Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.01.2021
Просмотров: 5546
Скачиваний: 4
Äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèå (*) ïî
t
, à óðàâíåíèå (**) ïî
r
, èìååì
1
r
H
t
H
r t
t
r
H
r t
¶
¶
¶
¶ ¶
¶
¶
¶
¶
mg ¶
¶ ¶
2
2
2
2
+
=
=
J
J
;
.
Èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ (**) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ ïëîò-
íîñòè òîêà:
¶
¶
¶
¶
mg ¶
¶
2
2
J
J
J
r
r r
t
+
=
1
.
Äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèå (*) ïî
r
è èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (**), ïîëó÷àåì
óðàâíåíèå äëÿ íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ:
¶
¶
¶
¶
mg ¶
¶
2
H
r
r
H
r
H
r
H
t
2
2
1
+
-
=
.
Åñëè òîê, à ñëåäîâàòåëüíî, òàêæå
J
è
H
ÿâëÿþòñÿ ñèíóñîèäàëüíûìè ôóíêöèÿ-
ìè âðåìåíè, òî, ââîäÿ êîìïëåêñíûå âûðàæåíèÿ ìãíîâåííûõ ïëîòíîñòè òîêà è
íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ
&
&
&
&
J
J
=
=
m
j t
m
j t
e
H
H e
w
w
è
â óðàâíåíèÿ (*) è (**) è ñîêðàùàÿ íà îáùèé ìíîæèòåëü
å
j
w
t
, ïîëó÷àåì èõ â âèäå
dH
dr
H
r
m
m
m
&
&
&
;
+
=
J
(*)
d
dr
j
H
m
m
&
&
.
J
= wmg
(**)
Ñîîòâåòñòâåííî âìåñòî óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè äëÿ
J
è
H
ïîëó-
÷àåì îáûêíîâåííûå ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ èõ êîìïëåêñ-
íûõ àìïëèòóä:
d
dr
r
d
dr
j
d H
dr
r
dH
dr
H
r
m
m
m
m
m
m
2
2
2
2
2
1
1
&
&
&
;
&
&
&
J
J
J
+
=
+
-
=
wmg
j
H
m
wmg
&
.
Ââåäåíèåì íîâîé ïåðåìåííîé
x
r
j
=
- wmg
ïîñëåäíèå äâà óðàâíåíèÿ ïðèâîäÿòñÿ ê áîëåå ïðîñòîìó âèäó:
d
dx
x
d
dx
d H
dx
x
dH
dx
x
m
m
m
m
m
2
2
2
2
2
1
0
1
1
1
&
&
&
;
&
&
J
J
J
+
+
=
+
+
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
&
.
H
m
0
Ýòè óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè óðàâíåíèÿ Áåññåëÿ
d y
dx
x
dy
dx
n
x
y
2
2
2
2
1
1
0
+
+
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ =
.
Ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ Áåññåëÿ, íàçûâàþòñÿ ôóíêöèÿìè
Áåññåëÿ. Îáùèé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ ìîæåò áûòü íàïèñàí â âèäå
y
A
x
BN
x
n
n
=
+
J
( )
( ),
256
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
ãäå
A
è
B
— ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå;
J
n
(
x
) — ôóíêöèÿ Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà
ïîðÿäêà
n
;
N
n
(
x
) — ôóíêöèÿ Áåññåëÿ âòîðîãî ðîäà ïîðÿäêà
n
.
Óðàâíåíèå äëÿ ïëîòíîñòè òîêà ïîëó÷àåòñÿ èç îáùåãî óðàâíåíèÿ Áåññåëÿ,
åñëè â íåì ïîëîæèòü
n
=
0. Óðàâíåíèå äëÿ íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïî-
ëó÷àåòñÿ, åñëè ïîëîæèòü
n
=
1. Ñëåäîâàòåëüíî, îáùèå èíòåãðàëû ýòèõ óðàâíåíèé
ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå
&
( )
( );
&
( )
( ),
J
J
J
m
m
A
x
B N
x
H
A
x
B N x
=
+
=
+
0
0
0
0
1 1
1
1
ãäå
J
0
(
x
) è
N
0
(
x
) — áåññåëåâû ôóíêöèè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà íóëåâîãî ïîðÿäêà,
a
J
1
(
x
) è
N
1
(
x
) — áåññåëåâû ôóíêöèè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà ïåðâîãî ïîðÿäêà.
