
B
. Тогда
существуют ортонормированные состояния
|
i
A
i
системы
A
и ортонормированные
состояния
|
i
B
i
системы
B
такие, что
|
Ψ
AB
i
=
X
i
λ
i
|
i
A
i |
i
B
i
(4.42)
где
λ
i
–
неотрицательные числа, удовлетворяющие условию
P
i
λ
2
i
= 1
.
λ
i
–
назы-
ваются коэффициенты Шмидта
.
Докажем теорему в случае, когда
A
и
B
имеют пространство состояний одной
размерности.
38
Пусть
|
j
i
и
|
k
i
–
образуют произвольный ортонормированный базис для систем
A
и
B
,
соответственно, тогда
|
Ψ
i
может быть представлено в виде
|
Ψ
AB
i
=
X
j,k
a
jk
|
j
i |
k
i
,
a
jk
=
jk
Ψ
AB
.
(4.43)
Набор чисел
a
jk
образует эрмитово-сопряженную комплексную матрицу
a
, которую можно
привести к диагональному виду. Представим матрицу
a
в виде
a
=
udv
, где
d
–
диагональная
матрица с неотрицательными элементами, а
u
и
v
–
унитарные матрицы. Тогда (4.43) можно
переписать в виде
|
Ψ
AB
i
=
X
i,j,k
u
ij
d
ii
v
ik
|
j
i |
k
i
.
(4.44)
Переопределим базис состояний в
A
и
B
|
i
A
i
=
X
j
u
ji
|
j
i
и
|
i
B
i
=
X
k
v
ik
|
k
i
,
(4.45)
и обозначим
d
ii
=
λ
i
. В результате из (4.44) находим:
|
Ψ
AB
i
=
X
i
λ
i
|
i
A
i |
i
B
i
.
(4.46)
В силу унитарности
u
и
v
, наборы состояний
|
i
A
i
и
|
i
B
i
в (4.45) образуют полную
ортонормированную
систему
или
базис
Шмидта.
Это
и
определяет
содержание
теоремы (4.42).
Число ненулевых значений
λ
i
в (4.46) или (4.42) называется числом Шмидта для
состояния
|
Ψ
AB
i
. Это число характеризует степень запутанности состояний сложной
системы.
39