Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf

Ãëàâà äâàäöàòü äåâÿòàÿ

Ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â äèýëåêòðèêå

29.1. Ïëîñêàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà â äèýëåêòðèêå.

Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû

 ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ áûëè èññëåäîâàíû ÷àñòíûå ïðîÿâëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèò-
íîãî ïîëÿ: ýëåêòðè÷åñêèå ïîëÿ, îêðóæàþùèå ñèñòåìû íåïîäâèæíûõ çàðÿ-
æåííûõ òåë, è ýëåêòðè÷åñêèå è ìàãíèòíûå ïîëÿ, îêðóæàþùèå ñèñòåìû íåïî-
äâèæíûõ êîíòóðîâ ñ ïîñòîÿííûìè òîêàìè.

 îáùåì ñëó÷àå äëÿ èçìåíÿþùèõñÿ âî âðåìåíè çàðÿäîâ, èçìåíÿþùèõñÿ âî

âðåìåíè òîêîâ, äâèæóùèõñÿ çàðÿæåííûõ èëè íàìàãíè÷åííûõ òåë èëè äâèæó-
ùèõñÿ êîíòóðîâ ñ òîêàìè â îêðóæàþùåì èõ ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò ïåðåìåí-
íîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå.

Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ïåðåìåííîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â íåïî-

äâèæíûõ îäíîðîäíûõ è èçîòðîïíûõ ñðåäàõ. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ýòîãî ïîëÿ íåîá-
õîäèìî îáðàòèòüñÿ ê ïîëíîé ñèñòåìå óðàâíåíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ:

rot

rot

div

ïåð

H

E

B

E

D

D

E B

H

D

=

= -

=

+

=

=

=

dd

¶

¶

dd g

¶

¶

e

m

;

;

;

;

;

t

t

+

J

r

.

; div

B

=

0

 äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ çàïèøóòñÿ â âèäå

øåñòè óðàâíåíèé ñîîòâåòñòâåííî òðåì ïðîåêöèÿì íà îñè êîîðäèíàò. Èñïîëüçóÿ
åùå âûðàæåíèÿ äëÿ âåêòîðîâ

dd,

D

è

B

, ïîëó÷àåì ýòè óðàâíåíèÿ â âèäå

¶

¶

¶

¶

g

e ¶

¶

H

y

H

z

E

E

t

z

y

x

x

x

-

=

+

+

J

ïåð

;

(

à

)

¶

¶

¶

¶

g

e

¶

¶

H

z

H

x

E

E

t

x

z

y

y

y

-

=

+

+

J

ïåð

;

(

á

)

¶

¶

¶

¶

g

e ¶

¶

H

x

H

y

E

E

t

y

x

z

z

z

-

=

+

+

J

ïåð

;

(

â

)

¶

¶

¶

¶

m ¶

¶

E

y

E

z

H

t

z

y

x

-

= -

;

(

ã

)

¶

¶

¶

¶

m

¶

¶

E

z

E

x

H

t

x

z

y

-

= -

;

(

ä

)

¶

¶

¶

¶

m ¶

¶

E

x

E

y

H

t

y

x

z

-

= -

.

(

å

)

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîâîäèìîñòü äèýëåêòðèêà ðàâíà íóëþ (

g =

0) è ÷òî ñâî-

áîäíûå çàðÿäû â äèýëåêòðèêå îòñóòñòâóþò (

r =

0). Â òàêîé ñðåäå ìîãóò ñóùåñò-

âîâàòü òîëüêî òîêè ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ.

Äëÿ òîãî ÷òîáû ëó÷øå âûÿâèòü îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ â ýëåêòðîìàãíèòíîì

ïîëå, ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïðîñòåéøèé ñëó÷àé — ïëîñêóþ ýëåêòðîìàãíèòíóþ
âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ â îäíîðîäíîì è èçîòðîïíîì äèýëåêòðèêå. Ýëåêòðî-
ìàãíèòíàÿ âîëíà íàçûâàåòñÿ ïëîñêîé, êîãäà âñå âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå
èíòåíñèâíîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïðîöåññà, çàâèñÿò òîëüêî îò îäíîé èç äåêàð-
òîâûõ êîîðäèíàò, íàïðèìåð îò êîîðäèíàòû

z

. Ïðèáëèçèòåëüíî òàêîé õàðàêòåð

èìååò ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà, èçëó÷åííàÿ àíòåííîé, åñëè ýòó âîëíó ðàññìàòðè-
âàòü â íåáîëüøîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè îò èçëó÷àþùåãî
öåíòðà.

