ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.01.2021
Просмотров: 194
Скачиваний: 1
0
x
)
x
b
...
x
b
y
(
2
b
A
ij
N
1
j
kj
k
^
j
0
0
^
j
i
=
∑
−
−
−
−
=
∂
∂
=
,
k
,
0
i
=
.
Перепишем
последнее
уравнение
в
виде
∑
=
∑
∑
=
=
=
N
1
j
j
ij
k
0
t
tj
t
^
N
1
j
ij
y
x
x
b
x
,
k
,
0
i
=
.
Введем
векторы
,
и
матрицу
T
k
^
0
^
^
)
b
,
,...
b
(
b
=
T
N
1
)
y
,...,
y
(
y
=
rs
x
X
=
,
где
k
,
0
r
=
−
строки
,
N
,
1
s
=
−
столбцы
.
Матрица
называется
матрицей
планирования
,
ее
раз
-
мерность
равна
.
T
X
)
1
k
(
N
+
×
В
результате
получим
матричное
уравнение
вида
Xy
b
XX
^
T
=
,
T
XX
C
=
,
.
Xy
b
C
^
=
Решение
уравнения
для
компонентов
^
b
имеет
вид
Xy
C
b
1
^
−
=
. (2.3)
Значительного
упрощения
в
вычислениях
можно
достичь
,
если
столбцы
матрицы
ортогональны
,
то
есть
X
0
x
x
N
1
j
rj
lj
=
∑
=
,
r
l
≠
,
r
0
≤
,
k
l
≤
.
Это
значит
,
что
матрица
имеет
вид
C
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
kk
00
T
с
0
0
с
XX
C
O
,
.
∑
=
=
N
1
j
2
ij
ii
x
с
При
ортогональной
матрице
коэффициенты
регрессии
определя
-
ются
по
формуле
X
∑
∑
=
=
=
N
1
j
2
ij
N
1
j
j
ij
i
^
x
y
x
b
,
k
,
0
i
=
. (2.4)
Если
теперь
пронормировать
факторы
i
0
i
i
*
i
x
/
)
x
x
(
x
∆
−
=
,
i
min
i
0
i
x
x
x
∆
+
=
;
2
/
)
x
x
(
x
min
i
max
i
i
−
=
∆
,
то
условия
ортогональности
будут
выполняться
,
если
уровни
факто
-
ров
в
ходе
эксперимента
будут
взяты
симметрично
относительно
на
-
чала
координат
и
равны
1
+
и
1
−
.
Такой
план
эксперимента
назы
-
вается
ортогональным
.
k
2
N
=
.
Если
осуществляют
все
возможные
сочетания
уровней
факто
-
ров
,
то
получают
так
называемый
полный
факторный
эксперимент
(
ПФЭ
).
Полный
факторный
план
при
двух
уровнях
называют
еще
планом
D
или
планом
–
.
k
2
ПФЭ
№
эксперимента
х
0
х
1
х
2
х
1
х
2
(
х
3
)
Реакция
y
1 1
−
1
−
1
+1 y
1
2 1
+1
−
1
−
1
y
2
3 1
−
1
+1
−
1
y
3
4 1
+1
+1
+1
y
4
x
1
+1
−
1
+1
0
−
1
x
2
Рис
. 2.7.
Пример
формирования
матрицы
планирования
при
2
k
=
Для
сокращения
количества
экспериментов
в
ряде
случаев
мож
-
но
реализовать
матрицу
планирования
,
содержащую
часть
полного
факторного
плана
,
то
есть
провести
дробный
факторный
экспери
-
мент
(
дробный
план
).
Сущность
дробного
факторного
эксперимента
сводится
к
сокращению
числа
членов
аппроксимирующего
полинома
за
счет
смешивания
основных
факторов
с
теми
,
которые
на
основании
априорных
или
интуитивных
соображений
слабо
влияют
на
изу
-
чаемый
процесс
.
Используя
матрицу
планирования
рис
. 2.7,
можно
вычислить
ко
-
эффициенты
и
представить
результаты
в
виде
уравнения
2
1
12
2
2
1
1
0
x
x
b
x
b
x
b
b
y
+
+
+
=
.
Если
в
выбранных
интервалах
варьирования
ограничиться
опи
-
санием
системы
линейной
моделью
,
то
достаточно
определить
три
коэффициента
.
