Файл: Программа Математическое моделирование в экономике и технике.docx

_i и соответствующих им событий А_i одинаковы: Р (Х = х_i) = Р (А_i) = р_i. Итак, появление в испытании события А равносильно событию, заключающемуся в том, что дискретная случайная величина Х приняла возможное значение х_i.

Сформулируем правило для данного случая: для того, чтобы разыграть испытание, в котором наступает одно из событий А₁, А₂, …, А_n полной группы, вероятности которых соответственно равны р_1, р₂, …, р_n, достаточно разыграть дискретную случайную величину Х с законом распределения:

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Если в испытании величина Х приняла возможное значение х_i=i, то наступило событие А_i.

Пример 3. Пусть заданы вероятности четырех событий, образующих полную группу: р₁=Р(А₁)=0,19, р₂=Р(А₂)=0,21, р₃=Р(А₃)=0,34, р₄=Р(А₄)=0,26. Нужно разыграть пять испытаний, в каждом из которых появляется одно из четырех заданных событий.

Решение.

В соответствии с приведенном выше правилом, нужно разыграть дискретную случайную величину Х, закон распределения которой:

X	1	2	3	4
p	0,19	0,21	0,34	0,26

Разобьем интервал (0, 1) на четыре интервала: ∆₁=(0; 0,19), ∆₂=(0,19; 0,40), ∆₃=(0,40; 0,74), ∆₄=(0,74; 1). Выберем из таблицы 5 случайных чисел: 0,66; 0,31; 0,85; 0,63; 0,73. Случайное число r₁=0,66 принадлежит интервалу ∆₃, поэтому Х=3 и, следовательно, наступило событие А₃. Аналогично были найдены остальные события. В результате получается следующая последовательность событий: А₃, А₂, А₄, А₃, А₃.

Пример 4. События А и В независимы и совместны. Нужно разыграть 6 испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6, а вероятность появления события В равна 0,2.

Решение.

Необходимо рассмотреть 4 возможных исхода испытания:

А₁=АВ, причем в силу независимости событий Р(АВ)=Р(А)·Р(В)=0,6·0,2=0,12.

А₂=

---

, причем Р( =0,4·0,2=0,08.

А₃= , причем Р( =0,6·0,8=0,48.

А₄= , причем Р( )=0,4·0,8=0,32.

Таким образом, задача сводится к разыгрыванию полной группы четырех событий: А₁ с вероятностью р₁=0,12, А₂ с вероятностью р₂=0.08, А₃ с вероятностью р₃=0,48, А₄ с вероятностью р₄=0,32.

Далее, данная задача сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины Х с законом распределения:

Х	1	2	3	4
р	0,12	0,08	0,48	0,32

Выберем 6 чисел из таблицы случайных величин: 0,45; 0,65; 0,06; 0,59; 0,33; 0,70. Разобьем интервал (0, 1) на следующие интервалы: ∆₁=(0; 0,12), ∆₂=(0,12; 0,20), ∆₃=(0,20; 0,68), ∆₄=(0,68; 1). Случайное число r₁=0,45 принадлежит интервалу ∆₃, и, следовательно, наступило событие А₃. Аналогично найдем исходы остальных испытаний.

Получаем следующую последовательность исходов разыгранных испытаний: А₃, А_3, А₁, А₃, А₃, А₄ или , , АВ, , , .

Пример 5. События А и В зависимы и совместны. Необходимо разыграть 4 испытания, в каждом из которых заданы вероятности Р(А)=0,6; Р(В)=0,6; Р(АВ)=0,5.

Решение.

Необходимо рассмотреть 4 исходы испытания:

А₁=АВ, причем, по условию, Р(АВ)=0,5;

А₂=А , причем Р(А =Р(А) - Р(АВ)=0,8-0,5=0,3;

А₃= , причем Р( )=Р(В)-Р(АВ)=0,6-0,5=0,1;

---

А₄= , причем Р( )=1 – (Р(А₁)+Р(А₂)+Р(А₃))=1-(0,5+0,3+0,1)=0,1.

Таким образом, задача сводится к разыгрыванию полной группы четырех событий: А₁ с вероятностью 0,5, А₂ с вероятностью 0,3, А₃ с вероятностью 0,1 и А₄ с вероятностью 0,1.

