Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003.pdf

èëè

d

dt

u

u

r C

r C

r C

r

r

r r C

u

u

u

u

u

1

2

4 1

4 1

4 2

4

3

4 3 2

1

2

1

2

1

1

1

=

+

=

+

=

A

Bu A

1

2

4 1

4 2

1

1

u

r C

r C

u

+

.

 äàííîì ñëó÷àå òàêæå âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíî-

ãî óñëîâèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ èçîáðàæåíèÿ

U

(

p

,

t

) ïî èçâåñòíîìó

D

(

p

,

t

). Íàëè÷èå

ïóòè äëÿ áåñêîíå÷íîãî èìïóëüñà òîêà ïî äâóì êîíäåíñàòîðàì ÷åðåç ðåçèñòîð

r

4

ïðèâîäèò ê ñêà÷êîîáðàçíîìó ðîñòó èõ çàðÿäîâ íà âåëè÷èíó

Q

. Ïðè ýòîì ñêà÷êî-

îáðàçíî èçìåíÿþòñÿ òàêæå íàïðÿæåíèÿ

u

1

è

u

2

êîíäåíñàòîðîâ. Â êà÷åñòâå äîïîë-

íèòåëüíîãî óñëîâèÿ ïðèìåì, ÷òî ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ èìïóëüñà òîêà ñóììàðíîå

íàïðÿæåíèå ðàâíî

u

2

(+0)

+ u

1

(

+

0)

=

U

0

. Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ñêà÷êè íàïðÿ-

æåíèé

D

u

2

è

D

u

1

êîíäåíñàòîðîâ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû åìêîñòÿì êîíäåí-

ñàòîðîâ. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ çàðÿä

Q

=

U

0

C

ý

=

U

0

/(1/

C

1

+1/

C

2

)

=

U

0

C

1

C

2

/(

C

1

+C

2

).

Ñëåäîâàòåëüíî, àíàëîãè÷íî ïðèìåðó ïðîñòîé öåïè,

D

(

p

,

t

) ñëåäóåò óìíîæàòü

íà

U

0

è íà

r

4

C

ý

(ãäå

C

ý

=

C

1

C

2

/(

C

1

+C

2

)). Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ

U

(

ð

,

t

) ðàâíî

U

(

ð

,

t

)

= D(

p

,

t

)

U

0

/(1/

r

4

C

1

+ 1/

r

4

C

2

)

= D(

p

,

t

)

U

0

r

4

C

1

C

2

/(

C

1

+ C

2

).

Ñîîòâåòñòâåííî ðåøåíèå äëÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà ïðè âîçäåéñòâèè ÝÄÑ

â ôîðìå ïåðèîäè÷åñêèõ çíàêîïåðåìåííûõ èìïóëüñîâ áóäåò èìåòü âèä

¢

=

-

+

+

-

u A

B

A

A

( , )

[

(

)]

(

).

t

e

e

U r C C C

C

t

T

1 1 1

2

0 4 1

2

1

2

Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ïëîùàäü èìïóëüñà

U

0

r

4

C

1

C

2

/(

C

1

+ C

2

) ôîðìàëüíî

ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ìàòðèöå

Â

. Îíà îáðàòíà ñóììå òåõ ñòðîê

Â

, êîòîðûå âõîäÿò

â êîíòóð, îáðàçîâàííûé êîíäåíñàòîðàìè

C

1

è

C

2

. Â äàííîì ñëó÷àå â êîíòóð âõî-

äÿò îáå ñòðîêè è ïëîùàäü ðàâíà

U

0

/(1/

r

4

C

1

+ 1

/r

4

C

2

)

=

U

0

r

4

C

ý

.

