ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.01.2021
Просмотров: 193
Скачиваний: 1
Математическая
постановка
задачи
стратегического
планирования
.
Элементы
теории
факторного
анализа
Планирование
ИМ
представляет
совокупность
методов
и
приемов
получения
с
помощью
эксперимента
на
разработанной
модели
необходимой
информации
с
учетом
затрачиваемых
на
это
ресурсов
.
Разделяют
(
в
терминологии
Р
.
Шеннона
)
стратегиче
-
ское
и
тактическое
планирование
.
Стратегическое
планирование
−
планирование
совокупности
экспериментов
,
различающихся
по
исходным
данным
,
в
ходе
кото
-
рых
должна
быть
получена
вся
необходимая
информация
о
системе
,
то
есть
определены
все
интересующие
исследователя
свойства
.
Соот
-
ветственно
план
экспериментов
позволяет
разработать
экономную
стратегию
задания
исходных
данных
:
конечного
числа
вариантов
структур
}
W
,...,
W
{
W
an
1
a
a
=
;
под
-
множеств
значений
параметров
}
V
,...,
V
{
V
an
1
a
a
=
для
каждого
из
вари
-
антов
структур
;
конечного
множества
элементов
,
определяющих
характеристи
-
ки
внешней
среды
}
,...,
{
an
1
a
a
ω
ω
=
Ω
,
по
отношению
к
которым
опре
-
деляется
эффективность
системы
.
Данная
стратегия
должна
обеспечить
перекрытие
всего
спектра
гипотез
и
условий
,
подлежащих
проверке
в
ходе
анализа
вариантов
системы
и
,
с
другой
стороны
,
−
реализовать
обозримый
по
времени
и
экономичный
по
затратам
характер
исследований
путем
определения
наиболее
информативных
наборов
исходных
данных
для
ИМ
.
При
фиксированных
исходных
данных
модельный
экспери
-
мент
состоит
из
серии
повторяющихся
имитаций
процесса
функ
-
ционирования
системы
,
что
позволяет
получить
усредненную
кар
-
тину
относительно
ее
эффективности
с
учетом
случайного
характера
протекающих
процессов
и
явлений
.
Естественно
желание
получить
более
точные
оценки
иссле
-
дуемых
показателей
эффективности
при
минимальном
объеме
испытаний
.
.
Оптимизация
статистических
испытаний
в
смысле
минимиза
-
ции
их
объема
при
выполнении
заданных
требований
к
точности
и
достоверности
выполняется
в
ходе
тактического
планирования
мо
-
дельного
эксперимента
.
Стратегическое
планирование
есть
оптимизация
проведения
экспериментов
«
в
большом
»,
а
тактическое
планирование
−
оп
-
тимизация
процесса
моделирования
«
в
малом
»
(
в
каждой
точке
фазового
пространства
исходных
данных
,
определяющих
облик
ис
-
следуемой
системы
и
характеристики
внешней
среды
).
Математическая
постановка
и
решение
задачи
стратегического
планирования
(
СП
)
базируется
на
использовании
методов
факторно
-
го
и
регрессионного
анализа
.
Факторами
называются
независимые
входные
пе
-
ременные
–
характеристики
исследуемой
системы
и
внешней
среды
,
определяющие
в
своей
совокупности
параметры
,
условия
и
режимы
ее
функционирования
.
k
2
1
x
,...,
x
,
x
S
Ω
Каждый
из
факторов
имеет
диапазон
допустимых
значений
,
i
x
max
i
i
min
i
x
x
x
≤
≤
k
,
1
i
=
.
Каждый
фактор
может
принимать
в
экспе
-
рименте
несколько
значений
,
i
x
i
L
k
,
1
i
=
,
называемых
уровнями
.
Каждому
фиксированному
набору
уровней
соответствует
опре
-
деленная
точка
в
многомерном
(
k
-
мерном
)
пространстве
,
называе
-
мом
факторным
пространством
.
Фиксированный
набор
уровней
определяет
вариант
по
-
строения
системы
и
описания
внешней
среды
,
одновременно
представляя
условия
проведения
или
полный
набор
исходных
данных
для
одного
из
возможных
имитационных
экспериментов
.
Выходные
переменные
,
характеризующие
изучаемые
свойства
системы
и
зависящие
от
основных
факторов
,
называются
отклика
-
ми
или
реакцией
системы
S
и
обозначаются
как
.
l
1
y
,...,
y
В
ходе
планирования
эксперимента
должны
быть
определены
:
1)
необходимый
набор
факторов
,
влияющих
на
исследуемую
ха
-
рактеристику
системы
и
описание
зависимостей
откликов
от
факто
-
ров
;
2)
установление
количества
уровней
факторов
и
их
значений
в
ходе
проведения
эксперимента
;
3)
определение
необходимого
количества
и
порядка
проведения
экспериментов
,
то
есть
составление
собственно
плана
в
виде
комби
-
наций
уровней
различных
факторов
.
Зависимость
любого
отклика
от
факторов
)
x
,...,
x
(
y
k
1
ϕ
=
доста
-
точно
сложна
и
вид
ее
заранее
не
известен
.