Далее, эта задача сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины Х с законом распределения:

Х	1	2	3	4
р	0,5	0,3	0,1	0,1

Выберем 4 числа из таблицы случайных чисел: 0,65; 0,06; 0,59; 0,33. Разобьем интервал (0, 1) на следующие интервалы: ∆₁=(0; 0,5), ∆₂=(0,5; 0,8), ∆₃=(0,8; 0,9), ∆₄=(0,9; 1). Случайное число r₁=0,65 принадлежит интервалу ∆₂, и, следовательно, наступило событие А₂. Аналогично найдем исходы остальных испытаний.

В результате получим следующую последовательность исходов разыгранных испытаний: А₂, А₁, А_2, А₁ или А , АВ, А , АВ.

4. Разыгрывание непрерывной случайной величины

Метод обратных функций.

Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину Х, т.е. нужно получить последовательность ее возможных значений х_i (i=1,2,…), зная функцию распределения F(x).

Теорема 1. Если r_j – случайное число, то возможное значение x_i разыгрываемой непрерывной случайной величины Х с заданной функцией распределения F(x), соответствующее r_j является корней уравнения

(*)

Докажем это утверждение.

Доказательство. Выберем случайное число r_j (0 ≤ r_j < 1). В силу того, что в интервале возможных значений Х функция F(x) монотонно возрастает от 0 до 1, в этом интервале существует, причем единственное, значение аргумента x_i, при котором функция распределения примет значения r_j. Иными словами, для уравнения (*) существует единственное решение

---

, где F^-1 – функция, обратная к функции F(x).

Теперь докажем, что корень x_i уравнения (*) и есть возможное значение непрерывной случайной величины (обозначим ее за ξ, а позже убедимся в том, что ξ=Х). Для этого докажем, что вероятность попадание ξ в интервал (a,b), принадлежащий интервалу всех возможных значений Х, равна приращению функции распределения F(x) на этой интервале: Р(a< ξ
В силу того, что F(x) – монотонно возрастающая функция в интервале всех возможных значений Х, то в этом интервале большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и наоборот. Из этого следует, что если aij
Из приведенных выше неравенств следует: a < ξ < b, (**)

F(a)
Таким образом, неравенства (**) и (***) равносильны, а, значит, и равновероятны:

P(a< ξ
Поскольку величина R распределена равномерно в интервале (0,1), то вероятность попадания R в некоторый интервал, принадлежащий интервалу (0,1), равна его длине. В частности,

P(F(a)
Из этого следует, что соотношение (****) можно записать в виде

P(a< ξ
Таким образом, вероятность попадания ξ в интервал (a,b) равна приращению функции распределения F(x) на этом интервале, а это означает, что ξ=Х. Иными словами, числа x_i, которые определяются формулой (*), есть возможные значения величины Х с заданной функцией распределения F(x).

Правило. Для того, чтобы найти возможное значение х_i непрерывной случайной величины Х, зная ее функцию распределения, нужно выбрать случайное число r_j, приравнять его к функции распределения, решить относительно x_i полученное уравнение: F(x_i)=r_j.

Замечание 1. Если решить уравнение в явном виде не удается, то можно прибегнуть к графическим или численным методам.

Пример 6. Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2;10).

Решение.

Выпишем функцию распределения величины Х, которая распределена равномерно на интервале (a,b):

.

Из условия, a=2, b=10, поэтому .

В силу правила, записанного выше, запишем уравнение для отыскания возможных значение x_i, т.е. приравняем функцию распределения случайному числу: ⇒ х_i=8r_i+2.

Из таблицы случайных чисел выберем 3 числа: 0,11; 0,17; 0,66. Подставив эти числа в уравнение, получим возможные значения Х:

х₁ = 8·0,11+2 = 2,88

х₂ = 8·0,17+2 = 3,36

х₃ = 8·0,66+2 = 7,28

Пример 7. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения , (x > 0).

Необходимо найти явную формулу для разыгрывания возможных значений Х.

Решение.

С использованием правила, запишем уравнение .

Решим уравнение относительно х_i.

⇒ ⇒ .