Îáîçíà÷èì ðàäèóñ ñå÷åíèÿ ïðîâîäà ÷åðåç
R
. Ïîñòîÿííûå
A
0
è
B
0
è ñîîòâåòñò-
âåííî
A
1
è
B
1
îïðåäåëÿþòñÿ èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïðè
r
=
0 è
r
=
R
, ò. å. ïðè
x
=
0
è
x
=
R
-
j
wmg
.
Èç ïîäðîáíîãî ðàññìîòðåíèÿ áåññåëåâûõ ôóíêöèé ñëåäóåò, ÷òî
J
0
(0)
=
1 è
J
1
(0)
=
0, â òî âðåìÿ êàê
N
0
(0)
= ¥
è
N
1
(0)
= ¥
. Òàê êàê íè
J
m
, íè
H
m
íà îñè ïðîâîäà
íå ìîãóò èìåòü áåñêîíå÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèé, òî
B
0
=
0 è
Â
1
=
0.
Èòàê, äëÿ ïëîòíîñòè òîêà èìååì
&
( ).
J
J
m
A
x
=
0
0
Ôóíêöèþ
J
0
(
x
) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäà:
J
0
2
2
4
2
6
2
1
2
2 4
2 4 6
( )
(
)
(
)
,
x
x
x
x
= -
+
×
-
× ×
+
K
÷òî ëåãêî ïðîâåðèòü ïîäñòàíîâêîé ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå äëÿ
&
J
m
.
Ïîñòîÿííàÿ
A
0
ðàâíà êîìïëåêñíîé àìïëèòóäå ïëîòíîñòè òîêà
&
J
m
0
íà îñè ïðî-
âîäà. Ñëåäîâàòåëüíî,
&
&
(
)
(
)
&
(
J
J
J J
m
m
m
x
x
x
=
-
+
×
-
× ×
+
é
ë
ê
ù
û
ú =
0
2
2
4
2
6
2
0
0
1
2
2 4
2 4 6
K
x
b e
m
j
)
&
.
=
J
0
0
0
b
(***)
Ôóíêöèÿ
J
0
(
x
) åñòü êîìïëåêñíîå ÷èñëî, òàê êàê
x
ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì êîìïëåêñ-
íûì. ×åðåç
b
0
îáîçíà÷åí ìîäóëü, à ÷åðåç
b
0
— àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
J
0
(
x
).
Íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç óðàâíåíèÿ (**):
&
&
&
&
H
j
d
dr
j
j
d
dx
j
d
dx
m
m
m
m
=
=
-
= -
-
1
1
wmg
wmg
wmg
wmg
J
J
J
èëè
&
&
&
( )
.
H
j
d
x
dx
m
m
=
-
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
J
J
0
0
wmg
Äèôôåðåíöèðóÿ ðÿä
J
0
(
x
), íàõîäèì
&
&
(
)
(
)
H
j
x
x
x
x
m
m
=
-
-
×
+
×
×
-
× ×
×
+
é
ë
J
0
3
2
5
2
7
2
2
2
4
2 4
6
2 4 6
8
wmg
K
ê
ù
û
ú =
=
-
=
-
&
( )
&
.
J
J
J
m
m
j
j
x
j
b e
0
1
0
1
1
wmg
wmg
b
(****)
Ãëàâà 30. Ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â ïðîâîäÿùåé ñðåäå
257
Ïîëó÷åííûé íîâûé ðÿä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íå ÷òî èíîå, êàê áåññåëåâó ôóíê-
öèþ
J
1
(
x
) ïåðâîãî ðîäà ïåðâîãî ïîðÿäêà. ×åðåç
b
1
îáîçíà÷åí ìîäóëü, à ÷åðåç
b
1
—
àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
J
1
(
x
).
r j
wmg
b
0
b
0
o
b
1
b
1
o
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1,015
1,229
1,950
3,439
6,231
11,501
21,548
40,817
77,957
149,831
0
14,22
52,28
96,52
138,19
178,93
219,62
260,29
300,92
341,52
382,10
0
0,501
1,041
1,800
3,173
5,812
10,850
20,500
39,070
74,971
144,586
–45
–37,84
–16,73
+15,71
53,90
93,55
133,45
173,51
213,69
253,95
294,27
 òàáëèöå äàíû çíà÷åíèÿ ìîäóëåé
b
0
è
b
1
è àðãóìåíòîâ
b
0
è
b
1
êîìïëåêñíûõ
âåëè÷èí
J
0
(
)
r
j
- wmg
è
J
1
(
)
r
j
- wmg
ïðè íåñêîëüêèõ çíà÷åíèÿõ âåëè÷èíû
r
.