Ýíåðãåòè÷åñêèå ïðîöåññû â öåïÿõ ñ èìïóëüñíûìè ÝÄÑ è òîêàìè, ñ òî÷êè çðå-

íèÿ ýôôåêòèâíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè, òðåáóþò îñîáîãî

ðàññìîòðåíèÿ. Â § 12.2 ïðè èññëåäîâàíèè ïðîöåññà çàðÿäêè êîíäåíñàòîðà â öå-

ïè

rC

ïîêàçàíî, ÷òî ïîòåðè ýíåðãèè è ÊÏÄ åå èñïîëüçîâàíèÿ âïðÿìóþ çàâèñÿò

îò ñêîðîñòè íàêà÷êè ýíåðãèè â ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå êîíäåíñàòîðà. Òîëüêî ïðè áåñ-

êîíå÷íî ìåäëåííîì ïðèðàùåíèè íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà óäàåòñÿ

âñþ ýíåðãèþ èñòî÷íèêà ïåðåâåñòè â ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå êîíäåíñàòîðà. Ïðè ñêà÷-

êîîáðàçíîì ïðèëîæåíèè ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ ê öåïè

r

,

C

ïîëîâèíà ýíåðãèè

èñòî÷íèêà òåðÿåòñÿ è ÊÏÄ ïðîöåññà çàðÿäêè îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì 0,5. Â öåïÿõ

ñ èìïóëüñíûìè òîêàìè è íàïðÿæåíèÿìè, ãäå èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèé è òîêîâ

â ïðîöåññå çàðÿäêè ìîãóò áûòü òåîðåòè÷åñêè áåñêîíå÷íî áîëüøèìè, ñëåäóåò

îæèäàòü åùå áîëüøèõ ïîòåðü ýíåðãèè è åùå áîëåå íèçêèõ ÊÏÄ èñïîëüçîâàíèÿ

ýíåðãèè.

Íàïðèìåð, ÷òîáû â öåïè

r

,

C

çà î÷åíü ìàëîå âðåìÿ

D

t

íàïðÿæåíèå íà êîí-

äåíñàòîðå âûðîñëî, ñêàæåì, îò íóëÿ äî âåëè÷èíû

U

0

ïðè êîíå÷íîé ïîñòîÿííîé

âðåìåíè

rC,

íåîáõîäèìî áóäåò ïðèëîæèòü òàêîå íàïðÿæåíèå, ïðè êîòîðîì

U

õ

(1 –

e

–

D

t/

t

)

=

U

0

. Ïðè óñëîâèè

D

t <<

t

, U

õ

äîëæíî áûòü áîëüøå

U

0

â 1/(1 –

e

–

D

t/

t

)

ðàçà. Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå

D

t <<

t

è ðàçëîæèâ e

–

D

t/

t

â ðÿä,

U

õ

ïðèáëèæåííî ìîæíî

138

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

ïðåäñòàâèòü â âèäå

U

U

t

U

t

x

»

- -

»

0

0

1 1

( (

))

D

D

t

t

. Åñëè, íàïðèìåð,

t =

rC

=

1 ìñ

è äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà

D

t

=

0,0001

rC

, òî

U

U

t

U

x

»

»

0

0

10000

t D

. Ïîòåðè ýíåð-

ãèè â âèäå âûäåëÿþùåãîñÿ â ðåçèñòîðå òåïëà ïðèáëèæåííî ìîæíî ðàññ÷èòàòü

ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äëÿ ðàñ÷åòà òîêà â èíòåðâàëå 0 ...

D

t

âîñïîëüçóåìñÿ óñëî-

âèÿìè

D

t <<

t

è

U

õ

>> U

0

. Òîãäà äëÿ ïðèáëèæåííîé îöåíêè ñ äîñòàòî÷íîé òî÷-

íîñòüþ ìîæíî ïîëàãàòü

i U r

x

»

, è ïîòåðè ýíåðãèè çà âðåìÿ

D

t

áóäóò ðàâíû

P t

tU r

x

D

D

=

2

.

Îòíîøåíèå

à

ïîòåðü ýíåðãèè ê ýíåðãèè, íàêîïëåííîé â êîíäåíñà-

òîðå, áóäåò ðàâíî

a

tU

CU

t

t

t

x

=

=

D

D

D

D

2

0

2

2

2

2

2

t

t

t

,

è äëÿ ñëó÷àÿ ñ

t D

t

»

10000 ïîëåçíàÿ ýíåðãèÿ, íàêîïëåííàÿ â êîíäåíñàòîðå, îêà-

çûâàåòñÿ ìíîãî ìåíüøå ïîòåðü ýíåðãèè. Íèçêèå çíà÷åíèÿ ÊÏÄ öåïåé ñ èìïóëüñ-

íûìè òîêàìè è íàïðÿæåíèÿìè ñëåäóåò ó÷èòûâàòü ïðè èñïîëüçîâàíèè òàêèõ öå-

ïåé â ñèñòåìàõ ïðåîáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè, ãäå ýôôåêòèâíîñòü åå èñïîëüçîâàíèÿ

ÿâëÿåòñÿ âàæíûì êðèòåðèåì âûáîðà òîãî èëè èíîãî òåõíè÷åñêîãî ðåøåíèÿ.

