ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.01.2021
Просмотров: 8428
Скачиваний: 5
Н
.
С
.
Бахвалов
,
Н
.
П
.
Жидков
,
Г
.
М
.
Кобельков
ЧИСЛЕННЫЕ
МЕТОДЫ
Данная
книга
представляет
собой
переработанный
вариант
учебного
пособия
«
Численные
методы
»
тех
же
авторов
,
вышедшего
в
1
987
году
.
Добавлен
материал
,
относящийся
к
решению
систем
линейных
уравнений
с
плохо
обусловленными
матрицами
,
решению
задачи
Коши
для
систем
жестких
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
,
аппроксимации
функций
,
методу
сопряженных
градиентов
.
Видоизменено
изложение
оптимального
линейного
итерационного
процесса
и
рассмотрен
многосеточный
итерационный
метод
—
один
из
наиболее
применяемых
в
настоящее
время
методов
решения
сеточных
краевых
задач
.
Содержание
Предисловие
7
Введение
8
1
Погрешность
результата
численного
решения
задачи
1
7
§
1
.
Источники
и
классификация
погрешности
1
7
§ 2.
Запись
чисел
в
ЭВМ
2
1
§ 3.
Абсолютная
и
относительная
погрешности
.
Формы
записи
данных
22
§ 4.
О
вычислительной
погрешности
25
§ 5.
Погрешность
функции
27
§ 6.
Обратная
задача
32
2
Интерполяция
и
численное
дифференцирование
35
§
1
Постановка
задачи
приближения
функций
36
§ 2.
Интерполяционный
многочлен
Лагранжа
39
§ 3.
Оценка
остаточного
члена
интерполяционного
многочлена
Лагранжа
43
§ 4.
Разделенные
разности
и
их
свойства
43
§ 5.
Интерполяционная
формула
Ньютона
с
разделенными
разностями
45
§ 6.
Разделенные
разности
и
интерполирование
с
кратными
узлами
48
§ 7.
Уравнения
в
конечных
разностях
5
1
§ 8.
Многочлены
Чебышева
58
§ 9.
Минимизация
оценки
остаточного
члена
интерполяционной
формулы
62
§
1
0.
Конечные
разности
65
§
11
.
Интерполяционные
формулы
для
таблиц
с
постоянным
шагом
68
§
1
2.
Составление
таблиц
7
1
§
1
3.
О
погрешности
округления
при
интерполяции
74
§
1
4.
Применения
аппарата
интерполирования
.
Обратная
интерполяция
75
§
1
5.
Численное
дифференцирование
76
§
1
6.
О
вычислительной
погрешности
формул
численного
дифференцирования
83
§
1
7.
Рациональная
интерполяция
84
3
Численное
интегрирование
86
§
1
.
Простейшие
квадратурные
формулы
.
Метод
неопределенных
коэффициентов
86
§ 2.
Оценки
погрешности
квадратуры
89
§ 3.
Квадратурные
формулы
Ньютона
—
Котеса
94
§ 4.
Ортогональные
многочлены
99
§ 5.
Квадратурные
формулы
Гаусса
1
06
§ 6.
Практическая
оценка
погрешности
элементарных
квадратурных
формул
11
3
§ 7.
Интегрирование
быстро
осциллирующих
функций
11
6
§ 8.
Повышение
точности
интегрирования
за
счет
разбиения
отрезка
на
равные
части
11
9
§9.
О
постановках
задач
оптимизации
1
24
§
1
0.
Постановка
задачи
оптимизации
квадратур
1
29
§
11
.
Оптимизация
распределения
узлов
квадратурной
формулы
1
30
§
1
2.
Примеры
оптимизации
распределения
узлов
1
37
§
1
3.
Главный
член
погрешности
1
40
§
1
4.
Правило
Рунге
практической
оценки
погрешности
1
44
§
1
5.
Уточнение
результата
интерполяцией
более
высокого
порядка
точности
1
48
§
1
6.
Вычисление
интегралов
в
нерегулярном
случае
1
50
§
1
7.
Принципы
построения
стандартных
программ
с
автоматическим
выбором
шага
1
57
4
Приближение
функций
и
смежные
вопросы
1
64
§
1
.
Наилучшие
приближения
в
линейном
нормированном
пространстве
1
64
§ 2.
Наилучшее
приближение
в
гильбертовом
пространстве
и
вопросы
,
возникающие
при
его
практическом
построении
1
66
§ 3.
Тригонометрическая
интерполяция
.