Èòàê, ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåêòîðû

E

è

H

íå çàâèñÿò îò êîîðäèíàò

x

è

y

, ò. å.

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

H

H

E

E

x

y

x

y

=

=

=

=

0

0

0

0

;

;

;

.

Ñëåäîâàòåëüíî,

E

è

H

ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè òîëüêî

z

è

t

. Ó÷èòûâàÿ åùå óñëî-

âèÿ

g =

0 è

r =

0, ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ ïîëÿ â âèäå

-

=

¢

= -

=

¶

¶

e ¶

¶

¶

¶

m ¶

¶

¶

¶

e

¶

¶

H

z

E

t

a

E

z

H

t

ã

H

z

E

t

y

x

y

x

x

y

; ( )

; ( )

; (

'

á

E

z

H

t

ä

E

t

â

H

t

å

x

y

z

z

'

'

'

'

)

; ( )

; ( )

.

( )

¶

¶

m

¶

¶

e ¶

¶

m ¶

¶

= -

=

=

0

0

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîëå âûçâàíî èñòî÷íèêàìè, íå ñîäåðæàùèìè ïîñòîÿííûõ

òîêîâ è ïîñòîÿííûõ çàðÿäîâ, êàê ýòî è èìååò ìåñòî â ñëó÷àå èçëó÷åíèÿ âîëí àí-
òåííîé. Òîê è íàïðÿæåíèå â àíòåííå íå èìåþò ïîñòîÿííûõ ñîñòàâëÿþùèõ. Â òà-
êîì ñëó÷àå âåêòîðû

E

è

H

íå ìîãóò èìåòü ñîñòàâëÿþùèõ, íå çàâèñÿùèõ îò âðåìå-

íè, è óðàâíåíèÿ (â

¢

) è (å

¢

) äàþò

E

H

z

z

=

=

=

=

const

const

0

0

;

.

Âûáåðåì íàïðàâëåíèå îñåé

OX

è

OY

òàê, ÷òîáû âåêòîð

E

áûë íàïðàâëåí ïî îñè

OX

. Ýòî âñåãäà ìîæíî ñäåëàòü, åñëè âåêòîð

E

âñå âðåìÿ îñòàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì

íåêîòîðîìó íàïðàâëåíèþ, ò. å. êîãäà âîëíà ÿâëÿåòñÿ ïîëÿðèçîâàííîé. Òàêèå óñ-
ëîâèÿ, â ÷àñòíîñòè, îáåñïå÷èâàþòñÿ ïðè èçëó÷åíèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí íå-
ïîäâèæíîé àíòåííîé. Â òàêîì ñëó÷àå èìååì

E

y

=

0. Ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ (

á

¢

) è

(

ã

¢

) äàþò

¶

¶

H

z

x

=

0 è

¶

¶

H

t

x

=

0, ò. å.

H

x

=

const

=

0.

Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð

H

íàïðàâëåí ïî îñè

OY

. Ìû ïîëó÷àåì ïåðâûé ñóùåñò-

âåííûé âûâîä:

â ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå

,

ñâîáîäíî ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â îäíî-

ðîäíîì è èçîòðîïíîì äèýëåêòðèêå

,

âåêòîðû

E

è

H

âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû

:

E H

^

.

