Добавлен: 25.10.2023
Просмотров: 50
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СТРОЕНИЕ АТОМА
1
СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
Один электрон, «вращающийся» в поле ядра. Каза- лось бы, простая задача. Однако даже для этого простейшего атома решение уравнения Шрединге- ра очень громоздко, и мы не имеем возможности его проделать. Что же касается результатов этого расчета, то мы их обсудим довольно детально.
Между электроном и ядром действует электрическое кулоновское притяжение.
Потенциальная энергия электрона в поле ядра равна
???? = −
????
2
????
, где
е
- заряд электрона (такой же, как и заряд протона), а
???? = ????
2
+ ????
2
+ ????
2
- расстояние от электрона до ядра.
Строение атома
2
Энергетические уровни атома водорода
Уравнение Шредингера имеет вид
∆???? +
8????
2
????
ℎ
2
???? +
????
2
????
???? = 0 .
Строение атома
3
Энергетические уровни атома водорода
Атом является своеобраз- ной потенциальной ямой.
Это яма без дна и с расхо- дящимися бортами. Борта ямы — гиперболы, ось
r = 0
является одной из асимп- тот.
U
r
Электрон внутри атома обладает отрицательной потенциальной энергией, поскольку минимальное значение потенциальной энергии стремится к
Строение атома
4
Энергетические уровни атома водорода бесконечности при
r → 0
, а максимальное значение равно нулю. Может возникнуть вопрос: зачем начало отсчета потенциальной энергии выбрано так, что энергия электрона отрицательна?
U
r
Строение атома
5
Энергетические уровни атома водорода
Понятно, в чем достоинст- во такого выбора. Для раз- ных атомов одинаковое значение потенциальная энергия имеет только при
r
→ ∞
.
Естественно это
общее
значение выбрать за нуль.
Формула энергетических уровней может быть представлена в виде
????
????
= −
2????
2
????????
4
ℎ
2
????
2
Строение атома
6
Энергетические уровни атома водорода
По историческим причинам принято эту формулу записывать в виде
????
????
= −
????????ℎ
????
2
, где
???? =
2????
2
????????
4
????ℎ
3
= 109740 см
−1
называют постоянной
Ридберга.
Таким образом, не только потенциальная, но и полная энергия электрона в атоме оказывается отрицательной. Электрон атома может находиться на уровнях, нумеруемых числом
n
.
Чем больше
n
,
тем выше энергетический уровень, тем большей энергией обладает электрон. Электрон свободного атома водорода, не подвергающегося каким бы то ни было воздействиям, находится на самом низком энергетическом уровне
????
1
= −????????ℎ
Если атому любым способом сообщается энергия, большая по величине, чем
????????ℎ
, то электрон выходит за пределы потенциальной ямы — атом ионизуется. Энергию
????????ℎ
называют
энергией
ионизации
.
Строение атома
7
Энергетические уровни атома водорода
Принято характеризовать работу отрыва электрона от атома
потенциалом ионизации
Для атома водорода
????
ион
=
????????ℎ
????
=
3 ∙ 10 8
∙ 10974000 ∙ 6,62 ∙ 10
−34 1,6 ∙ 10
−19
= 13,5 В
Происхождение названия следующая. Положим, что отрыв электрона от атома водорода происходит под действием пучка электронов. Чтобы ионизовать атом водорода, надо разогнать электроны, играю- щие роль снарядов, по крайней мере до энергии
???????? = ????????ℎ
Строение атома
8
Энергетические уровни атома водорода
Следовательно,
V
есть разность потенциалов, до которой надо разогнать электрон, чтобы при ударе об атом водорода он сумел вызвать ионизацию.
Если атом водорода получит энергию, меньшую
????????ℎ
,
он может перейти на какой-либо
n
- йуровень.
Про такой атом говорят, что он находится в возбужденном состоянии.
В этом состоянии атом находится ничтожные доли секунды и переходит на более низкий уровень, испуская фотон в соответствии с равенством
ℎ????
????????
= ????
????
− ????
????
= ????????ℎ
1
????
2
−
1
????
2
Строение атома
9
Энергетические уровни атома водорода
Если атомы водорода возбуждаются различного рода соударениями, то они поднимаются на различ- ные уровни энергии и возвращаются на основной уровень «прыжками» через различное число ступеней. Поэтому большое скопление атомов водорода будет излучать различные фотоны со всевозможными частотами n
mn
. Возникает характерный линейчатый спектр испускания.
Строение атома
10
Энергетические уровни атома водорода
Вычисляя при данном
n
частоты n
m
, соответствующие числам
m = n+1, n+2,
… можно получить различные серии частот линий в спектре водорода. Существование этих серий было известно задолго до создания квантовой механики.