Дискретное
преобразование
Фурье
1
7
1
§ 4.
Быстрое
преобразование
Фурье
1
75
§ 5.
Наилучшее
равномерное
приближение
1
78
§ 6.
Примеры
наилучшего
равномерного
приближения
1
8
1
§ 7.
О
форме
записи
многочлена
1
87
§ 8.
Интерполяция
и
приближение
сплайнами
1
9
1
5
Многомерные
задачи
20
1
§
1
.
Метод
неопределенных
коэффициентов
202
§ 2.
Метод
наименьших
квадратов
и
регуляризация
.
203
§ 3.
Примеры
регуляризации
206
§ 4.
Сведение
многомерных
задач
к
одномерным
2
1
2
§ 5.
Интерполяция
функций
в
треугольнике
220
§ 6.
Оценка
погрешности
численного
интегрирования
на
равномерной
сетке
222
§ 7.
Оценка
снизу
погрешности
численного
интегрирования
225
§ 8.
Метод
Монте
-
Карло
232
§ 9.
Обсуждение
правомерности
использования
недетерминированных
методов
решения
задач
236
§
1
0.
Ускорение
сходимости
метода
Монте
-
Карло
239
§
11
.
О
выборе
метода
решения
задачи
243
6
Численные
методы
алгебры
250
§
1
.
Методы
последовательного
исключения
неизвестных
253
§ 2.
Метод
отражений
262
§ 3.
Метод
простой
итерации
265
§ 4.
Особенности
реализации
метода
простой
итерации
на
ЭВМ
268
§ 5.
δ
2
-
процесс
практической
оценки
погрешности
и
ускорения
сходимости
27
1
§6.
Оптимизация
скорости
сходимости
итерационных
процессов
275
§ 7.
Метод
Зейделя
285
§ 8.
Метод
наискорейшего
градиентного
спуска
290
§ 9.
Метод
сопряженных
градиентов
294
§
1
0.
Итерационные
методы
с
использованием
спектрально
-
эквивалентных
операторов
300
§
11
.
Погрешность
приближенного
решения
системы
уравнений
и
обусловленность
матриц
.
Регуляризация
304
§
1
2.
Проблема
собственных
значений
3
1
5
§
1
3.
Решение
полной
проблемы
собственных
значений
при
помощи
QR-
алгоритма
320
7
Решение
систем
нелинейных
уравнений
и
задач
оптимизации
324
§
1
.
Метод
простой
итерации
и
смежные
вопросы
326
§ 2.
Метод
Ньютона
решения
нелинейных
уравнений
330
§ 3.
Методы
спуска
336
§ 4.
Другие
методы
сведения
многомерных
задач
к
задачам
меньшей
размерности
34
1
§ 5.
Решение
стационарных
задач
путем
установления
345
§ 6.
Как
оптимизировать
?
352
8
Численные
методы
решения
задачи
Коши
для
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
360
§
1
.
Решение
задачи
Коши
с
помощью
формулы
Тейлора
36
1
§ 2.
Методы
Рунге
—
Кутта
363
§ 3.
Методы
с
контролем
погрешности
на
шаге
369
§ 4.
Оценки
погрешности
одношаговых
методов
37
1
§ 5.
Конечно
-
разностные
методы
376
§
б
.
Метод
неопределенных
коэффициентов
379
§ 7.
Исследование
свойств
конечно
-
разностных
методов
на
модельных
задачах
383
§ 8.
Оценка
погрешности
конечно
-
разностных
методов
388
§ 9.
Особенности
интегрирования
систем
уравнений
396
§
1
0.
Методы
численного
интегрирования
уравнений
второго
порядка
409
§
11
.
Оптимизация
распределения
узлов
интегрирования
4
1
2
9
Численные
методы
решения
краевых
задач
для
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
4
1
7
§
1
.
Простейшие
методы
решения
краевой
задачи
для
уравнений
второго
порядка
4
1
7
§ 2.
Функция
Грина
сеточной
краевой
задачи
423
§ 3.
Решение
простейшей
краевой
сеточной
задачи
428
§ 4.
Замыкания
вычислительных
алгоритмов
436
§ 5.
Обсуждение
постановок
краевых
задач
для
линейных
систем
первого
порядка
444
§ 6.
Алгоритмы
решения
краевых
задач
для
систем
уравнений
первого
порядка
449
§ 7.
Нелинейные
краевые
задачи
455
§ 8.
Аппроксимации
специального
типа
46
1
§ 9.
Конечно
-
разностные
методы
отыскания
собственных
значений
473
§
1
0.