Ïðèâåäåííûå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò âîçìîæíîñòè è ñëîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ

ìåòîäà ïðàâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà äëÿ ðàñ÷åòà óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ

ïðè èìïóëüñíûõ âîçäåéñòâèÿõ. Åùå ðàç îòìåòèì ãëàâíóþ îñîáåííîñòü äàííîãî

ìåòîäà, à èìåííî ïåðåâîä îñíîâíîé ñëîæíîñòè ðàñ÷åòà öåïè íà ýòàï ïîèñêà èçî-

áðàæåíèÿ âîçäåéñòâóþùåé íà öåïü èìïóëüñíîé ôóíêöèè. Íàëè÷èå íå çàâèñÿùå-

ãî îò êîíêðåòíîé çàäà÷è èçîáðàæåíèÿ ïîçâîëÿåò ïåðåéòè ê ðàñ÷åòó êîíêðåòíîé è

ëþáîé èíîé öåïè ïðè ïîìîùè ïðîñòîé îïåðàöèè çàìåíû îïåðàòîðà

ð

â èçîáðà-

æåíèè íà ìàòðèöó ïàðàìåòðîâ óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ äàííîé öåïè è óìíîæåíèè

ýòîé ìàòðè÷íîé ôóíêöèè

F

k

(–

À

,

t

) íà

Â

k

.

12.7. Ðàñ÷åò öåïè ïðè äåéñòâèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ

ïóòåì ðåøåíèÿ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé öåïè

 ðÿäå ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷, íàïðèìåð ïðè ïåðåäà÷å öèôðîâûõ ñèãíàëîâ, äîñòà-

òî÷íî îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ èñêîìîé ðåàêöèè öåïè òîëüêî â äèñêðåòíûå ìîìåí-

òû âðåìåíè

t

=

0

, T,

2

T, …, nT

. Â ýòîì ñëó÷àå èíôîðìàöèÿ î ðåàêöèè öåïè âíóòðè

èíòåðâàëà ïîâòîðÿåìîñòè èìïóëüñîâ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ñ èñïîëüçîâàíèåì

äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé â êà÷åñòâå íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Òàêèå çàäà÷è õàðàêòåðíû

äëÿ ñîâðåìåííûõ ñèñòåì ñâÿçè, óïðàâëåíèÿ è ïåðåðàáîòêè äàííûõ, êîãäà ïåðå-

äàâàåìàÿ èíôîðìàöèÿ ïðåäñòàâëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ èìïóëüñîâ. Ïîñëå-

äîâàòåëüíîñòü èìïóëüñîâ ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü ïåðèîäîì

T

èõ ñëåäîâàíèÿ

è äëèòåëüíîñòüþ èìïóëüñà

Ò

è

. Â ïðåäåëàõ âðåìåíè äåéñòâèÿ èìïóëüñà ôîðìà

è àìïëèòóäà îòäåëüíûõ èìïóëüñîâ ìîãóò îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà.

Ðàñ÷åò öåïè ïðè äåéñòâèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ ìîæåò áûòü âû-

ïîëíåí îïåðàòîðíûì ìåòîäîì, à òàêæå ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Äþàìåëÿ. Ïðè

èñïîëüçîâàíèè îïåðàòîðíîãî ìåòîäà îñíîâíàÿ òðóäíîñòü çàêëþ÷àþòñÿ â ïîëó-

÷åíèè îïåðàòîðíîãî èçîáðàæåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ. Ïðèìåíåíèå

èíòåãðàëà Äþàìåëÿ ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçëè÷íûõ èìïóëüñîâ òàêæå ïðèâî-

äèò ê ãðîìîçäêîé ïðîöåäóðå âû÷èñëåíèé.

Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ

139

Ïîýòîìó äëÿ ðàñ÷åòà öåïåé ïðè äåéñòâèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ

áûëè ðàçðàáîòàíû ñïåöèàëüíûå ìåòîäû, êîòîðûå ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü çíà÷å-

íèÿ òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ â öåïè (ðåàêöèþ öåïè) â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìå-

íè, ñîâïàäàþùèå ñ íà÷àëîì äåéñòâèÿ êàæäîãî èìïóëüñà. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü,

÷òî äëèòåëüíîñòü

Ò

è

èìïóëüñà ìàëà â ñðàâíåíèè ñ èíòåðâàëîì âðåìåíè, êîòîðîå íå-

îáõîäèìî àíàëèçèðóåìîé öåïè äëÿ âûõîäà íà óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì. Ïîñëåäîâà-

òåëüíîñòü èìïóëüñîâ ìîæåò áûòü îïèñàíà àíàëèòè÷åñêè ñ ïîìîùüþ åäèíè÷íîé

ôóíêöèè 1(

t

) èëè c èñïîëüçîâàíèåì

d

-ôóíêöèè. Íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ c àìïëèòóäàìè

U

U U U

n

=

{ , ,

, }

0

1

2

K

è äëèòåëüíîñòüþ

Ò

è

ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñëåäóþùåé ñóììû:

{

}

u t

U

t nT

t nT T

n

n

n

( )

(

) (

)

=

-

-

-

-

=

=¥

å

1

1

0

è

.

Åñëè äëèòåëüíîñòü

Ò

è

èìïóëüñà ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðèîäîì

Ò

ñëåäîâàíèÿ

èìïóëüñîâ, òî ðàññìàòðèâàåìóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ

d

-ôóíêöèè. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëàãàÿ

Ò

è

®

0 è ïåðåõîäÿ â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè

ê ïðåäåëó ïðè íåèçìåííîé ïëîùàäè

K

U T

n

n

=

è

n

-ãî èìïóëüñà, èìååì

{

}

lim

(

) (

)

(

T

U T

n

n

n

U T

t nT

t nT T

T

K

t nT

è

è

è

è

è

®

=

-

-

-

-

=

-

0

1

1

const

d

) ,

îòêóäà ïîëó÷èì îïèñàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ ñ ïîìîùüþ

d

-ôóíê-

öèè

u t

K

t nT

n

n

n

( )

(

)

=

-

=

=¥

å

d

0

.

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

U

n

è

K

n

ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèè äèñêðåòíî-

ãî àðãóìåíòà

U

U nT

U n K

K nT

K n

n

n

=

=

=

=

( )

[ ],

( )

[ ] èëè ðåøåò÷àòûå ôóíêöèè.

Êâàäðàòíûå ñêîáêè çäåñü è äàëåå ïîêàçûâàþò, ÷òî çàêëþ÷åííàÿ â íèõ ïåðåìåí-

íàÿ ïðèíèìàåò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå öåëî÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ. Ðåøåò÷àòàÿ

ôóíêöèÿ ñ çàäàííûì ïåðèîäîì

T

ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà äëÿ ëþáîé ôóíêöèè âðå-

ìåíè

f

(

t

) êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè

f

â ìîìåíòû

âðåìåíè 0,

T

, 2

T

,

¼

.

Ìîæíî ïðîâåñòè àíàëîãèþ ìåæäó ìåòîäàìè ðàñ÷åòà öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè

íåïðåðûâíûõ ñèãíàëîâ è ìåòîäàìè ðàñ÷åòà öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè ïîñëåäîâà-

òåëüíîñòè èìïóëüñîâ. Ïðè ýòîì ìåòîäàì, îñíîâàííûì íà ðåøåíèè äèôôåðåíöè-

àëüíûõ óðàâíåíèé ïðè äåéñòâèè íåïðåðûâíûõ ñèãíàëîâ, ñîîòâåòñòâóþò ìåòîäû,

îñíîâàííûå íà ðåøåíèè ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñîâ.

