ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.10.2023
Просмотров: 130
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
базовым узлом
(или базой) и ему присваивается нулевой номер.
Для обозначения различных ветвей эквивалентной схемы рекомендуется применять графические изображения, показанные на рис. 5.4. Ветви эквива- лентной схемы и графа, отображающие внутренние свойства технического
32 объекта, можно именовать так же, как и соответствующие им элементы дина- мической модели, т. е. инерционные, упругие и диссипативные. Поскольку эти ветви – суть компонентов математической модели в графической форме, то компоненты модели имеют те же наименования, что и ветви.
Рис. 5.4. Обозначение ветвей эквивалентной схемы: а – инерционная,
б – диссипативная, в – упругая, г – источник потенциала, д – источник потока
На эквивалентных схемах и графах применяют обозначения параметров элементов и источников внешних воздействий соответственно виду модели- руемой технической системы.
Пример. Составим графическую форму математической модели для ана- лиза колебаний кузова трактора, обусловленных неровностями дороги.
На рис. 5.5 приведена одна из возможных динамических моделей. Твер- дые тела массами т
1
и т
2
(кузов и колеса трактора) совершают поступательные движения. Фазовые переменные типа потока в механической поступательной системе – скорости
, а типа потенциала – это силы F.
Рис. 5.5. Динамическая модель колебаний кузова трактора, обусловленных неровностями дороги
33
На систему, наряду с источниками потенциалов F
B1
и F
B2
, действует ис- точник потока, описываемый функцией
*
в1
(t). Источник потока отображает кинематическое воздействие внешней среды – неровностей дороги. Характери- стикой этого источника является функция изменения скорости вертикального перемещения опорной точки
D,
определяемая выражением
]
/
)
(
)[
(
)
(
*
1
dy
y
dh
t
t
y
В
,где
y(t)
– скорость движения трактора вдоль оси у;
h(y) – функция микропрофиля поверхности дороги.
Потенциалы внешних воздействий F
B1
и F
B2
представляют собой силы тяжести, соответственно, кузова и колес трактора. Эти силы постоянны и их обычно не включают в модель при анализе малых колебаний. Однако при опре- делении усилий в упругих элементах их необходимо учитывать. Кроме того, взаимные перемещения кузова и колес трактора ограничены направляющими устройствами подвески, а величины допускаемых перемещений зависят от зна- чений усилий F
B1
и F
B2
При наличии источников потоков взаимодействие технического объекта с внешней средой осуществляется посредством упругих и (или) диссипативных элементов. В эквивалентной схеме и ориентированном графе это приводит к возникновению дополнительных узлов, определяющих соединения ветвей уп- ругих и диссипативных компонентов с ветвями источников потоков (рис. 5.6).
а б
Рис. 5.6. Механическая система: а – эквивалентная схема, б – ориентированный граф
На рис. 5.6, а построена эквивалентная схема, а на рис. 5.6, б – орграф рассматриваемой системы. Узлы 1 и 2 отображают сосредоточенные массы,
34 а узел 1* – внешнюю среду, генерирующую воздействие типа потока
*
в1
(t), передаваемое на упругий и диссипативный элементы с
2
и µ
2
колес трактора.
Узлы источников потоков имеют свою нумерацию и обозначаются звездочкой.
Таким образом, ориентированный граф позволяет идентифицировать
структуру и физические свойства моделируемой технической системы и пред-
ставляет собой ее математическую модель в графической форме. Использо- вание орграфа дает возможность формализовать процесс составления полной математической модели объекта в инвариантной форме, т. е. получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс функ- ционирования технического объекта.
Эквивалентную схемуприменяют обычно лишь при предметном моде-
лировании, когда необходимо иметь схему замещения для построения эквива- лентной динамической модели на элементах иной физической природы. При математическом моделировании технических систем ограничиваются исполь- зованием ориентированных графов.
35
ЛЕКЦИЯ 6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Теория массового обслуживаниясоставляет один из разделов теории
вероятностей. В этой теории рассматриваются вероятностные задачи и ма-
тематические модели.
