Файл: Лекция 7 основы компьютерного моделирования.pdf

23
Современная форма реализации знакового моделирования – это про-
граммирование на цифровых ЭВМ (компьютерах). Память компьютера по- зволяет зафиксировать описание (модель) любого объекта или процесса в виде его программы, то есть закодированной на машинном языке системы правил, следуя которым машина может «воспроизвести» моделируемый объект или ход моделируемого процесса (рис. 4.2).
Использование компьютерного моделирования в технической подготовке производства кардинально меняет содержание и последовательность многих тради- ционных этапов разработки новых технических объектов. Например, после внедре- ния компьютерной автоматизированной системы проектирования на крупнейшей мировой авиастроительной фирме «Боинг», инженеры позволили себе отказаться от большинства неизбежных ранее натурных испытаний новых самолетов, заменив фи- зическое разрушение планера, предусмотренное регламентом испытаний самолета, модельным экспериментом на его подробной конечно-элементной модели.
Рис. 4.2. Примеры моделирования в технике
Цели и задачикомпьютерного моделирования в технике, какправило, связы- ваются с проектированием и внедрением инновационных разработок. При проекти- ровании изделий и процессов в машиностроении всегда ставится задача отыскания наилучших, эффективных, экономичных, то есть оптимальных проектов. При этом компьютерное моделирование имеет в технике две четко различимые задачи:
1 – создание (синтез) моделей объектов и систем для дальнейшейих практической реализации или подготовки промышленного производства техни- ческих изделий;
2 – анализ свойств объектов и систем на основе исследованияих моде- лей, которые используются для выявления значений параметров проектируе- мых объектов систем и поддержки процессов принятия инженерных решений.

24
В процессе синтеза моделей, в свою очередь, можно выделить две подза- дачи, отличающиеся способами постановки их решения:
1 – отыскание оптимальной структуры проектируемых систем (струк-
турный синтез, или структурная оптимизация);
2 – выбор наилучших значений параметров элементов систем (парамет-
рический синтез, или параметрическая оптимизация).
Структурная оптимизация
Одним из важнейших факторов,определяющих эффективность сложной технической системы, является ее структура, характеризующая состав и взаимо- связь элементов этой системы. Структурный синтез всегда предшествует выбору параметров изделий. При структурном моделировании достаточно часто исполь- зуется математический аппарат теории множеств и теории графов. Однако в на- стоящее время для моделирования структур сложных систем перспективным яв- ляется специальный аппарат структурно-функционального моделирования, прикотором моделями являются графо-аналитические схемы (блок-схемы), до- полненные специальными правилами их объединения и преобразования.
Параметрическая оптимизация
Для параметрической оптимизациив машиностроении давно и успеш- но используются методы линейного и нелинейного математического про-
граммирования. Они хорошо формализуются при реализации в виде про- граммного обеспечения автоматизированных систем. Например, целый спектр методов оптимизации реализован в одной из самых известных систем инженер- ного анализа NASTRAN (MSC Corporation).
Последовательность процесса компьютерного моделирования
Последовательность процесса компьютерного моделирования принято подразделять на следующие основные этапы:
1. Постановка задачи.
2. Построение концептуальной модели (изучениеи описание принци- пов действия машины или технологического процесса, определение важнейших входных и выходных параметров).
3. Формализация,то есть переход к математической модели.

25
На первых этапах развития компьютерных технологий неизбежным эта- пом моделирования было создание алгоритма и написание программы. В те времена любой инженер, работающий с ЭВМ, считался (и, чаще всего, был) программистом. В настоящее время уникальные программы пишутся индиви- дуально только для научных исследований, а в инженерном деле преобладают готовые пакеты программ или универсальные интерактивные автоматизиро- ванные системы – САПР.
4. Планирование и проведение компьютерных экспериментов или по- следовательное создание и отладка структурной модели в интерактивной авто- матизированной системе.
5. Анализ и интерпретация результатов.
6. Уточнение модели и (или) оптимизация.
Создание модели – не самоцель, особенно в инженерной работе. На осно- ве разработанной модели необходимо создать эффективный проект техническо- го объекта или системы.
Практическое использование модели возможно лишь после тщательного ее исследования и отладки, в процессе которых необходимо не только решить задачи проверки адекватности, идентификации параметров, оценки значимости параметров, но и выбора оптимального их значения.
Целью оптимизации является определение наилучших структуры и
(или) параметров изделий и процессов. В этом случае задача автоматизирован- ного проектирования обычно ставится в терминах математического програм- мирования (выбирается функция цели, назначаются проектные переменные,
устанавливаются ограничения)и решается какзадача отыскания экстремаль-
ного значения выбранной целевой функции. Обычно добиваются минимизации функции цели. Например, снижения массы, расхода материала, времени обра- ботки. Универсальной целевой функцией является стоимость, хотя расчет ее для многих случаев моделирования весьма затруднен.
Как правило, в инженерных задачах требуется достижение не абсолютно- го оптимума, но рационального проекта, подразумевающего компромисс меж- ду получаемым эффектом и затратами на его достижение.
Выявление значимых параметров (и пренебрежение остальными)
позволяет уменьшить размерность пространства параметров. Оно базируется на определении коэффициентов чувствительности выходных показателей по от- ношению к вариациям входных параметров и представляет значительную цен- ность при решении задач оптимизации.

