ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.10.2023
Просмотров: 127
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
41
Пользуясь этим правилом, напишем систему уравнений для нашего при- мера
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
2 23 1
13 3
32 31 3
32 0
02 2
23 20 3
31 0
01 1
13 10 2
20 1
01 0
02 01
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
(6.8)
Эту систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными p
0
,p
1
,p
2
,p
3
, ка- залось бы, можно вполне решить. Но эти уравнения однородны (не имеют сво- бодного члена) и, значит, определяют неизвестные только с точностью до про- извольного множителя. Однако можно воспользоваться нормировочным усло- вием
1 3
2 1
0
p
p
p
p
(6.9) и с его помощью решить систему. При этом одно (любое) из уравнений можно отбросить (оно вытекает как следствие из остальных).
Пусть значения интенсивностей потоков равны
3
;
2
;
2
;
31 20 32 10 02 13 23 01
(6.10)
Четвертое уравнение отбрасываем, добавляя вместо него нормировочное условие
1
,
2 2
4
,
3 4
,
3 2
3 3
2 1
0 3
0 2
3 0
1 2
1 0
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
(6.11)
13
,
0 15
/
2
;
27
,
0 15
/
4
;
2
,
0 15
/
3
;
4
,
0 15
/
6 3
2 1
0
p
p
p
p
. (6.12)
Таким образом, в предельном, стационарном режиме система S в среднем
40 % времени будет проводить в состоянии S
0
(оба станка исправны), 20 % – в со- стоянии S
1
(первый станок ремонтируется, второй работает), 27 % – в состоянии S
2
(второй станок ремонтируется, первый работает), 13 % – в состоянии S
3
(оба стан- ка ремонтируются). Значение этих финальных вероятностей помогает оценить среднюю эффективность работы системы и загрузку ремонтных органов.
Пусть система S в состоянии S
0
(полностью исправна) приносит в едини- цу времени доход 8 условных единиц, в состоянии S
1
– доход 3 условные еди- ницы, в состоянии S
2
– доход 5 условных единиц, в состоянии S
3
– не приносит
42 дохода. Тогда в предельном, стационарном режиме средний доход в единицу времени будет равен W = 0,4
8 + 0,2
3 + 0,27
5 = 5,15 условных единиц.
Станок 1 ремонтируется долю времени, равную p
1
+ p
3
= 0,2 + 0,13 = 0,33.
Станок 2 ремонтируется долю времени, равную p
2
+ p
3
= 0,27 + 0,13 = 0,4. Воз- никает задача оптимизации. Пусть мы можем уменьшить среднее время ремон- та первого или второго станка (или обоих), но это выльется в дополнительные финансовые затраты. Спрашивается, окупит ли увеличение дохода, связанное с ускорением ремонта, повышенные расходы на ремонт? Нужно будет решить систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными.
1 2 3 4 5 6 7
Задачи теории массового обслуживания
Примеры систем массового обслуживания (СМО):телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, станочные и другие технологические системы, системы управления гибких производственных мо- дулей и т. д.
Каждая СМО состоит из какого-то количества обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания (это станки, транспортные те- лежки, роботы, линии связи, кассиры, продавцы и т. д.). Всякая СМО предна- значена для обслуживания какого-то потока заявок (требований), поступаю- щих в какие-то случайные моменты времени.
Обслуживание заявки продолжается какое-то случайное время, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными). В другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.
Процесс работы СМО – случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Состояние СМО меняется скачком в моменты появ- ления каких-то событий (прихода новой заявки, окончания обслуживания, мо- мента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь).
Предмет теории массового обслуживания – построение математиче- ских моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с интересующи- ми нас характеристиками – показателями эффективности СМО. Эти показатели
43 описывают способность СМО справляться с потоком заявок. Ими могут быть: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания об- служивания и т. д.
Математический анализ работы СМО упрощается, если процесс этой работы
Марковский, т. е. потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние – простейшие. Иначе математическое описание процесса очень усложняется и его редко удается довести до конкретных аналитических зависимостей. На практике не
Марковские процессы с приближением приводятся к Марковским.