Детерминированная математическая модель отражает поведение объ- екта (системы, процесса) с позиций полной определенности в настоящем и бу- дущем.
Вероятностная математическая модель учитывает влияние случайных
факторов на поведение объекта (системы, процесса) и, следовательно, оцени- вает будущее с позиций вероятности тех или иных событий.
Сначала целесообразно рассмотреть некоторые понятия, которые харак- теризуют «стохастическую неопределенность», когда неопределенные фак- торы, входящие в задачу, представляют собой случайные величины (или слу- чайные функции), вероятностные характеристики которых либо известны, либо могут быть получены из опыта. Такую неопределенность называют еще «бла-
гоприятной», «доброкачественной».
Строго говоря, случайные возмущения присущи любому процессу. Проще привести примеры случайного, чем неслучайного процесса. Даже, например, процесс хода часов (вроде бы это строгая выверенная работа – «работает как часы») подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание, останов- ка). Но до тех пор, пока эти возмущения несущественны, мало влияют на инте- ресующие нас параметры, мы можем ими пренебречь и рассматривать процесс как детерминированный, неслучайный.
Пусть имеется некоторая система S (техническое устройство, группа та- ких устройств, технологическая система – станок, участок, цех, предприятие, отрасль промышленности и т. д.). В системе S протекает случайный процесс, если она с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного со- стояния в другое), причем заранее неизвестным, случайным образом.
Пример 1. Система S – технологическая система (участок станков). Стан- ки время от времени выходят из строя и ремонтируются. Процесс, протекаю- щий в этой системе, случаен.
Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если для любого момента времени t
0
вероятностные характеристики процесса в
36 будущем зависят только от его состояния в данный момент t
0
и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.
Пусть в настоящий момент t
0
система находится в определенном состоя- нии S
0
. Мы знаем характеристики состояния системы в настоящем t
0
S
0 и все, что было при t < t
0
(предысторию процесса). Можем ли мы предугадать (пред- сказать) будущее, т. е. что будет при t > t
0
? В точности – нет, но какие-то веро- ятностные характеристики процесса в будущем найти можно. Например, веро- ятность того, что через некоторое время
система S окажется в состоянии S
1
или останется в состоянии S
0
и т. д.
На практике Марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются.
Но имеются процессы, для которых влиянием «предыстории» можно пренеб- речь. И при изучении таких процессов можно применять Марковские модели.
В исследовании операций большое значение имеют Марковские случай-
ные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.
Процесс называется процессом с дискретным состоянием, если его возможные состояния S
1
, S
2
, … S
n
можно заранее определить и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно.
Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а не- определенны, случайны и могут произойти в любой момент.
Пример 2. Технологическая система (участок) S состоит из двух станков, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отка- зать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся за- ранее неизвестное, случайное время. Возможны следующие состояния системы:
S
0
– оба станка исправны; S
1
– первый станок ремонтируется, второй исправен;
S
2
– второй станок ремонтируется, первый исправен; S
3
– оба станка ремонти- руются (рис. 6.1).
Рис. 6.1. Граф состояний системы, состоящий из двух станков
37
Переходы системы S из состояния в состояние происходят практически мгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или иного станка или окончания ремонта.
При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний (рис. 6.1). Вершины
графа – это состояния системы. Дуги графа – возможные переходы из состоя- ния в состояние.
Переход из состояния S
0
в S
3
на рисунке не обозначен, т. к. предполагает- ся, что станки выходят из строя независимо друг от друга. Вероятностью одно- временного выхода из строя обоих станков можно пренебречь.
Поток событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.
В предыдущем примере – это поток отказов и поток восстановлений.
Другие примеры: поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей в магазине и т. д.
Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени
(рис. 6.2).
Рис. 6.2. Поток событий
Положение каждой точки случайно и здесь изображена лишь какая-то од- на реализация потока.
Интенсивность потока событий (
)– это среднее число событий, при- ходящееся на единицу времени.
Рассмотрим некоторые свойства (виды) потоков событий.
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные ха- рактеристики не зависят от времени.
