Математическая модель

На основе моделей обмена мнениями и моделей сочетания общих и частных интересов построим динамическую модель сочетания общих и частных интересов (далее, СОЧИ-модель) распределения ресурсов в маркетинговых сетях:
, (1)

, , , , (2)

(3)

, (3)

, , , (4)

, , , (5)

(6)

(1)-(6) – дифференциальная иерархическая игра.

Здесь

n – число базовых агентов (численность целевой аудитории),

m – число агентов влияния (конкурирующих субъектов маркетинга), при этом, поскольку разные фирмы по-разному решают вопрос, на каких агентов сильных подгрупп влиять, а на каких – нет, мы просто считаем, что если i-ая фирма не влияет на j-го агента, то .

R – общий маркетинговый бюджет Центра,

T – период рассмотрения (длина игры),

, – функционалы выигрыша Центра и агентов влияния соответственно,

– маркетинговый бюджет, выделяемый Центром i-му агенту в момент t,

– мнение j-го базового агента в момент

---

t,

– расходы i-го агента влияния на маркетинговое воздействие на j-го базового агента в момент t,

– коэффициент влияния i-го базового агента на j-го,

– коэффициент воздействия i-го агента влияния на j-го базового агента.

В качестве общих интересов в модели принимается максимизация мнения всех базовых агентов системы.

Допущения модели, цель и методы исследования

Динамическими СОЧИ-моделями распределения ресурсов в сетевом маркетинге мы стали заниматься совсем недавно. На сегодняшний момент рассмотрен самый простой случай – случай линейных функций частного дохода базовых агентов, т.е. .

Различаем Центр благожелательный и безразличный к частным интересам базового агента. В случае благожелательного Центра в его целевую функцию Ведущего включаются частные интересы агентов влияния. В этом случае функция Ведущего представляет собой функцию общественного благосостояния, в которой суммируются целевые функции всех агентов влияния, в каждой из которых сочетаются общие и частные интересы последнего за минусом затрат ресурсов на достижение своих целей.

В случае же Центра, безразличного к частным интересам агента, последние не входят в целевую функцию Центра, которая представляет собой только максимизация суммарного мнения всех базовых агентов за минусом ресурсов, выделяемых им i-й фирме на привлечение клиентов. В данной статье рассмотрен лишь безразличный Центр.

Нахождение равновесия по Нэшу.

Исследуем задачу i-ой фирмы (3)-(6).

Выпишем уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана:

(3)







при условии

---

Максимизируя по , , , получаем
. (2)

где .

Поскольку функции Беллмана в нашей ситуации мы считаем линейными,

,

можем записать уравнение (1) с учетом (2) в виде



. (3)

Приравнивая в левой и правой частях уравнения (3) коэффициенты при первых степенях x, получаем следующие дифференциальные уравнения для коэффициентов :

,, (4)

здесь .

Перепишем систему уравнений (4) в матричной форме

, (5)

Где

– матрица влияний,

– вектор-столбец коэффициентов ,

, I – единичная матрица, – n-мерный столбец единиц.

Мы видим, что система уравнений (5) одна и та же у всех агентов влияния, поэтому для любого базового агента , и с этого момента мы будем опускать индекс i у коэффициентов .

Решая систему дифференциальных уравнений (4), получаем:

,

.

Вектор-столбец постоянных интегрирования найдем из граничных условий:

,

поэтому

---

.

В частности, при имеем

. (6)

Далее, учитывая, что для любого , перепишем (3) в виде:


(7)
Выбирая максимальное значение величины правой части выражения (1) в зависимости от суммы , имеем

,

Откуда
.

Значит, величина в (7) равна

. .

Заметим, что условие означает, что ценность каждого базового агента одинакова для всех агентов влияния, и, судя по (6), зависит только от его коэффициентов , т.е. только от его связей с другими агентами, а значит и влияния на других агентов.

(7)

Приравнивая свободные члены в левой и правой частях уравнения (7), получаем дифференциальное уравнение для :

(8)

Уравнение (8) решаем методом вариации произвольных постоянных:


.

При имеем



,

где для любого (в частности, для данного i), имеем

(9)

Таким образом,


, (10)

где ,

---

, – компоненты вектора , определяются выражением (6), а , , – выражением (9).

При этом управления определяются выражением (2):

,

где

,

.

---

Смотрите также файлы

• Практическая работа по дисциплине Младшие школьники группы риска.docx

• 1 Международные правовые нормы, регламентирующие классификацию товаров.pdf

• Развитие казахской литературы в 2030е годы хх века.docx

• Еуразия техника экономикалы колледж.docx

• Англ язык .docx