Классификация систем массового обслуживания
Первое деление (по наличию очередей):
1. СМО с отказами,
2. СМО с очередью.
В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы за- няты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.
В СМО с очередьюзаявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.
СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь – ограничена или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслужи- вания».
На основании данной градации можно выделить следующие СМО:
- СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время обслуживания ограничены);
- СМО с обслуживанием и приоритетом, т. е. некоторые заявки обслу- живаются вне очереди и т. д.
Кроме этого системы массового обслуживания делятся на открытые и
замкнутые.
В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – за- висят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со сторо- ны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.
44
ЛЕКЦИЯ 7. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМ
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
В рамках данной лекции рассматриваются примеры простейших систем
массового обслуживания. При этом понятие «простейшие» не означает «эле- ментарные». Математические модели этих систем применимы и успешно ис- пользуются в практических расчетах.
Одноканальная СМО с отказами
Дано: система имеет один канал обслуживания, на который поступает простейший поток заявок с интенсивностью
. Поток обслуживаний имеет ин- тенсивность
. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.
Найти: абсолютную и относительную пропускную способность СМО и вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ.
Система при любом t > 0 может находиться в двух состояниях: S
0
– канал свободен; S
1
– канал занят. Переход из S
0
в S
1
связан с появлением заявки и не- медленным началом ее обслуживания. Переход из S
1
в S
0
осуществляется, как только очередное обслуживание завершится (рис. 7.1).
Рис. 7.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Выходные характеристики (характеристики эффективности) этой и дру- гих СМО приведены без выводов и доказательств.
Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслужи- ваемых в единицу времени)
A
, шт./ед. времени,
(7.1) где
– интенсивность потока заявок (величина, обратная среднему промежутку времени между поступающими заявками
з
t );
– интенсивность потока обслуживаний (величина, обратная среднему времени обслуживания
об
t
).
45
Относительная пропускная способность (средняя доля заявок, обслу- живаемых системой)
Q
(7.2)
Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необ- служенной)
отк
Р
(7.3)
Очевидны следующие соотношения:
отк
Р
Q
1
и
Q
Р
отк
1
N – канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале XX века датским ма- тематиком Эрлангом.
Дано: в системе имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью
. Поток обслуживаний имеет интенсивность
. Заявка, за- ставшая систему занятой, сразу же покидает ее.
Найти: абсолютную и относительную пропускную способность СМО; вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ; среднее число заявок, обслуживаемых одновременно (или, другими словам, среднее число занятых каналов).
Решение. Состояние системы S (СМО) нумеруется по максимальному числу заявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов):
S
0
– в СМО нет ни одной заявки,
S
1
– в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны),
S
2
– в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальные свободны),
S
n
– в СМО находится n заявок (все n каналов заняты).
Граф состояний СМО представлен на рис. 7.2.
Почему граф состояний размечен именно так? Из состояния S
0
в состоя- ние S
1
систему переводит поток заявок с интенсивностью
(как только прихо- дит заявка, система переходит из S
0
в S
1
). Если система находилась в состоянии
S
1
и пришла еще одна заявка, то она переходит в состояние S
2
и т. д.
46
Рис. 7.2. Граф состояний для n-канальной СМО с отказами
Почему такие интенсивности у нижних стрелок (дуг графа)? Пусть сис- тема находится в состоянии S
1
(работает один канал). Он производит
обслу- живаний в единицу времени. Поэтому дуга перехода из состояния S
1
в состоя- ние S
0
нагружена интенсивностью
. Пусть теперь система находится в состоя- нии S
2
(работают два канала). Для перехода в S
1
нужно, чтобы закончил обслу- живание первый канал, либо второй. Суммарная интенсивность их потоков равна 2
и т. д.
Выходные характеристики (характеристики эффективности) данной СМО определяются следующим образом.
Абсолютная пропускная способность
!
