ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.10.2023
Просмотров: 80
Скачиваний: 1
, (3) , , , (4) , , , (5) (6)(1)-(6) – дифференциальная иерархическая игра. Здесь n – число базовых агентов (численность целевой аудитории), m – число агентов влияния (конкурирующих субъектов маркетинга), при этом, поскольку разные фирмы по-разному решают вопрос, на каких агентов сильных подгрупп влиять, а на каких – нет, мы просто считаем, что если i-ая фирма не влияет на j-го агента, то .R – общий маркетинговый бюджет Центра, T – период рассмотрения (длина игры), , – функционалы выигрыша Центра и агентов влияния соответственно, – маркетинговый бюджет, выделяемый Центром i-му агенту в момент t, – мнение j-го базового агента в момент
t, – расходы i-го агента влияния на маркетинговое воздействие на j-го базового агента в момент t, – коэффициент влияния i-го базового агента на j-го, – коэффициент воздействия i-го агента влияния на j-го базового агента.В качестве общих интересов в модели принимается максимизация мнения всех базовых агентов системы.Допущения модели, цель и методы исследованияДинамическими СОЧИ-моделями распределения ресурсов в сетевом маркетинге мы стали заниматься совсем недавно. На сегодняшний момент рассмотрен самый простой случай – случай линейных функций частного дохода базовых агентов, т.е.
.Различаем Центр благожелательный и безразличный к частным интересам базового агента. В случае благожелательного Центра в его целевую функцию Ведущего включаются частные интересы агентов влияния. В этом случае функция Ведущего представляет собой функцию общественного благосостояния, в которой суммируются целевые функции всех агентов влияния, в каждой из которых сочетаются общие и частные интересы последнего за минусом затрат ресурсов на достижение своих целей.В случае же Центра, безразличного к частным интересам агента, последние не входят в целевую функцию Центра, которая представляет собой только максимизация суммарного мнения всех базовых агентов за минусом ресурсов, выделяемых им i-й фирме на привлечение клиентов. В данной статье рассмотрен лишь безразличный Центр.Нахождение равновесия по Нэшу.Исследуем задачу i-ой фирмы (3)-(6).Выпишем уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана: (3)при условии
Максимизируя по , , , получаем . (2)где .Поскольку функции Беллмана в нашей ситуации мы считаем линейными, ,можем записать уравнение (1) с учетом (2) в виде . (3)Приравнивая в левой и правой частях уравнения (3) коэффициенты при первых степенях x, получаем следующие дифференциальные уравнения для коэффициентов : ,, (4)здесь . Перепишем систему уравнений (4) в матричной форме , (5)Где – матрица влияний, – вектор-столбец коэффициентов , , I – единичная матрица, – n-мерный столбец единиц.Мы видим, что система уравнений (5) одна и та же у всех агентов влияния, поэтому для любого базового агента , и с этого момента мы будем опускать индекс i у коэффициентов .Решая систему дифференциальных уравнений (4), получаем: , .Вектор-столбец постоянных интегрирования найдем из граничных условий: ,поэтому
.
В частности, при
имеем
. (6)
Далее, учитывая, что 
для любого 
, перепишем (3) в виде:
(7)
Выбирая максимальное значение величины правой части выражения (1) в зависимости от суммы 
, имеем
,
Откуда
.
Значит, величина в (7) равна
. .
Заметим, что условие означает, что ценность каждого базового агента одинакова для всех агентов влияния, и, судя по (6), зависит только от его коэффициентов 
, т.е. только от его связей с другими агентами, а значит и влияния на других агентов. (7)
Приравнивая свободные члены в левой и правой частях уравнения (7), получаем дифференциальное уравнение для 
:
(8)
Уравнение (8) решаем методом вариации произвольных постоянных:
.
При 
имеем
,
где для любого (в частности, для данного i), имеем
(9)
Таким образом,
, (10)
где 
, 
, – компоненты вектора 
, определяются выражением (6), а 
, 
, – выражением (9).
При этом управления определяются выражением (2):
,
где 
,
.