26
ЛЕКЦИЯ 5. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ. ГРАФИЧЕСКАЯ ФОРМА
В процессе проектирования нового или модернизации существующего технического средства, в том числе и в лесном комплексе, решаются задачи расчета параметров и исследования рабочих процессов этого средства. При проведении многовариантных расчетов реальный технический объект (физиче-
скую модель) заменяют абстрактной моделью объекта – чаще всего мате-
матической.
По форме представления математических моделей различают инвари-
антную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.
В инвариантной форме математическая модель представляется системой уравнений (дифференциальных, алгебраических) вне связи с методом решения этих уравнений.
В алгоритмической форме соотношения модели связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма – последовательно- сти вычислений.
Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних и внешних параметров). Такие модели получают на ос- нове физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений, используя табличные интегралы. К ним отно- сятся также регрессионные модели, получаемые на основе результатов экспе- римента.
Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквива- лентных схем, динамических моделей, функциональных, кинематических и ал- горитмических схем, диаграмм, циклограмм и т. п. Для использования графиче- ских моделей должно существовать правило однозначного соответствия услов- ных изображений элементов графической и компонентов инвариантной мате- матических моделей.
Среди алгоритмических моделей выделяют имитационные модели,
предназначенные для имитации физических и информационных процессов, протекающих в объекте при функционировании его под воздействием различ- ных факторов внешней среды.

27
В инженерной практике часто используют графические формы представ- ления математических моделей.
В зависимости от характера внешних воздействий технический объект может находиться в установившемся или неустановившемся состоянии.
Установившееся состояние технической системы достигается при неиз- менных характеристиках внешних воздействий. Если воздействия непрерывно меняются, то состояние системы будет неустановившемся – режим работы сис- темы при этом называется динамическим. Физические свойства технического объекта при этом будет описывать динамическая модель.
На макроуровне осуществляется проектирование различных машин и ме- ханизмов. Объекты проектирования рассматриваются как сложные технические системы, состоящие из совокупности взаимодействующих элементов. Здесь, в отличие от микроуровня, где объектами проектирования являются простейшие составные части – детали машин (валы, зубчатые колеса, корпуса и т. д.), объект имеет сложную неоднородную структуру, состоящую из элементов, яв- ляющихся объектами проектирования на микроуровне.
Математические модели микроуровня в виде дифференциальных уравне- ний в частных производных универсальны и дают наиболее полное описание физических свойств объекта, но при этом сложны даже для отдельного про- стейшего элемента и требуют значительных затрат времени на выполнение анализа. Рассматривая каждый элемент объекта макроуровня как сплошную среду, где в разных точках имеются различные значения параметров (динами-
ческая система с распределенными параметрами), практически невозможно решить задачи оптимизации структуры и параметров объекта.
Для упрощения математических моделей при решении задач проектиро- вания динамическая система с распределенными параметрами представляется совокупностью дискретных элементов, имеющих постоянные усредненные па- раметры (динамическая система с сосредоточенными параметрами). Мате- матическая модель данной системы представляется в виде обыкновенных диф- ференциальных уравнений.
Техническая система любой физической природы обладает инерционны-
ми, упругими и диссипативными свойствами. Они отображаются в динамиче- ских моделях соответственно инерционными, упругими и диссипативными эле- ментами.

28
Сосредоточенные массы обладают инерционными свойствами и способ- ностью накапливать кинетическую энергию.
Упругие элементы отображают упругие свойства динамической систе- мы по накапливанию потенциальной энергии.
Диссипативные элементы отображают свойства рассеивания энергии конструктивными элементами технического объекта, обусловленные силами внутреннего трения.
Состояние сосредоточенных масс характеризуется фазовыми переменны-
ми типа потока. Это геометрические координаты и их первые производные по времени, позволяющие определить положение сосредоточенных масс в фазо- вом пространстве и скорости их движения.
Взаимодействие различных элементов динамической модели отображает- ся переменными типа потенциала.
Состояние простого элемента характеризуется одной фазовой перемен- ной типа потока и одной переменной типа потенциала. Физическое свойство элемента в виде зависимости между фазовыми элементами называют компо-
нентным уравнением.
Компонентные уравнения дискретных элементов, которые могут быть получены аппроксимацией моделей микроуровня или использованием физиче- ских законов, имеют следующий вид:
- для инерционного элемента
dt
ИdI
U
И
И