1
n
p
A
o
n
, шт., ед. времени,
(7.4) где n – количество каналов СМО;
p
0
– вероятность нахождения СМО в начальном состоянии, когда все ка- налы свободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянии S
0
).
Рис. 7.3. Граф состояний для схемы гибели и размножения
Чтобы написать формулу для определения p
0
, рассмотрим рис. 7.3.
47
Граф, представленный на этом рисунке, называют еще графом состояний для схемы гибели и размножения. Напишем сначала для p
0
общую формулу (без доказательства)
1 10 21 32 1
,
01 12 23
,
1 10 21 32 01 12 23 10 21 01 12 10 01 0
1
x
x
x
x
p
n
n
n
n
. (7.5)
Кстати, остальные финальные вероятности состояний СМО запишутся следующим образом:
- вероятность того, что СМО находится в состоянии S
1
, когда один канал занят
0 10 01 1
p
p
;
(7.6)
- вероятность того, что СМО находится в состоянии S
2
, т. е. когда два канала заняты
0 10 21 01 12 1
21 12 2
p
p
p
;
(7.7)
- вероятность того, что СМО находится в состоянии S
n
, т. е. когда все каналы заняты.
0 10 21 32 1
,
01 12 23
,
1
p
x
x
x
x
p
n
n
n
n
n
(7.8)
Теперь для n-канальной СМО с отказами
1 3
3 2
2 0
!
3 2
1 2
1 1
n
n
n
x
x
x
p
(7.9)
При этом
0 1
p
p
,
(7.10)
0 2
2 2
2
p
p
,
(7.11)
0
!
p
n
p
n
n
n
(7.12)
Относительная пропускная способность
!
1 0
n
p
Q
n
(7.13)
48
Напомним, что это средняя доля заявок, обслуживаемых системой.
При этом
Q
A
;
(7.14)
отк
P
Q
1
(7.15)
Среднее число занятых каналов (среднее число заявок, обслуживаемых одновременно)
!
1 0
n
p
k
n
(7.16)
При этом
Q
k
(7.17)
Вероятность отказа
!
0
n
p
Р
n
отк
(7.18)
Напомним, что это вероятность того, что заявка покинет СМО необслу- женной. Очевидно, что
Q
P
отк
1
49
ЛЕКЦИЯ 8. ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
При помощи компьютерного моделирования можно создавать модели реальных явлений и процессов, которые невозможно увидеть в действительно- сти, например, эффект теории относительности или процесс изменения климата на планете Земля в течение некоторого периода ее существования. Можно вы- полнить графическую имитацию реальности в компьютерных играх, тренаже- рах, системах технического и архитектурного проектирования.
В настоящее время общепризнанным фактом является невозможность проектирования и изготовления сложной наукоемкой продукции (кораблей, са- молетов, автомобилей, различных видов промышленного оборудования и др.) без применения компьютеров. Автоматизированные системы не только повы- шают эффективность, но и значительно изменяют содержательную сторону всех бизнес-процессов машиностроения, оказывая существенное влияние на способы проектирования, технологию и организацию производства.
Многие современные автоматизированные линии и станки с ЧПУ уже нельзя эксплуатировать, опираясь только на традиционные методы и подходы.
При использовании цифровых систем управления оборудованием компьютеры и программное обеспечение становятся неотъемлемой частью технологической цепочки на производственном предприятии. Поэтому без создания специаль- ных промышленных автоматизированных систем теряют смысл инвестиции в дорогостоящие средства производства.
По своему энциклопедическому определению автоматизированное
проектирование является сложным информационным процессом взаимодейст- вия проектировщиков и средств автоматизации.Причем за человеком остаются самые ответственные – интеллектуальные функции, такие как постановка задач и принятие решений, которые не могут быть выполнены с помощью формаль- ных математических методов. Автоматизация процесса проектирования осуще- ствляется при помощи специальных систем автоматизированного проекти-
рования (САПР).
Основная цель создания САПР –повышение эффективности труда инже- неров за счет автоматизации работ на стадиях проектирования и подготовки производства.