Построение
численных
методов
с
помощью
вариационных
принципов
476
§
11
.
Улучшение
сходимости
вариационных
методов
в
нерегулярном
случае
485
§
1
2.
Влияние
вычислительной
погрешности
в
зависимости
от
формы
записи
конечно
-
разностного
уравнения
488
1
0
Методы
решения
уравнений
в
частных
производных
495
§
1
.
Основные
понятия
теории
метода
сеток
.
497
§ 2.
Аппроксимация
простейших
гиперболических
задач
505
§ 3.
Принцип
замороженных
коэффициентов
52
1
§ 4.
Численное
решение
нелинейных
задач
с
разрывными
решениями
524
§ 5.
Разностные
схемы
для
одномерного
параболического
уравнения
528
§ 6.
Разностная
аппроксимация
эллиптических
уравнений
543
§ 7.
Решение
параболических
уравнений
с
несколькими
пространственными
переменными
566
§ 8.
Методы
решения
сеточных
эллиптических
уравнений
580
11
Численные
методы
решения
интегральных
уравнений
599
§
1
.
Решение
интегральных
уравнений
методом
замены
интеграла
квадратурной
суммой
599
§ 2.
Решение
интегральных
уравнений
с
помощью
замены
ядра
на
вырожденное
604
§ 3.
Интегральные
уравнения
Фредгольма
первого
рода
608
Заключение
6
1
7
Список
литературы
622
Предметный
указатель
627
Предметный
указатель
Алгоритм
ненасыщаемый
, 65
Аппроксимация
, 379
дифференциального
уравнения
разностной
схемой
, 379
Большое
число
, 23
Валле
-
Пуссена
теорема
,
1
79
Вариация
, 522
Верная
цифра
, 23
Весовая
функция
, 89
Восполнение
, 559
Выделение
весовой
функции
,
1
5
1
Гарантированные
оценки
погрешности
на
классе
функций
, 232
Главный
член
погрешности
,
1
40
Дивергентность
разностной
схемы
,
527
Дискретные
коэффициенты
Фурье
,
1
73
Дифференцирование
численное
, 76
Замыкание
алгоритма
, 437
нерегулярное
, 437
регулярное
, 437
Значащие
цифры
, 23
Интегрирование
осциллирующих
функций
,
11
6
системы
уравнений
, 396
Интерполирование
, 36
с
кратными
узлами
, 49
Интерполяционная
формула
Лагранжа
, 4
1
Ньютона
, 46
для
интерполирования
назад
, 69
для
интерполирования
вперед
, 69
Интерполяция
, 36
квадратичная
, 72
линейная
, 7
1
тригонометрическая
,
1
73
Итерационные
методы
построения
многочлена
наилучшего
равномерного
приближения
с
использованием
спектрально
эквивалентных
операторов
, 300
Квадратуры
Гаусса
,
1
06
Грегори
,
1
43
Лобатто
,
111
Ньютона
—
Котеса
, 94
Ромберга
,
1
49
Симпсона
, 88
Филона
,
11
7
Эйлера
,
1
42
обобщенные
,
1
22
прямоугольников
, 86
составные
,
1
22
трапеций
, 87
Количество
арифметических
операций
, 4
1
Конечно
-
разностное
уравнение
, 5
1
Конечно
-
разностные
методы
, 376
схемы
, 376
Ленточная
структура
, 257
Линейная
оценка
погрешности
, 28
Линейное
разностное
уравнение
, 52
Мажорирующее
разностное
уравнение
, 488
Матрица
Грама
,
1
67
ортогонализации
,
1
00
отражений
, 262
Мера
обусловленности
матрицы
, 305
системы
, 305
погрешности
аппроксимации
, 504
Метод
Адамса
, 378
Гаусса
, 253
Зейделя
, 290
Монте
-
Карло
, 232
Ньютона
решения
нелинейных
уравнений
, 330
Ритца
, 477
Рунге
—
Кутта
, 363
Эйлера
, 363
вариационно
-
разностный
, 479
верхней
релаксации
, 290
вилки
, 336
квадратного
корня
, 259
конечных
элементов
, 558
наименьших
квадратов
, 203
наискорейшего
спуска
, 290
неопределенных
коэффициентов
, 39,
202
оврагов
, 342
оптимальный
, 63
парабол
, 336
покоординатного
спуска
, 288
пристрелки
, 429
прогонки
, 430
проекционно
-
разностный
, 56
1
простой
итерации
, 265, 326
регуляризации
, 205