Одна из них (серия Бальмера) соответствует
n = 2
Подставляя
т = 3,4, 5, 6, 7, 8, вычислим длины волн шести линий в этой серии:
Строение атома
11
Энергетические уровни атома водорода
l
3
= 656,280 нм; l
4
= 486,138 нм; l
5
= 434,051 нм; l
6
= 410,178 нм; l
7
= 397,011 нм; l
8
= 388,909 нм.
Хорошо заметно сближение линий по мере роста
m
, что и наблюдается на опыте.
Расхождение этих теоретических цифр с опытом не превышает пяти единиц в последней цифре.
Строение атома
12
Энергетические уровни атома водорода
3
= 656,280 нм; l
4
= 486,138 нм; l
5
= 434,051 нм; l
6
= 410,178 нм; l
7
= 397,011 нм; l
8
= 388,909 нм.
Хорошо заметно сближение линий по мере роста
m
, что и наблюдается на опыте.
Расхождение этих теоретических цифр с опытом не превышает пяти единиц в последней цифре.
Строение атома
12
Энергетические уровни атома водорода
Решение уравнения Шредингера позволяет найти не только все энергетические уровни атома водорода, но и все его волновые функции. В основном состоянии электрон характеризуется одной функцией
ψ
1
Что же касается возбужденных состояний, то все они — по терминологии квантовой механики — вырождены, при этом
n
2
- кратно. Этот термин означает, что энергии
E
2
соответствуют четыре
ψ
- функции, энергии
E
3
— девять и т.д.
Каждое из этих состояний может реально осуществиться.
Строение атома
13
Квантовые числа
Чем же отличаются друг от друга
n
2
состояний с одним и тем же квантовым числом
n
?
Состояния с одним и тем же значением энергии
E
n
могут отличаться величиной вращательного импульса электрона, а также значением проекции вращательного импульса на какое-либо направле- ние (это направление выделяется среди прочих просто тем, что мы его выбрали).
Результат решения уравнения Шредингера для атома водорода таков: вращательный импульс электрона имеет дискретный ряд значений, которые даются, формулой
Строение атома
14
Квантовые числа
???? = ???? ???? + 1
ℎ
2????
, где
????
может принять любое целое значение от
0
до
n- 1
, если электрон находится на
n
- муровне.
Далее, уравнение Шредингера показывает, что по отношению к избранному направлению
z
вращательный импульс
L
может быть ориентирован лишь таким способом, чтобы
????
????
= ????
ℎ
2????
, где
m
— целое число, которое может принять значения от -
????
до +
????
, включая нуль.
Строение атома
15
Квантовые числа
Напомним, что в соответствии с принципом неопределенности знание
L
и
L
z
исчерпывает возможные сведения о вращательном импульсе, иначе говоря, имеет смысл одновременное задание только лишь этих двух величин.
Итак, состояние электрона в атоме характеризуется тремя квантовыми числами:
????, ????, ????
Число
????
называ- ют
главным
,
????
—
побочным
и
????
—
магнитным
квантовыми числами.
Состояния со значениями
???? = 0, 1, 2, 3, … обозначают соответственно буквами
????, ????, ????, ????, …
Строение атома
16
Квантовые числа
Число впереди буквы используется для указания главного квантового числа. Например
3????
- состояние
— это состояние с
???? = 3 и ???? = 1
.
Энергетические переходы у атома водорода определяются исключительно значениями главного квантового числа
n
.
Чтобы числа
????, ???? стали играть роль, нужно «снять вырождение», т.е. добиться такого положения, при котором состояниям с разным вращательным импульсом соответствовала бы разная энергия. Для атомов водорода это можно сделать, помещая их в магнитное поле. У других атомов, как мы увидим ниже, вырождение снимается взаимодействием электронов.
Строение атома
17
Квантовые числа
Состояние, характеризуемое тройкой чисел
????, ????, ????
описывается волновой функцией
????
????,????,????
Этому состоянию соответствует характерная форма электронного облака, определяемая функцией
????
????,????,????
2
.
Остановимся на виде
????
2
- функций атома водорода, характеризующих различные возбужденные состояния этого атома.
Рассмотрим
s
- состояния. Так как
???? = 0
,
то и
???? = 0
,
значит, для каждого
n
имеется лишь одна
????
- функция. Равенство
???? = 0
говорит об отсутствии у электрона вращательного импульса.
Строение атома
18
Электронное облако для s- и р-состояний
Естественно, это требует отсутствия предпочти- тельных направлений движения, т.е. сферической симметрии электронного облака. Уравнение Шре- дингера и дает такой результат: функции
????
1????
, ????
2????
,
Строение атома
19
Электронное облако для s- и р-состояний
????
3????
и т.д. сферически симметричны.
На рисунке слева - кривые радиального распределения плотности электронного облака (или, что то же самое, плотности вероятности пребывания электрона в данном месте).