Случайное число r_i заключено в интервале (0;1); следовательно, число 1 – r_i, также случайное и принадлежит интервалу (0,1). Иными словами, величины R и 1 – R распределены одинаково. Поэтому, для отыскания x_i можно использовать более простую формулу: .

Замечание 2. Известно, что

.

В частности,

.

Отсюда следует, что если известна плотность вероятности f(x), то для разыгрывания Х можно вместо уравнения F(x_i)=r_i решить относительно х_i решить уравнение .

Правило. Для того, чтобы найти возможное значение х_i непрерывной случайной величины Х, зная ее плотность вероятности f(x) надо выбрать случайное число r_i и решить относительно x_i уравнение или уравнение , где а – наименьшее конечное возможное значение Х.

Пример 8. Пусть задана плотность вероятности непрерывной случайной величины Х в интервале (0; ; вне это интервала f(x)=0. Нужно найти явную формулу для разыгрывания возможных значений Х.

Решение.

С использованием указанного выше правила запишем уравнение:

.

Выполнив интегрирование и решив полученное квадратное уравнение относительно x_i, получим .

5. Метод суперпозиций

Функция распределения разыгрываемой случайной величины Х может быть представлена в виде линейной комбинации двух функций распределения: F(x) = C₁F₁(x) + C₂F₂(x), (C₁>0, C₂>0).

При х→∞ каждая функция распределения будет стремится к 1 ⇒ С₁+С₂=1.

Введем вспомогательную дискретную случайную величину Z с законом распределения

Z	1	2
p	C1	C2

Не трудно заметить, что P(Z=1)=C₁, P(Z=2)=C₂ (*)

Возьмем два независимых случайных числа r₁ и r₂. По числу r₁ разыгрываем возможное значение Z. Если окажется, что Z=1, то ищут искомое возможное значение Х из уравнения F₁(x)=r₂, если Z=2, то решают относительно х уравнение F₂(x)=r₂.

Докажем, что функция распределения разыгрываемой случайной величины равна заданной функции распределения. Для этого воспользуемся формулой полной вероятности P(A)=P(B₁)P_B1(A)+P(B2)P_B2(A).

Обозначим через А событие Х<х ⇒ P(A)=P(X<x)=F(x). (**)

Рассмотрим гипотезы В₁: Z=1 и В₂: Z=2.

Из (*) ⇒ Р(В₁)=Р(Z=1)=C₁ и P(B₂)=P(Z=2)=C₂. (***)

Условные вероятности появления события А соответственно равны:

Р_В1(А)=Р_В1(Х<х)=F₁(x) и P_B2(A)=P_B2(X<x)=F₂(x) (****)

Подставим (**), (***), (****) в формулу полной вероятности:

F(x)=C₁F₁(x)+C₂F₂(x).

Замечание. Метод суперпозиции можно обобщить для n слагаемых функции распределения.

Правило. Для того, чтобы разыграть возможное значение случайной величины Х, функция распределения которой F(x)=C₁F₁(x)+C₂F₂(x), где С₁>0, С₂>0, С₁+С₂=1, нужно выбрать два независимых случайных числа r₁ и r₂ и по случайному числу r₁ разыграть возможное значение вспомогательной дискретной случайной величины Z с законом распределения

Z	1	2
p	C1	C2

Если окажется, что Z=1, то решается уравнение F₁(x)=r₂ относительно х, если Z=2, то решается уравнение F₂(x)=r₂.

Пример 9. Нужно найти явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины Х, заданной функцией распределения ∞.

Решение.

Применим метод суперпозиции, для этого заданную функцию перепишем в виде .

Получим: F₁(x) = ; F₂(x) = ; C₁ = 0,25; C₂ = 0,75.

Введем вспомогательную дискретную случайную величину Z с законом распределения

Z	1	2
p	0,25	0,75

Выберем независимые случайные числа r₁ и r₂. Разыграем Z по случайному числу r₁. Для этого разобьем интервал (0,1) на частичные интервалы ∆₁=(0;0,25), ∆₂=(0,25;1). Если r₁<0,25, то Z=1, если r₁≥0,25, то Z=2.

Возможное значение Х находят, решая уравнение относительно х:

или .

Используя решение примера 7, в котором была найдена явная формула для разыгрывания возможных значений показательного распределения с заданным параметром λ. В результате получим:

, если r₁<0,25;

, если r₁≥0,25.

6. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины

Прежде чем перейти к рассмотрению вопроса о приближенном разыгрывание нормальной случайной величины, вспомним следующее: если случайная величина R равномерно распределена на интервале (0,1), то ее математическое ожидание и дисперсия равны:

, (*)

. (**)

Составим сумму n независимых и распределенных равномерно на интервале (0,1) случайных величин R_j (j=1, 2,…, n):

. (***)

Для того, чтобы нормировать эту сумму, найден предварительно ее математическое ожидание и дисперсию.

Поскольку математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых, а сумма содержит n слагаемых, каждое из которых равно , получим:

.

Поскольку дисперсия суммы случайных величин равно сумме дисперсий слагаемых, а сумма содержит n слагаемых, каждое из которых равно , получим:

.

Тогда, среднее квадратическое отклонение суммы (***) равно:

.

Пронормируем рассматриваемую сумму. Для этого вычтем математическое ожидание и разделим результат на среднее квадратическое отклонение:

.

При n→∞ распределение этой нормированной случайной величины стреметися к нормальному с параметрами а=0 и . При конечном числе n распределение приближенно нормальное. В частности, если n=12 получим удобное для расчета приближение: .

Правило. Для того, чтобы разыграть возможное значение х_i нормальной случайной величины Х с параметрами а=0 и , нужно сложить 12 независимых случайных чисел и из полученной суммы вычесть 6:

.

Пример 10. а) Разыграть 100 возможных значений нормальной величины Х с параметрами а=0 и ;

б) Оценить параметры разыгранной величины.

Решение.

а) Выберем 12 случайных чисел из первой строки таблицы случайных чисел, сложим их и из полученной суммы вычтем 6.

В результате получим: x_i=(0,10 + 0,09 +…+ 0,67) – 6 = - 0,99.

Аналогично, выбирая из каждой следующей строки таблицы первые 12 чисел, найден остальные возможные значения Х.

б) Выполнив расчеты, получим искомые оценки:

а^* ≈-0,05, ≈1,04.

Оценки удовлетворительные, поскольку а^* близко к 0, близко к 1.

Заключение

В ходе работы нами была изучены способы разыгрывания случайных величин. Нами отдельно были рассмотрены разыгрывание дискретной случайной величины, разыгрывание противоположных событий, разыгрывание полной группы событий, разыгрывание непрерывной случайной величины, а также метод суперпозиций и приближенное разыгрывание нормальной случайной величины.

Кроме того, мы выяснили, что случайных величины имеют чрезвычайно важное значение при решении задач из различных сфер человеческой деятельности. С помощью разыгрывания случайных величин решают задачи различной сложности и назначения. В настоящий момент случайные величины находят очень широкое применение в различных областях науки, техники, социальных аспектах, поэтому исследования в данной области продолжаются.

Список использованной литературы

1. 
   Андронов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика, Питер, 2004
   
2. 
   Волковец А.И. Теория вероятностей и математическая статистика, конспект лекций, М.: Инфра-М,2003
   
3. 
   Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, М.: АСТ, 2003
   
4. 
   Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика, М.: Инфра-М, 1997
   
5. 
   Ларин А.А. Теория вероятностей и математическая статистика, М.: ЭФ НГУ, 2003
   
6. 
   Письменный Д. М. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике, М.: Академия, 2004
   
7. 
   Топчий В.А., Дворкин П.Л. Теория вероятности, ОФИМ СО РАН, 1999
   
8. 
   Чернова Н.И. Теория вероятностей: курс лекций, Новосибирск: НГУ, 2006
   
9. 
   Соколов Г.А., Чистякова Н.А. Теория вероятностей, Экзамен, 2005
   
10. 
    Нахман А.Д. Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика, Тамбов: ТГТУ, 2002
    
11. 
    Пучков Н.П., Ткач Л.И. Математика случайного. Методические рекомендации, Тамбов: ТГТУ, 2005
    
12. 
    Соловьев А.А. Лекции по теории вероятностей и математической статистике, ЧелГУ, 2003
    
13. 
    Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика, М.: Наука, 1989
    
14. 
    Прохоров А.В. Задачи по теории вероятностей, М.: Наука,1986
    

Приложение

---