Òàê êàê
b
0
ñ óâåëè÷åíèåì
r
wmg
ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, òî àìïëèòóäà ïëîòíî-
ñòè òîêà èìååò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå íà îñè ïðîâîäà, è îòíîøåíèå àìïëèòóä
òîêà íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäà è íà åãî îñè áóäåò òåì áîëüøå, ÷åì áîëüøå óãëîâàÿ
÷àñòîòà, óäåëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü, ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü è ðàäèóñ ïðîâîäà
R
.
×òî æå êàñàåòñÿ óãëà
b
0
, òî îí òàêæå ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì
r
wmg
,
è â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà
r
wmg
äîñòèãàåò áîëüøèõ çíà÷åíèé, ôàçà ïëîòíîñòè òîêà
íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè îò îñè ìîæåò îêàçàòüñÿ ïðÿìî ïðîòèâîïîëîæíîé ôàçå
ïëîòíîñòè òîêà íà îñè, à ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè
r
ìîæåò ñíîâà ñîâïàñòü ñ
ôàçîé ïëîòíîñòè òîêà íà îñè è ò. ä. Çàâèñèìîñòè âåëè÷èí
J
m
/
J
m
0
=
b
0
è
b
0
îò
r
wmg
äàíû íà ðèñ. 30.14. Íà ðèñ. 30.15 ïîêàçàíû íà âðåìåíí
'
îé äèàãðàììå âåêòî-
ðû, õàðàêòåðèçóþùèå ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè òîêà ïî âåëè÷èíå è ôàçå âäîëü
ðàäèóñà ïðîâîäà, ïðè÷åì â êîíöå êàæäîãî âåêòîðà ïîìå÷åíî ñîîòâåòñòâóþùåå
çíà÷åíèå
r
wmg
.
Ðàññìîòðåíèå ðèñ. 30.14 è 30.15 ïðèâîäèò íàñ ê òåì æå îáùèì ôèçè÷åñêèì
ïîëîæåíèÿì, êîòîðûå áûëè óñòàíîâëåíû âûøå è êîòîðûå õàðàêòåðèçóþò ÿâëå-
íèå ïîâåðõíîñòíîãî ýôôåêòà âî âñåõ áåç èñêëþ÷åíèÿ ñëó÷àÿõ. Ýëåêòðîìàãíèò-
íàÿ âîëíà ïðîíèêàåò âíóòðü ïðîâîäà ñêâîçü åãî ïîâåðõíîñòü èç äèýëåêòðèêà, îê-
ðóæàþùåãî ïðîâîä. Ïî ìåðå ïðîíèêíîâåíèÿ â ãëóáü ïðîâîäà âîëíà ïîñòåïåííî
çàòóõàåò, è àìïëèòóäû íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è ñîîòâåòñòâåííî
ïëîòíîñòè òîêà óáûâàþò. Ïðè ýòîì êîëåáàíèÿ ïî ìåðå ïðîíèêíîâåíèÿ â ãëóáü
ïðîâîäà âñå áîëåå çàïàçäûâàþò ïî ôàçå ïî îòíîøåíèþ ê êîëåáàíèÿì íà ïîâåðõ-
íîñòè ïðîâîäà.
258
×àñòü 4. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè
30.10. Àêòèâíîå è âíóòðåííåå èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèÿ
öèëèíäðè÷åñêèõ ïðîâîäîâ êðóãëîãî ñå÷åíèÿ
Ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ, óñòàíîâëåííîìó â § 30.4 äëÿ ïðîâîäà êðóãëîãî ñå÷åíèÿ,
èìååì
Z
r
jx
lE
uH
me
me
âíóòð
âíóòð
= +
=
&
&
,
ãäå
&
E
me
è
&
H
me
— çíà÷åíèÿ
&
E
m
è
&
H
m
íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäà, ò. å. ïðè
r
=
R
;
l
—
äëèíà ïðîâîäà è
u
— ïåðèìåòð åãî ñå÷åíèÿ. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (***) è (****)
èç ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà è ñâÿçü
&
&
J
m
m
E
= g
, ïîëó÷àåì
r
j x
l
R
j
R
j
R
j
+
=
-
-
-
âíóòð
g p
wmg
wmg
wmg
2
0
1
J
J
(
)
(
)
.
Ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäà ïðè ïîñòîÿííîì òîêå ðàâíî
r
R
0
2
1
=
gp
. Ñëåäîâàòåëüíî,
Z
r
r
r
j
x
r
R
j
R
j
R
j
âíóòð
âíóòð
0
0
0
0
1
2
=
+
=
-
-
-
wmg
wmg
wmg
J
J
(
)
(
)
.
Òàê êàê
- =
-
j
e
j
p
4
, òî èìååì
Z
r
R
b
b
e
z
r
e
e
e
j
j
e
e
âíóòð
âíóòð
0
0
1
4
0
2
0
1
=
=
-
-
æ
è
ç
ö
ø
÷÷
wmg
b
b
p
j
;
r
r
z
r
x
r
z
r
0
0
0
0
=
=
âíóòð
âíóòð
âíóòð
cos
;
sin
.
j
j
Çäåñü
b
0
e
è
b
1
e
— çíà÷åíèÿ ìîäóëåé
b
0
è
b
1
, à
b
0
e
è
b
1
e
— çíà÷åíèÿ àðãóìåíòîâ
b
0
è
b
1
êîìïëåêñíûõ âåëè÷èí
J
0
(
x
) è
J
1
(
x
) ïðè
r
=
R
, ò. å. íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäà
(ïðè
x
R
j
=
- wmg
).
Óãîë, íà êîòîðûé çàïàçäûâàåò ïî ôàçå íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ îòíî-
ñèòåëüíî íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäà, ðàâåí
Ãëàâà 30. Ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â ïðîâîäÿùåé ñðåäå
259
Ðèñ. 30.14
Ðèñ. 30.15
j b
b
p
=
-
-
0
1
4
e
e
.
Îòíîøåíèå âíóòðåííåé èíäóêòèâíîñòè
L
âíóòð
ïðè ïåðåìåííîì òîêå ê åå çíà-
÷åíèþ
L
âíóòð 0
ïðè ïîñòîÿííîì òîêå íåòðóäíî íàéòè, åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå,
÷òî
L
âíóòð
=
x
âíóòð
/
w
è ÷òî
L
âíóòð 0
= m
l
/(8
p
). Èìååì
L
L
x
r
r
L
x
r
l
R
âíóòð
âíóòð
âíóòð
âíóòð
âíóòð
0
0
=
=
0
0
0
2
8
w
gp
p
wm
l
x
r
R
=
âíóòð
0
2
8
(
)
.
wmg
 òàáëèöå äàíû îòíîøåíèÿ
z
âíóòð
/
r
0
,
r
/
r
0
,
L
âíóòð
/
L
âíóòð 0
è óãîë
j
â çàâèñèìîñòè
îò
R
wmg
.
R
wmg
z
r
âíóòð
0
j°
r
r
0
x
r
âíóòð
0
L
L
âíóòð
âíóòð
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1,013
1,180
1,625
2,168
2,680
3,180
3,679
4,179
4,679
5,179
0
7,06
24,01
35,81
39,29
40,39
41,17
41,78
42,23
42,57
42,83
1
1,0001
1,080
1,318
1,678
2,043
2,394
2,744
3,096
3,446
3,796
0
0,1247
0,481
0,951
1,373
1,737
2,093
2,450
2,814
3,165
3,522
1
0,9976
0,961
0,846
0,686
0,556
0,465
0,400
0,352
0,313
0,275
Íà ðèñ. 30.16 ïðèâåäåíû êðèâûå
r
/
r
0
,
x
âíóòð
/
r
0
è
L
âíóòð
/
L
âíóòð 0
, õàðàêòåðèçóþùèå âîçðàñòàíèå àê-
òèâíîãî è âíóòðåííåãî èíäóêòèâíîãî ñîïðîòèâëå-
íèé ïðîâîäà è óìåíüøåíèå åãî âíóòðåííåé èíäóê-
òèâíîñòè ïðè óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà
R
wmg
. Ïðè
âîçðàñòàíèè ïàðàìåòðà
R
wmg
îòíîøåíèå
b
0
e
/
b
1
e
ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå è ðàçíîñòü
b
0
e
–
b
1
e
ñòðåìèò-
ñÿ ê
p
/2, à ñëåäîâàòåëüíî, óãîë
j
ñòðåìèòñÿ ê
p
/4.
Ïîýòîìó ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ýòîãî ïàðàìåòðà
èìååì
Z
r
R
e
j
âíóòð
0
4
2
»
wmg
p
;
r
r
x
r
R
0
0
2
2
»
»
âíóòð
wmg
,
260
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 30.16