По оси ординат отложена величина
4????????
2
????
2
, называемая радиальной плотностью; очевидно,
4????????
2
????
2
????????
есть вероятность пребывания электронов в шаровом слое между радиусами
????
и
???? + ????????
.
Строение атома
20
Электронное облако для s- и р-состояний
Кривые радиальной плотности показывают, что в состоянии
1????
имеется один максимум электронной плотности, у атома водорода он находится на расстоянии
0,53
Å
от ядра.
В состоянии
2????
имеются два максимума плотности; правда, в основном электрон будет внутри второго максимума. Наконец, в состоянии
3????
имеются три максимума плотности, из которых наиболее
Строение атома
21
Электронное облако для s- и р-состояний
«посещаемым» является дальний.
С возрастанием главного числа
????
электронное облако расплывается.
Совершенно иначе выглядят функции
p
- состояний.
Значению
???? = 1 могут соответствовать три значения
???? = 0, −1, +1
Представление о конфигурациях элект- ронного облака дает рисунок. При
???? = 0 длинная ось
«восьмерки» располагается вдоль выделенного направления, при
???? = ±1
- перпендикулярно к нему.
Строение атома
22
Электронное облако для s- и р-состояний
Очевидно, состояния с
???? = ±1
имеет смысл различать лишь тогда, когда они присутствуют оба.
Рисунок дает некоторое представление о симмет- рии электронного облака. Она одинакова для всех
р
- состояний. Различие в главном квантовом числе сводится лишь к изменению характера радиального спада плотности: чем больше
n
у
тем больше растянется картина.
Мы не будем обсуждать состояний с большими значениями
????
, их электронные облака существенно более сложны.
Строение атома
23
Электронное облако для s- и р-состояний
Известно, что атомы расположены в таблице Мен- делеева по возрастающему числу электронов в них.
У гелия два электрона, у лития — три, у бериллия
— четыре. Какие предсказания о структуре атомов можно сделать с помощью уравнения Шредингера?
На первый взгляд проблема может показаться безнадежной. Строгая процедура уже для гелия должна была бы заключаться в решении уравнения
Шредингера для нахождения волновой функции с шестью переменными
????(????
1
, ????
1
, ????
1
, ????
2
, ????
2
, ????
2
)
,
квадрат которой должен дал бы вероятность нахождения первого электрона в точке
????
1
, ????
1
, ????
1 при одновремен- ном пребывании второго электрона в точке
????
2
, ????
2
, ????
2
.
Строение атома
24
Принцип Паули
В качестве потенциальной энергии нужно было бы подставить в уравнение
???? = −
2????
2
????
1 2
−
2????
2
????
2 2
+
2????
2
????
12 2
, где
r
1
и
r
2
— расстояния электронов до ядра (заряд ядра гелия
2
е
),
а
r
12
— расстояние между электронами. Точное решение подобной задачи совершенно невозможно.
Было бы крайне желательным говорить отдельно о каждом электроне атома и описывать каждый атомный электрон своей волновой функцией
ψ(x,у,z)
Но как это сделать?
Строение атома
25
Принцип Паули
Очевидно, надо рассматривать движение одного электрона в поле ядра и остальных электронов. Это эффективное поле можно считать обладающим сферической симметрией. Поэтому описание свойств такого электрона не будет отличаться от описания электрона водородного атома.
Разумеется, задача все же будет довольно слож- ной: для различных электронов эти эффективные поля различны, а главное, их надо определять все одновременно, поскольку каждое из них зависит от состояний всех остальных электронов (подобное эффективное поле называют самосогласованным).
Строение атома
26
Принцип Паули
Такой подход к задаче о многоэлектронном атоме позволяет в значительной степени сохранить описание свойств электрона атома водорода для описания поведения электрона сложного атома.
Состояние каждого электрона будет характеризо- ваться теми же квантовыми числами, что и у водорода. Однако в случае атома, содержащего несколько электронов, взаимодействие электронов снимает вырождение, и уровни с разными
????
и
????
будут обладать разными энергиями.
Уравнение Шредингера позволяет найти возможные уровни энергии, но ничего не говорит о том, какой энергией будут обладать атомные электроны.
Строение атома
27
Принцип Паули
Можно было бы думать, что все электроны атома займут самый низкий энергетический уровень. По крайней мере таким было бы поведение «обычных» частиц. Однако опыт категорически отвергает подобное предположение. «Размещением» элек- тронов по энергетическим уровням управляет так называемый
принцип Паули
.
Первоначальная догадка о существовании такого принципа была получена из рассмотрения таблицы Менделеева.
Как говорилось выше, уравнение Шредингера приводит к существованию
(2???? + 1) состояний для данных
????
и
????
Это в свою очередь дает
????
2
разных
????
- функций для одного значения
????
Строение атома
28
Принцип Паули