;
(5.1)
- для диссипативного элемента
Д
Д
ДI
U

;
(5.2)
- для упругого элемента


dt
I
У
U
У
У
(5.3)
Объединение всех компонентных уравнений элементов в общую систему на основе физических законов, выражающих условия равновесия и непрерыв- ности фазовых переменных, называют топологическими уравнениями. Они описывают характер взаимодействия между простыми элементами.
Графические изображения элементов
динамической
модели отождествляются с их компонентными уравнениями, а соединения элементов соответствуют топологическим уравнениям. Следовательно, динамическую

29
модель можно рассматривать в качестве математической модели технического объекта в графической форме.
Для использования графических форм должно существовать правило од- нозначного соответствия условных изображений элементов графической моде- ли и компонентов инвариантной математической модели.
Граф – основной объект изу- чения раздела математики – теории графов – совокупность непустого множества вершин и наборов пар вершин (связей между вершинами)
(рис. 5.1).
Объекты представляются как
вершины, или узлы графа, а связи – как дуги, или рѐбра. Для разных об- ластей применения виды графов мо- гут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вер- шинах или рѐбрах.
Графы бывают ориентиро-
ванные,
неориентированные и
смешанные. В ориентированных из- вестны взаимосвязи между верши- нами или узлами (компонентами, уз- лами конструкции и т. д.).
Рис. 5.1. Пример графической формы представления математической модели
Рис. 5.2. Неориентированный и ориентированный граф
Граф представляется в виде структурной математической модели систе- мы с отображением ее топологии, а эквивалентная схема представляет собой

30 функциональную модель, учитывающую, также как и динамическая модель, топологию и компонентный состав системы.
Граф представляет структурную математическую модель системы и ото- бражает ее топологию, а эквивалентная схема представляется в виде функцио- нальной модели с учетом топологии и компонентного состава системы. Если ввести обозначения ветвей графа, то он будет содержать ту же информацию, что и эквивалентная схема.
Компонентные уравнения элементов динамической модели представляют собой компоненты полной математической модели объекта.
Характеристики процессов функционирования объекта определяются не только его внутренними физическими свойствами, но и внешними воздейст- виями. Математические описания этих воздействий также являются компонен- тами математической модели. Воздействия представляют собой источники по- тенциалов U
B
= f
1
(I, t) и источники потоков J
B
= f
2
(U, t). При построении полной математической модели в инвариантной форме все компонентные уравнения посредством топологических уравнений сводят в единую систему. Это наибо- лее удобно осуществлять с помощью графов.
Граф представляет собой совокупность узлов (вершин) и соединяющих их ветвей (ребер). Такое же определение имеет и эквивалентная схема. Опреде- ление графа может быть записано в следующем виде: Г = (У, В, И), где
У – множество узлов; В – множество ветвей; И – инцидентор – указатель спо- соба соединения ветвей.
Ветви графа и эквивалентной схемы соответствуют компонентам матема- тической модели. Они отображают математические описания инерционных, упругих и диссипативных элементов динамической модели и источников внешних воздействий.
Узлы графа и эквивалентной схемы соответствуют узлам дискретизации непрерывных объектов в геометрическом пространстве, вводимым при перехо- де от моделей микроуровня к моделям макроуровня. При дискретизации систе- мы методом сосредоточенных масс узлы дискретизации совпадают с сосредо- точенными массами, представляемыми в динамической модели материальными точками или твердыми телами.
Состояние технической системы и характер протекающих в ней процес- сов определяются фазовыми координатами узлов дискретизации. Эти коорди-

31 наты представляют собой потоковые переменные (например, в механической системе – скорости или геометрические координаты).
Сосредоточенные массы динамической модели обладают дуальными свойствами: они отображают инерционные свойства технической системы и одновременно являются носителями информации о ее состоянии. Последнее выражается в том, что систему фазовых координат динамической модели свя- зывают непосредственно с сосредоточенными массами.
Граф и эквивалентная схема позволяют эти свойства сосредоточенных масс дифференцировать более четко: инерционные свойства отображаются вет- вями, а носители информации о состоянии технической системы – узлами.
В результате каждая сосредоточенная масса отображается узлом графа или эквивалентной схемы, а ее физические свойства – ветвью инерционного эле- мента (рис. 5.3).
Рис. 5.3. Граф механической системы
Узлы графа обозначают точками, а ветви – линиями. Узлам механической системы присваивают номера сосредоточенных масс, а ветвям дают обозначе- ния параметров отождествляемых ими элементов динамической модели или обозначения источников внешних воздействий (источник потенциалов U
B
или источник потоков I
B
).
Один из узлов графа и эквивалентной схемы отображает инерциальную систему отсчета фазовых координат типа потока. Его называют