Раздел № 1. Линейная алгебра

Задача 1, вариант 6



φ_А (λ) = [A-λЕ]

φ_А (λ) =
(4-λ)*(4-λ)*(5-λ) + (-1)*1*0 + 1*1*0 – (-1)*(4-λ)*0 – (4- λ)*1*0 – 1*1*(5- λ) =

(4- λ)²*(5-λ) – (5- λ) = (16 – 8λ + λ²)* (5- λ) – (5- λ) = 80 - 16λ - 40λ + 8λ² + 5λ² – λ³ – 5 + λ = 75 - 55λ + 13λ² – λ³

φ_А (λ) = – λ³ + 13λ² - 55λ – 75

φ_А (λ) = 0

– λ³ + 13λ² - 55λ – 75 = 0

(5 – λ)*((4- λ)² -1) = 0

5 – λ = 0 (4- λ)² - 1= 0

λ₁ = 5 16 - 8λ + λ² – 1 = 0

λ² - 8λ + 15 = 0

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант

d = b² – 4ac

d = (-8)² – 4*1*15 = 64 – 60 = 4

λ₂ = = = 5

λ₃= = = 3
Таким образом, матрица имеет имеет два собственных значения λ₁ = 5 и λ₂ = 3.

Находим собственные векторы заданной матрицы:

Aν = λν, ν ≠ 0

А= ν₁ = λ₁ = 5
* = 5 *

Получаем и решаем следующую систему:

4х₁ + х₂ = 5х₁

х₁ + 4х₂ = 5х₂

-х₁ + х₂ + 5х₃ = 5х₃
4х₁ + х₂ - 5х₁ = 0

х₁ + 4х₂ - 5х₂ = 0

-х₁ + х₂ + 5х₃ - 5х₃ = 0
-х₁ + х₂ = 0

х₁ – х₂ = 0

-х₁ + х₂ = 0
х₁ – х₂ = 0

---

х₁ = х₂ х₂

х₂ = х₂ , х = х₂

х₃ = х₃ х₃
Пусть х₂ = 1, х₃ = 0, тогда собственный вектор заданной матрицы ν_{1 =}
Пусть х2 = 0, х3 = 1, тогда собственный вектор заданной матрицы ν₂ =

А= ν₂ = λ₂ = 3
Получаем и решаем следующую систему:
4х₁ + х₂ = 3х₁

х₁ + 4х₂ = 3х₂

-х₁ + х₂ + 5х₃ = 3х₃
4х₁ + х₂ - 3х₁ = 0

х₁ + 4х₂ - 3х₂ = 0

-х₁ + х₂ + 5х₃ - 3х₃ = 0
х₁ + х₂ = 0

х₁ + х₂ = 0

-х₁ + х₂ + 2х₃ = 0
х₁ + х₂ = 0

-х₁ + х₂ + 2х₃ = 0
х₁ + х₂ = 0

х₂ + х₂ + 2х₃ = 0
х₁ + х₂ = 0

2х₂ + 2х₃ = 0
х₁ + х₂ = 0

х₂ + х₃ = 0
х ₁ = х₁ х₁

х₂ = -х₁ , х = -х₁

х₃ = х₁ х₁
Пусть х₁ = 1, тогда собственный вектор заданной матрицы ν₃ =
Раздел № 1. Линейная алгебра

Задача 2, вариант 8

По теореме Кронера-Капелли система алгебраических уравнений совместима тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу раширенной системы Ã, т.е. rang A = rang Ã.

Составим матрицу и расширенную матрицу системы


Т.к. размер полученных матриц 3х4 и 3х5, значит ранг обеих матриц не больше 3, т.е. rang A

---

< 3, rang à < 3.

Найдем ранг первой матрицы:
1 строку делим на 2
от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 4
2 строку делим на 2
к 3 строке прибавляем 2 строку, умноженную на 2
, т.к. ненулевых строк 2, то rang A = 2
Найдем ранг расширенной матрицы:

1 строку делим на 2
от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 4
2 строку делим на 2
к 3 строке прибавляем 2 строку, умноженную на 2
, т.к. ненулевых строк 2, то rang à = 2

Так как rang A = rang Ã, то согласно теореме Кронера-Капелли заданная система алгебраических уравнений совместима. Так как ранги обеих систем меньше 4 (числа неизвестных), данная система имеет бесконечное количество решений.

Решение заданной системы уравнений методом Крамера и средствами матричного исчисления невозможно, т.к. матрица из данной системы не является квадратной (количество уравнений не равно числу неизвестных).