Èòàê, îñòàþòñÿ äâà óðàâíåíèÿ (

à

¢

) è (

ä

¢

):

-

=

= -

¶

¶

e ¶

¶

¶

¶

m

¶

¶

H

z

E

t

a

E

z

H

t

ä

y

x

x

y

; ( )

. ( )

'

'

202

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Äèôôåðåíöèðóÿ âòîðîå óðàâíåíèå ïî

z

è ïåðâîå ïî

t

, ïîëó÷àåì

¶

¶

m

¶

¶ ¶

¶

¶ ¶

e ¶

¶

2

2

2

2

2

2

E

z

H

t z

H

z t

E

t

x

y

y

x

= -

-

=

;

,

îòêóäà èìååì

¶

¶

¶

¶

2

2

2

2

2

E

t

v

E

z

x

x

=

,

(*)

ïðè÷åì

v

=

1

me

.

Óðàâíåíèÿ (

à

¢

), (

ä

¢

) è (*) ïî ôîðìå ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íû óðàâíåíèÿì

-

=

-

=

=

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

i

x

C

u

t

u

x

L

i

t

u

t

v

u

x

1

1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

;

;

(ïðè÷åì

v

=

1

LC

), ïîëó÷åííûì â ÷. II ïðè ðàññìîòðåíèè ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

â íåèñêàæàþùåé îäíîðîäíîé ëèíèè. Ðåøåíèå ïîñëåäíèõ óðàâíåíèé áûëî íàé-
äåíî â âèäå

u

x vt

x vt

1

=

-

+

+

j

y

(

)

(

);

i

C

L

x vt

x vt

1

=

-

-

+

[ (

)

(

)].

j

y

Ïîëüçóÿñü ýòèì ðåøåíèåì, ìîæåì íàïèñàòü âûðàæåíèÿ äëÿ

E

x

è

H

y

, çàìåíèâ â

ïîñëåäíèõ âûðàæåíèÿõ

u

1

íà

E

x

,

i

1

íà

H

y

,

x

íà

z

,

C

íà

e

è

L

íà

m

. Ïðîèçâåäÿ ýòó çà-

ìåíó è îáîçíà÷àÿ ôóíêöèè îò (

z – vt

) è îò (

z

+

vt

) ÷åðåç

F

1

(

z

–

vt

) è

F

2

(

z

+

vt

), áó-

äåì èìåòü èñêîìûå âûðàæåíèÿ â âèäå

E

F z vt

F z vt

x

=

-

+

+

1

2

(

)

(

);

H

F z vt

F z vt

y

=

-

-

+

e

m

[ (

)

(

)].

1

2

Òàê êàê ïî óñëîâèþ

E

x

è

H

y

íå èìåþò ñîñòàâëÿþùèõ, íå çàâèñÿùèõ îò âðåìå-

íè, òî è ôóíêöèè

F

1

è

F

2

íå èìåþò ýòèõ ñîñòàâëÿþùèõ.

Âûÿñíèì ñìûñë, êîòîðûé èìåþò ÷àñòíûå ðåøåíèÿ:

E

F z vt

H

F z vt

x

y

1

1

1

1

=

-

=

-

(

);

(

).

e

m

 ëþáîé òî÷êå, äâèæóùåéñÿ â ïîëîæèòåëüíóþ ñòîðîíó îñè

OZ

ñî ñêîðîñòüþ

dz

/

dt

=

v

, çíà÷åíèÿ

E

x

1

è

H

y

1

îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëîæåíèå

òàêîé òî÷êè îïðåäåëÿåòñÿ êîîðäèíàòîé

z

=

vt

+

z

0

è, ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíû

E

x

1

è

H

y

1

â ýòîé äâèæóùåéñÿ òî÷êå èìåþò çíà÷åíèÿ:

E

F vt

z

vt

F z

x

1

1

0

1

0

=

+

-

=

=

(

)

( )

;

const

H

F z

y

1

1

0

=

=

e

m

( )

.

const

Ãëàâà 29. Ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â äèýëåêòðèêå

203

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êàæäîå îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû

E

x

1

èëè âåëè÷èíû

H

y

1

ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ñòîðîíó ïîëîæèòåëüíîé îñè

OZ

ñî ñêîðîñòüþ

v

. Ïîýòîìó

ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî ýòè ÷àñòíûå ðåøåíèÿ îïðåäåëÿþò ñîáîé ýëåêòðîìàãíèò-
íóþ âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ ñî ñêîðîñòüþ

v

â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè

îñè

OZ

(

ïðÿìóþ âîëíó

). Òàê êàê ñ âåëè÷èíàìè

E

è

H

ñâÿçàíà îïðåäåëåííàÿ ïëîò-

íîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, òî äâèæóùàÿñÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà
íåñåò ñ ñîáîé îïðåäåëåííîå êîëè÷åñòâî ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè.

