Файл: Реферат. В предлагаемой работе рассмотрены числовые равенства вида.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.10.2023
Просмотров: 146
Скачиваний: 1
;
n > 1 – натуральный показатель степени,
существует при n = R, где: R – количество слагаемых в числовом равенстве.
Доказательство:
Пусть существуют удовлетворяющие условиям теоремы основания степеней 
, 
для которых числовое равенство (1) верно. Представим каждое из входящих в числовое равенство слагаемое 
и сумму 
в виде тождеств, являющихся биномами Ньютона при натуральном показателе степени n:
(2)
где: Хк, У – могут принимать любые значения, то есть, являются переменными.
Подставляя тождества (2) в числовое равенство (1), получим алгебраическое уравнение:
(3)
Поменяв местами символы сумм, и вынеся коэффициенты
за символ суммы независящий от значений n и i, что равнозначно перестановке мест слагаемых в уравнении (3), получим:
(4)
Алгебраическое уравнение (4) соответствует числовому равенству (1) и справедливо при любых значениях переменных Хк, У, входящих в это уравнение.
Лемма.
Если существует верное числовое равенство (1), где: , – целые, положительные, основания степеней слагаемых и
суммы ,
n > 1 – натуральный показатель степени,
то в соответствующем ему алгебраическом уравнении (4) для любого значения переменной У можно найти такие значения переменных Хк, при которых будут равны между собой все соответствующие слагаемые обеих частей этого равенства.
Доказательство леммы:
Пусть существует удовлетворяющее условиям леммы верное числовое равенство (1), а следовательно и соответствующее ему алгебраическое уравнение (4).Пусть утверждение леммы верно и в алгебраическом уравнении (4) можно найти такие переменные Хк, У, для которых выполняется система уравнений, состоящая из (n + 1) уравнения: (5)…………………………………………… Следует отметить, что система уравнений (5) существует для числового равенства (1) только в том случае, если основания , являются целыми числами. Если, например, число иррациональное (при этом число является числом целым по условию), то при показателе степени n > 1 можно подобрать целые переменные Хк, У такими, что все левые части системы уравнений (5) будут целыми, в то время как в правой части часть уравнений будет иметь иррациональные значения, что является противоречием.Аналогично система уравнений (5) может не существовать и для числовых равенств типа (1) если основаниями степеней являются рациональные дроби.Пусть основания , целые, положительные числа. Для таких числовых равенств существует система уравнений (5). Система уравнений при помощи тождественных преобразований приводится к виду (преобразование системы уравнений приведено в приложении 1):
(6)……………………………Следовательно, если существуют удовлетворяющие условиям леммы основания степеней , для которых числовое равенство (1) верное, то существуют соответствующая ему система уравнений (5) и преобразованная система уравнений (6).По условию показатель степени n входящих в равенство слагаемых и суммы больше 1. Тогда количество уравнений в системе уравнений (6) не меньше 3. Умножая первое уравнение полученной системы на множитель (У/В)2, а второе на (-2У/В), и складывая первые три равенства, получим: (7)Следовательно, если существуют такие целые основания степеней и , для которых числовое равенство (1) верно при n > 1, то существует соответствующее этому числовому равенству алгебраическое уравнение (7).По условию леммы основания , , а следовательно и слагаемые , являются положительными числами. Тогда для выполнения равенства (7), (поскольку квадрат множителя в скобках при любых значениях входящих в него переменных не отрицателен), необходимо выполнение условий: (8)где индекс к пробегает значения от 1 до R (R – количество слагаемых в числовом равенстве (1)).Или в виде системы уравнений:
(9)……………Полученные условия преобразования (9) содержат R уравнений (где R – количество слагаемых равенства (1)) и устанавливают при заданных целых, положительных основаниях , соотношения между переменными уравнения (4), при которых любому значению одной из переменных У или Хк можно найти такие значения остальных переменных, при которых будут равны между собой все соответствующие слагаемые обеих частей уравнения (4) (в этом можно убедиться, подставив полученные соотношения (9) в равенство (4)).Таким образом, если числовое равенство (1) верное, положительные основания степеней и слагаемых и суммы являются целыми числами, а натуральный показатель степени n 1, то существует соответствующее ему тождественно преобразованное алгебраическое уравнение (4) и условия его преобразования (9), позволяющие преобразовать одну часть уравнения (4) к виду его другой части. Условия преобразования (9) из всей совокупности верных и неверных числовых равенств типа (1) при показателе степени n 1 выделяют верные числовые равенства и, если эти условия не выполняются, то не существует и верного числового равенства (1).Очевидно, что уравнения, входящие в систему уравнений (9), имеют нетривиальные (отличные от ноля) решения (все уравнения системы являются линейными, а одной из переменных можно задавать любое значение).Следовательно, верное числовое равенство типа (1) при выполнении условий леммы можно преобразовать к виду (4), где каждое из слагаемых правой части будет равно сумме соответствующих слагаемых левой части.Лемма доказана.Полученная система уравнений (9) имеет однозначные решения только в том случае