Решим заданную систему методом Гаусса:

2 х₁ + х₃ + х₄ = 5

2х₂ + х₃ – х₄ = 3 1 строку умножаем на 2 и вычитаем из строки 3

4х₁ – 2х₂ + х₃ + 3х₄ = 7
2х₁ + х₃ + х₄ = 5

2х₂ + х₃ – х₄ = 3

4х₁ – 2х₂ + х₃ + 3х₄ – 4х₁ – 2х₃ – 2х₄= 7 – 10
2х₁ + х₃ + х₄ = 5

2х₂ + х₃ – х₄ = 3 2 строку вычитаем из строки 3

– 2х₂ – х₃ + х₄ =-3
2

---

х₁ + х₃ + х₄ = 5

2х₂ + х₃ – х₄ = 3

– 2х₂ – х₃ + х₄ +2х₂ + х₃ – х₄ = -3+ 3




2х₁ + х₃ + х₄ = 5

2х₂ + х₃ – х₄ = 3

Из уравнения первой подсистемы найдем х₁:

х₁ = 2,5 – 0,5х₃ – 0,5х₄

Из уравнения второй подсистемы найдем х₂:

х₂ = 1,5 – 0,5х₃ + 0,5х₄
Ответ: х₁ = 2,5 – 0,5х₃ – 0,5х₄

х₂ = 1,5 – 0,5х₃ + 0,5х₄

х₃ = х₃

х₄ = х₄


Раздел № 1. Линейная алгебра

Задача 3, вариант 3

По теореме Кронера-Капелли система алгебраических уравнений совместима тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу раширенной системы Ã, т.е. rang A = rang Ã.

Составим матрицу и и найдем ее ранг:

из 2 строки вычитаем 1 строку, умноженную на 2
из 3 строки вычитаем 1 строку
2 строку делим на -3
из 3 строки вычитаем 2 строку, умноженную на 3
3 строку делим на 2
, т.к. ненулевых строк 3, то rang А = 3

Составим расширенную матрицу и найдем ее ранг:

из 2 строки вычитаем 1 строку, умноженную на 2
из 3 строки вычитаем 1 строку
2 строку делим на -3
из 3 строки вычитаем 2 строку, умноженную на 3
3 строку делим на 2
, т.к. ненулевых строк 3, то то rang à = 3
Так как rang A = rang Ã, то согласно теореме Кронера-Капелли заданная система алгебраических уравнений совместима. Так как ранги обеих систем меньше 4 (числа неизвестных), данная система имеет бесконечное количество решений.

---

Решим заданную систему методом Гаусса:

х₁ + 4х₂ – 3х₃ + 6х₄ = 0

2х₁ + 5х₂ + х₃ – 2х₄ = 0 1 строку умножаем на 2 и вычитаем из 2 строки

х₁ + 7х₂ – 10х₃ + 20х₄ = 0
х ₁ + 4х₂ – 3х₃ + 6х₄ = 0

2х₁ + 5х₂ + х₃ – 2х₄ – 2х₁ – 8х₂ + 6х₃ – 12х₄= 0

х₁ + 7х₂ – 10х₃ + 20х₄ = 0
х₁ + 4х₂ – 3х₃ + 6х₄ = 0

– 3х₂ + 7х₃ – 14х₄ = 0 из 3 строки вычитаем 1 строку

х₁ + 7х₂ – 10х₃ + 20х₄ = 0
х₁ + 4х₂ – 3х₃ + 6х₄ = 0

– 3х₂ + 7х₃ – 14х₄ = 0

х₁ + 7х₂ – 10х₃ + 20х₄ – х₁ – 4х₂ + 3х₃ – 6х₄ = 0
х ₁ + 4х₂ – 3х₃ + 6х₄ = 0

– 3х₂ + 7х₃ – 14х₄ = 0 из 2 строки вычитаем 3 строку, умноженную на -1

3х₂ – 7х₃ + 14х₄ = 0
х ₁ + 4х₂ – 3х₃ + 6х₄ = 0

– 3х₂ + 7х₃ – 14х₄ + 3х₂ – 7х₃ + 14х₄ = 0

3х₂ – 7х₃ + 14х₄ = 0
х ₁ + 4х₂ – 3х₃ + 6х₄ = 0

3х₂ – 7х₃ + 14х₄ = 0

Из уравнения второй подсистемы найдем х₂:

3х_{2 =} 7х₃ – 14х₄

х_{2 =} х₃ – х₄

Из уравнения первой подсистемы найдем х₁:

х₁ = - 4*( х₃– х₄) + 3х₃ – 6х₄

х₁ = - х₃ + х₄ + 3х₃ – 6х₄

х₁ = - х₃ + х₄ + 3х₃ – 6х₄

х₁ = -

---

Смотрите также файлы

• Max пад. Рmin.docx

• Httppomogala ru.pdf

• Обычно понимается определяемое на основании коллизионной нормы право.docx

• Условный оператор Условный оператор.ppt

• 1. Понятие и виды унификации в международном частном праве. Унификация.docx