При
этом
остается
одна
степень
свободы
,
ко
-
торую
можно
использовать
для
минимизации
числа
испытаний
.
2
1
0
b
,
b
,
b
При
линейном
описании
и
вектор
-
столбец
значений
можно
использовать
для
нового
фактора
.
В
этом
случае
раз
-
дельных
оценок
,
которые
имели
бы
место
при
реализации
ПФЭ
типа
,
уже
не
будет
.
0
b
12
→
2
1
x
x
3
x
3
2
При
использовании
плана
,
полученного
после
подстановки
зна
-
чений
,
нет
,
также
,
разницы
между
значениями
и
,
и
,
и
.
В
результате
происходит
смешивание
факто
-
ров
,
а
получаемые
оценки
смещаются
2
1
3
x
x
x
=
0
x
3
2
1
x
x
x
1
x
3
2
x
x
2
x
3
1
x
x
=
+
+
+
+
+
+
+
=
3
2
1
123
3
2
23
3
1
13
2
1
12
3
3
2
2
1
1
0
x
x
x
b
x
x
b
x
x
b
x
x
b
x
b
x
b
x
b
b
y
=
+
+
+
+
+
+
+
=
2
3
123
1
2
2
23
2
2
1
13
2
1
12
3
2
2
1
1
0
x
b
x
x
b
x
x
b
x
x
)
b
b
(
x
b
x
b
b
3
12
3
2
13
2
1
23
1
123
0
x
)
b
b
(
x
)
b
b
(
x
)
b
b
(
)
b
b
(
+
+
+
+
+
+
+
=
.
Это
означает
,
что
вместо
искомых
оценок
коэффициентов
фак
-
тически
находятся
смещенные
оценки
123
0
0
b
b
b
+
→
,
23
1
1
b
b
b
+
→
,
13
2
2
b
b
b
+
→
,
,
12
3
3
b
b
b
+
→
Этим
смещением
пренебрегают
,
считая
,
что
0
b
12
≅
,
,
0
b
23
≅
0
b
13
≅
,
.
0
b
123
≅
Таким
образом
,
вместо
испытаний
в
рамках
ПФЭ
можно
провести
только
в
рамках
дробного
эксперимента
.
3
2
2
2
Правило
проведения
дробного
эксперимента
формулируется
следующим
образом
:
для
сокращения
числа
испытаний
новому
фактору
присваиваются
значения
вектор
-
столбца
матрицы
,
при
-
надлежащего
взаимодействию
,
которым
можно
пренебречь
.
Формирование
дробного
эксперимента
из
четырех
испытаний
для
оценки
влияния
трех
факторов
осуществляется
на
основе
полови
-
ны
ПФЭ
типа
.
Эта
половина
называется
полурепликой
.
Их
может
быть
две
:
3
2
первая
полуреплика
получается
,
если
приравнять
и
,
при
этом
;
3
x
2
1
x
x
1
x
x
x
3
2
1
=
вторая
полуреплика
получается
,
если
приравнять
и
,
при
этом
2
1
x
x
−
3
x
1
x
x
x
3
2
1
−
=
.
Таблица
2.1.
Формирование
дробных
планов
2
1
3
x
x
x
=
2
1
3
x
x
x
−
=
№
испыта
-
ния
1
x
2
x
3
x
3
2
1
x
x
x
№
испыта
-
ния
1
x
2
x
3
x
3
2
1
x
x
x
1 +1
+1
+1
1
1 +1
+1
−
1
−
1
2
−
1
−
1
+1 1
2
−
1
−
1
−
1
−
1
3 +1
−
1
−
1
1 3
+1
−
1 +1
−
1
4
−
1
+1
−
1
1 4
−
1
+1 +1
−
1
Таким
образом
,
для
выбора
условий
испытаний
в
рамках
СП
необходимо
установить
перечень
существенных
факторов
,
значимо
влияющих
на
величину
искомого
показателя
эффективности
системы
.
Далее
из
априорных
предположений
выбирается
вид
аппрокси
-
мирующего
полинома
,
для
которого
определяется
матрица
планиро
-
вания
,
реализующая
различные
комбинации
уровней
факторов
.
С
учетом
анализа
взаимодействий
проводится
рациональное
усечение
матрицы
с
целью
сокращения
объема
экспериментов
.
Полученная
совокупность
сочетаний
уровней
факторов
дает
полное
представление
о
том
,
каков
должен
быть
стратегический
план
эксперимента
.