Ïðåîáðàçîâàíèþ Ëàïëàñà äëÿ íåïðåðûâíûõ ñèãíàëîâ ñîîòâåòñòâóåò òàê íàçû-

âàåìîå äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà èëè

z

-ïðåîáðàçîâàíèå äëÿ äèñêðåò-

íûõ ôóíêöèé, ðàññìàòðèâàåìîå â ñëåäóþùèõ ïàðàãðàôàõ íàñòîÿùåé ãëàâû.

Ðàññìîòðèì ìåòîäû ôîðìèðîâàíèÿ è ðåøåíèÿ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé öåïè.

Ðàññ÷èòàåì òîê â öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.12.11, ïðè äåéñòâèè íà åå âõîäå

ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ ïîñòîÿííîé àìïëèòóäîé

U

0

, ñ ïåðèîäîì ñëåäîâàíèÿ

Ò

è äëèòåëüíîñòüþ

Ò

è

. Ñîñòàâèì ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå äëÿ òîêà â öåïè, êîòîðîå

äëÿ öåïè ïåðâîãî ïîðÿäêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå, óñòà-

140

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

íàâëèâàþùåå ñâÿçü ìåæäó çíà÷åíèåì òîêà â íà÷àëå (

n

+ 1)-ãî èíòåðâàëà ñî çíà-

÷åíèåì òîêà â íà÷àëå

n-

ãî èíòåðâàëà.

Òîê â öåïè íà èíòåðâàëå

nT

£

t

£

(

n+

1)

T

îïèñûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì

óðàâíåíèåì

L di

dt

ri u t

+ =

( ), ãäå

u t

U

( )

=

0

âî âðåìÿ äåéñòâèÿ èìïóëüñà è

u

(

t

)

=

0

â ïðîìåæóòêå âðåìåíè ìåæäó èìïóëüñàìè. Áóäåì îòñ÷èòûâàòü âðåìÿ

t t nT

¢ = -

îò ìîìåíòà íà÷àëà äåéñòâèÿ

n

-ãî èìïóëüñà. Ðåøåíèå â èíòåðâàëå âðåìåíè

0

£ ¢ £

t T

ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

i t

i t

Ae

t

( )

( )

¢ = ¢ ¢ +

- ¢ t

(çäåñü

t =

L

/

r

— ïîñòîÿííàÿ

âðåìåíè öåïè). Òîãäà

i t

i t

t

t nT

( )

( )

¢

=

¢=

=

0

è, ñîîòâåòñòâåííî,

i

i n

( )

[ ]

0

=

. Âûðàçèì ïî-

ñòîÿííóþ

A

÷åðåç çíà÷åíèå òîêà â íà÷àëå äåéñòâèÿ èìïóëüñà è çíà÷åíèå òîêà

â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå

i t

¢ ¢

( )

.

Íà èíòåðâàëå 0

£ ¢ £

t T

è

èìååì

i t

U r

¢ ¢ =

( )

0

, è ðå-

øåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

i t

U r

i n U r e

t

( )

( [ ]

)

¢ =

+

-

- ¢

0

0

t

.

Íà èíòåðâàëå

T

t T

è

£ ¢ £

èìååì

i t

¢ ¢ =

( ) 0, â ðåçóëüòàòå ðåøåíèå íà ýòîì èíòåð-

âàëå ïîëó÷àåì èç ñîîòíîøåíèÿ

i t

i t

e

U r

i n U r e

e

t T

t T

T

t

( )

( )

{

( [ ]

)

}

¢ = ¢

=

+

-

¢=

- ¢-

-

- ¢

è

è

è

t

t

0

0

-

T

è

t

.

Ïðèíèìàÿ â ïîñëåäíåì óðàâíåíèè

t T

¢ =

, ïîëó÷èì èñêîìîå ðåêóððåíòíîå ñî-

îòíîøåíèå:

i n

i n q n

[

]

[ ]

,

, , ,

+ =

+

=

1

0 1 2

a

K

,

(*)

ãäå

a

t

t

t

=

=

-

-

-

-

e

q U

r

e

e

T

T

T

,

(

)

0

1

è

— ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû.

Ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå (*) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíîå ðàçíîñòíîå

óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè è ïîçâîëÿåò ðàñ-

ñ÷èòàòü, íà÷èíàÿ ñ

i

[1], ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé òîêà â öåïè:

i

i

q

[ ]

[ ]

,

1

0

=

+

a

i

i

q

e

T

[ ]

[ ]

(

),

2

0

1

2

=

+

+

-

a

t

i

i

q

e

e

T

T

[ ]

[ ]

(

)

3

0

1

3

2

=

+

+

+

-

-

a

t

t

,

....

Òàê êàê

i

[0]=0, òî ïîëó÷àåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãåîìåò-

ðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ

i n

q

q

n

n

[ ]

(

)

(

)

=

+ +

+ +

=

-

-

-

1

1

1

2

1

a a

a

a

a

K

è âûðàæåíèå òîêà

öåïè â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè

t nT n

=

=

,

, , ,

0 1 2

K

, èìååò âèä

i n

U

r

e

e

e

e

T

T

T

nT

[ ]

.

=

-

-

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷ -

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷

-

-

0

1

1 1

t

t

t

t

è

(**)

Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ

141

Ðèñ. 12.11

Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå äëÿ òîêà

i

[

n

] ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåøåíèÿ ðàçíîñò-

íîãî óðàâíåíèÿ (*). Ðåøåò÷àòàÿ ôóíêöèÿ

i

[

n

] èçîáðàæåíà íà ðèñ. 12.12 óòîëùåí-

íûìè âåðòèêàëüíûìè ëèíèÿìè.

Àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé

èìïóëüñîâ ìîæíî ïîëó÷àòü òàêæå è äðóãèì ñïîñîáîì, ñõîæèì ñî ñïîñîáîì ïîëó-

÷åíèÿ ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ðåøåíèå ëèíåéíîãî ðàçíîñòíî-

ãî óðàâíåíèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå

i n

i n i n

[ ]

[ ]

[ ]

= ¢

+ ¢¢

,

ãäå

i n

¢

[ ] — ÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (*), à

¢¢

=

i n

C

n

[ ]

l

—

îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ

i n

i n

[

]

[ ]

+ -

=

1

0

a

. Êàê è äëÿ

äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îäíîðîäíîìó ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ ñîîòâåò-

ñòâóåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå

l a

- =

0. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå ðàçíî-

ñòíîãî óðàâíåíèÿ (*) èìååò âèä:

i n

i n Ce

nT

[ ]

[ ]

= ¢

+

-

t

.

Îáå ñîñòàâëÿþùèå ðåøåíèÿ äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû

âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ ïðè

t

=

0 è ïðè

t

® ¥

. Ïðè

t

® ¥ ¢ + ® ¢

i n

i n

[

]

[ ]

1

, ïîýòîìó

ïðè

t

® ¥

â ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå (*) ìîæíî ïîäñòàâèòü

¢ + = ¢

i n

i n

[

]

[ ]

1

è îïðå-

äåëèòü

¢

=

-

-

i n

q

e

T

[ ]

(

)

1

t

. Êîýôôèöèåíò

Ñ

îïðåäåëèì èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé

i

i n C

[ ]

[ ]

0

0

= = ¢

+

. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì:

i n

i n Ce

U

r

e

e

e

e

nT

T

T

T

nT

[ ]

[ ]

= ¢

+

=

-

-

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷ -

-

-

-

t

t

t

t

0

1

1 1

è

t

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷

.

÷òî ñîâïàäàåò ñ íàéäåííûì ðàíåå ðåøåíèåì (**).

Ðàññ÷èòàåì äàëåå çíà÷åíèå òîêà â öåïè íà âñåì èíòåðâàëå ïîâòîðÿåìîñòè

èìïóëüñîâ, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ

i

[

n

]. Ïîñêîëüêó íà èíòåðâàëå

äåéñòâèÿ èìïóëüñà ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå ïîñòîÿííî, òî äëÿ

nT

£

t

£

nT

+

Ò

è

èìååì:

i t

U

r

i n U

r

e

t nT

( )

[ ]

=

+

-

æ
è

ç

ö
ø

÷

- -

0

0

t

,

à äëÿ

nT + Ò

è

£

t

£

(

n +

1)

Ò

ìîæíî çàïèñàòü:

i t

i nT T e

t nT T

( )

(

)

=

+

- - -

è

è

t

.

142

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 12.12