Поэтому
в
ходе
экспери
-
мента
пытаются
искать
приближенную
зависимость
.
При
этом
важную
роль
играют
методы
регрессионного
анализа
.
)
x
,...,
x
(
y
k
1
^
ϕ
≅
Регрессией
случайной
величины
на
в
широком
смысле
называется
некоторая
функция
,
приближенно
представляющая
стати
-
стическую
зависимость
Y
X
)
Y
,
X
(
)
X
(
F
Y
α
+
=
,
где
−
является
регрессией
,
а
)
X
(
F
)
Y
,
X
(
α
−
случайная
ошибка
такого
представления
.
Под
регрессией
случайной
величины
на
в
более
узком
смысле
называют
условное
математическое
ожидание
при
фикси
-
рованном
значении
:
.
Y
X
Y
X
[
]
)
x
(
f
x
X
/
Y
M
y
=
=
=
∧
Регрессионный
анализ
−
метод
,
обеспечивающий
подбор
функциональной
зависимости
заданного
вида
,
при
которой
экс
-
периментальные
точки
ложатся
на
нее
наилучшим
образом
в
смысле
критерия
наименьших
квадратов
.
Задание
вида
кривой
сводится
к
определению
класса
функ
-
ций
,
используемых
для
аппроксимации
исходных
данных
.
Процедура
«
подбора
»
состоит
в
определении
параметров
(
коэффициентов
полиномов
)
функций
выбранного
класса
.
Предполагаем
,
что
в
ходе
эксперимента
изучается
влияние
факторов
k
~
i
x~
max
i
i
min
i
x~
x~
x~
≤
≤
,
k
~
,
1
i
=
на
некоторую
реакцию
.
При
этом
функцию
реакции
y
)
x~
,...,
x~
(
k
1
ϕ
с
некоторой
точностью
можно
представить
в
виде
полинома
степени
1
d
≥
от
переменных
k
{
}
∑
=
×
×
=
k
~
1
k
~
1
k
~
1
i
...
i
i
k
~
i
1
i
...
i
x
...
x~
b
~
y
∑ ∑
+
+
∑
+
= =
=
k
~
1
i
k
~
1
j
j
i
i
k
~
1
i
i
i
0
...
x~
x~
b
~
x~
b
~
b
~
(2.1)
∑
×
×
+
=
+
+
d
i
...
i
}
i
...
i
{
i
k
~
i
1
i
...
i
k
~
1
k
~
1
k
~
1
k
~
1
x~
...
x~
b
~
где
0
b
~
,
1
b
~
,… –
коэффициенты
регрессии
общим
числом
k
~
d
k
~
C
k
+
=
.
Данное
соотношение
всегда
может
быть
сведено
к
линейно
-
му
полиному
,
если
провести
замену
i
i
x~
x
=
,
k
,
1
i
=
;
,
,...
x
x
2
1
1
k
~
=
+
2
k
~
1
k
~
2
x
x
=
+
,
,...
x
x
x
2
1
2
k
~
2
=
+
и
обозначений
0
0
b
~
b
=
,
i
i
b
~
b
=
,
k
,
1
i
=
;
11
1
k
~
b
~
b
=
+
,
k
~
k
~
1
k
~
2
b
b
...,
=
+
,
12
2
k
~
2
b
b
=
+
и
т
.
д
.
В
результате
всегда
можно
получить
полином
,
описывающий
линейную
регрессию
по
отношению
к
k
факторам
∑
∑
=
+
=
=
=
k
0
i
i
i
k
1
i
i
i
0
x
b
x
b
b
y
. (2.2)
В
последнем
выражении
вводится
фиктивный
фактор
.
1
x
0
≡
Пусть
общее
количество
экспериментов
равно
.
Тогда
для
ре
-
шения
задачи
надо
найти
оценки
коэффициентов
по
резуль
-
татам
наблюдения
совокупности
откликов
,
считая
,
что
полу
-
ченные
данные
удовлетворяют
системе
уравнений
N
k
0
b
,...,
b
N
1
y
,...,
y
1
1
k
k
11
1
01
0
1
x
b
...
x
b
x
b
y
ε
+
+
+
+
=
,
M
…
M
N
kN
k
N
1
1
N
0
0
N
x
b
...
x
b
x
b
y
ε
+
+
+
+
=
,
где
,
ij
x
k
,
0
i
=
;
N
,
1
j
=
−
значения
факторов
в
ходе
экспериментов
,
а
,
j
ε
N
,
1
j
=
−
случайные
погрешности
определения
отклика
,
имеющие
нулевое
математическое
ожидание
и
дисперсию
2
ε
σ
.
Если
использовать
метод
наименьших
квадратов
,
то
оценки
,
i
^
b
k
,
0
i
=
можно
получить
из
условия
минимизации
величины
min
)
x
b
...
x
b
y
(
)
b
...
b
(
A
k
0
b
...
b
N
1
j
2
kj
k
j
0
0
j
k
0
→
∑
−
−
−
=
=
.
0
b
A
i
i
b
b
i
∧
=
=
∂
∂
,
k
,
0
i
=
,