Ïðè ïîìîùè àíàëîãè÷íûõ ðàññóæäåíèé ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî ÷àñò-

íûå ðåøåíèÿ

E

F z vt

H

F z vt

x

y

2

2

2

2

=

+

= -

+

(

);

(

)

e

m

îïðåäåëÿþò ñîáîé ýëåêòðîìàãíèòíóþ âîëíó, äâèæóùóþñÿ ñî ñêîðîñòüþ

v

â îòðè-

öàòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè

OZ

(

îáðàòíóþ âîëíó

).

Èòàê, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî

ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ïðî-

ñòðàíñòâå ñî ñêîðîñòüþ

v

=

1

me

.

Ýòà ñêîðîñòü çàâèñèò òîëüêî îò ìàãíèòíûõ è ýëåêòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ ñðåäû.

 ïóñòîòå îíà ðàâíà

c

=

=

×

» ×

1

2 998 10

3 10

0

8

8

m e

0

,

.

ì ñ

ì ñ

Àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåííîñòåé ìàãíèòíîãî è ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëåé

ñâÿçàíû êàê â ïðÿìîé, òàê è â îáðàòíîé âîëíå ñîîòíîøåíèåì

H

E

= e

m

,

îòêóäà ïîëó÷àåì

m

e

H

E

2

2

2

2

=

.

Ñëåäîâàòåëüíî,

åñëè ñóùåñòâóåò òîëüêî ïðÿìàÿ èëè òîëüêî îáðàòíàÿ âîëíà

,

òî ýíåðãèè ìàãíèòíîãî è ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëåé ðàâíû ìåæäó ñîáîé

.

Îáðàòèì âíèìàíèå íà àíàëîãèþ, êîòîðóþ ìîæíî ïðîâåñòè ìåæäó ðàññìîò-

ðåííûì ÿâëåíèåì ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â äèýëåê-
òðèêå, õàðàêòåðèçóþùåéñÿ íàïðÿæåííîñòÿìè

E

x

è

H

y

, è ÿâëåíèåì ðàñïðîñòðàíå-

íèÿ âîëí íàïðÿæåíèÿ

u

è òîêà

i

â îäíîðîäíîé ëèíèè ïðè îòñóòñòâèè ïîòåðü â

ëèíèè. Óæå áûëî îòìå÷åíî, ÷òî âûðàæåíèå äëÿ

E

x

ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî âûðà-

æåíèþ äëÿ

u

è ñîîòâåòñòâåííî âûðàæåíèå äëÿ

H

y

àíàëîãè÷íî âûðàæåíèþ äëÿ

i

.

Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî íå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûì. Äåéñòâèòåëüíî, ìîæíî ðàññìàòðè-
âàòü âåëè÷èíó

E

êàê ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ, îòíåñåííîå ê åäèíèöå äëèíû ëèíèè

íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, è ñîîòâåòñòâåííî âåëè÷èíó

H

— êàê òîê,

îòíåñåííûé ê åäèíèöå äëèíû ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïðè ýòîì

204

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

îòíîøåíèå

E

x

1

/

H

y

1

= m e =

z

èìååò ðàçìåðíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ

è ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê â î ë í î â î å ñ î ï ð î ò è â ë å í è å ñ ð å ä û àíàëî-
ãè÷íî âîëíîâîìó ñîïðîòèâëåíèþ

z

=

L C

îäíîðîäíîé ëèíèè. Â ñëó÷àå ðàñïðî-

ñòðàíåíèÿ âîëíû â ïóñòîòå èìååì

z

0

0

0

7

9

4 10

1 4 9 10

120

377

=

=

×
× ×

=

=

-

m

e

p

p

p

(

)

Îì

.

Âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè

v

=

1/

me

ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîë-

íû â äèýëåêòðèêå àíàëîãè÷íî âûðàæåíèþ äëÿ ñêîðîñòè

v

=

1/

LC

ðàñïðîñòðàíå-

íèÿ âîëí â ëèíèè.

Ìîæíî áûëî áû ââåñòè âìåñòî ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîíñòàíò

e

0

è

m

0

äâå äðóãèå,

âûðàæàþùèåñÿ ÷åðåç íèõ, ôèçè÷åñêèå êîíñòàíòû, à èìåííî:

z

c

0

0

0

0

1

=

=

m

e

m e

0

è

,

÷òî ëó÷øå áû âûðàæàëî âîëíîâûå ñâîéñòâà ïîëÿ.

×òîáû óÿñíèòü âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ îäíîâðåìåííî è ïðÿìîé è îáðàò-

íîé âîëí, ðàññìîòðèì ïåðåõîä âîëíû èç ñðåäû ñ àáñîëþòíîé äèýëåêòðè÷åñêîé
è àáñîëþòíîé ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòÿìè

e

1

è

m

1

â ñðåäó ñ ïðîíèöàåìîñòÿìè

e

2

è

m

2

. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñðåäû ðàçäåëåíû ïëîñêîñòüþ è ÷òî âîëíà ðàñïðîñòðàíÿ-

åòñÿ â íàïðàâëåíèè, íîðìàëüíîì ê ïëîñêîñòè ðàçäåëà.

Ïàäàþùàÿ

â ïåðâîé ñðåäå

íà ïîâåðõíîñòü ðàçäåëà âîëíà (

E

j

1

,

H

j

1

) (ïðÿìàÿ âîëíà) ÷àñòè÷íî ïðîõîäèò ñêâîçü

ïîâåðõíîñòü ðàçäåëà, îáðàçóÿ âî âòîðîé ñðåäå

ïðåëîìëåííóþ

(ïðÿìóþ) âîëíó

(

E

j

2

,

H

j

2

) è ÷àñòè÷íî îòðàæàåòñÿ îò ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà, îáðàçóÿ â ïåðâîé ñðåäå

îòðàæåííóþ

(îáðàòíóþ) âîëíó (

E

y

1

,

H

y

1

). Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íàïðÿæåííîñòÿ-

ìè ïîëÿ äëÿ ýòèõ âîëí íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ìîæíî íàïèñàòü, èñïîëüçîâàâ íà
îñíîâàíèè âûøåîòìå÷åííîé àíàëîãèè ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íàïðÿæåíèÿìè è òî-
êàìè â ïàäàþùèõ, ïðåëîìëåííûõ è îòðàæåííûõ âîëíàõ òîêà è íàïðÿæåíèÿ.

Èìååì íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà:

E

z

z

z

E

E

z

z

z

z

E

j

j

y

j

2

2

2

1

1

1

2

1

2

1

1

2

=

+

=

-
+

;

;

H

z

z

z

H

H

z

z

z

z

H

j

j

y

j

2

1

1

2

1

1

1

2

1

2

1

2

=

+

=

-
+

;

,

ãäå

z

1

= m e

1

1

è

z

2

= m e

2

2

— ñîîòâåòñòâóþùèå âîëíîâûå ñîïðîòèâëåíèÿ ïåð-

âîé è âòîðîé ñðåäû.

Åñëè

z

2

=

z

1

, òî îòðàæåííûå âîëíû îòñóòñòâóþò.

Åñëè

z

2

>

z

1

, òî

E

j

1

è

E

y

1

èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè, a

H

j

1

è

H

y

1

— ðàçíûå çíàêè.

 ïåðâîé ñðåäå â ðåçóëüòàòå ÷àñòè÷íîãî îòðàæåíèÿ âîëíû íàïðÿæåííîñòü ýëåê-
òðè÷åñêîãî ïîëÿ

E

1

=

E

j

1

+

E

y

1

âîçðàñòàåò, à íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ

H

1

=

H

j

1

+

H

y

1

óáûâàåò. Ïðè

z

2

<

z

1

èìååì îáðàòíóþ êàðòèíó.

Ãëàâà 29. Ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â äèýëåêòðèêå

205