В частности, интенсивность
стационарного потока постоянна. Поток событий неизбежно имеет сгущения или разрежения, но они не носят законо- мерного характера, и среднее число событий, приходящееся на единицу време- ни, постоянно и от времени не зависит.
38
Поток событий называется потоком без последствий, если для любых двух непересекающихся участков времени
1
и
2
(рис. 6.2) число событий, по- падающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на дру- гой. Другими словами, это означает, что события, образующие поток, появля- ются в те или иные моменты времени независимо друг от другаи вызваны ка- ждое своими собственными причинами.
Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются
поодиночке, а не группами по несколько сразу.
Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассо-
новским), если он обладает сразу тремя свойствами:
1) стационарен;
2) ординарен;
3) не имеет последствий.
Простейший поток имеет наиболее простое математическое описание. Он играет среди потоков такую же особую роль, как и закон нормального распре- деления среди других законов распределения. А именно, при наложении доста- точно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков
(сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к про- стейшему.
Для простейшего потока с интенсивностью
интервал T между соседни- ми событиями имеет так называемое показательное (экспоненциальное) рас-
пределение с плотностью
t
e
t
f
)
(
,
(6.1) где
– параметр показательного закона.
/
1
T
T
m
(6.2)
Для случайной величины T, имеющей показательное распределение, ма- тематическое ожидание m
T
есть величина, обратная параметру, а среднее квад- ратичное отклонение
T равно математическому ожиданию.
Рассматривая Марковские процессы с дискретными состояниями и не- прерывным временем, подразумевается, что все переходы системы S из состоя- ния в состояние происходят под действием простейших потоков событий (по- токов вызовов, потоков отказов, потоков восстановлений и т. д.). Если все по- токи событий, переводящие систему S из состояния в состояние, – простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет Марковским.
39
Итак, на систему, находящуюся в состоянии S
i
, действует простейший по- ток событий. Как только появится первое событие этого потока, происходит
«перескок» системы из состояния S
i
в состояние S
j
(на графе состояний по стрелке S
i
S
j
).
Для наглядности на графе состояний системы у каждой дуги проставляют интенсивности того потока событий, который переводит систему по данной ду- ге (стрелке).
ij
– интенсивность потока событий, переводящего систему из со- стояния S
i
в S
j
. Такой граф называется размеченным. Для нашего примера раз- меченный граф приведен на рис. 6.3.
Рис. 6.3. Размеченный граф состояний системы
На этом рисунке
ij
– интенсивности потока отказов;
ij
– интенсивности потока восстановлений.
Предполагаем, что среднее время ремонта станка не зависит от того, ре- монтируется ли один станок или оба сразу, т. е. ремонтом каждого станка занят отдельный специалист.
Пусть система находится в состоянии S
0
. В состояние S
1
ее переводит по- ток отказов первого станка. Его интенсивность равна
1 01
/
1
раб
ср
T
, ед. времени
-1
,
(6.3) где Т
ср.раб.1
– среднее время безотказной работы первого станка.
Из состояния S
1
в S
0
систему переводит поток «окончаний ремонтов» пер- вого станка. Его интенсивность равна
1 10
/
1
рем
ср
T
, ед. времени
-1
,
(6.4) где Т
ср.рем.1
– среднее время ремонта первого станка.
Аналогично вычисляются интенсивности потоков событий, переводящих
40 систему по всем дугам графа. Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний системы, строится математическая модель данного процесса.
Пусть рассматриваемая система S имеет n возможных состояний
S
1
, S
2
, …, S
n
. Вероятность I-го состояния p
i
(t) – это вероятность того, что в мо- мент времени t система будет находиться в состоянии S
i
. Очевидно, что для лю- бого момента времени сумма всех вероятностей состояний равна единице
n
i
i
t
p
1 1
)
(
(6.5)
Для нахождения всех вероятностей состояний p
i
(t) как функций времени составляются и решаются уравнения Колмогорова – особого вида уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний. Правило составления этих уравнений приведем без доказательств. Но прежде чем его приводить, введѐм понятие финальной вероятности состояния.
Что будет происходить с вероятностями состояний при
t
? Будут ли
p
1
(t), p
2
(t),… стремиться к каким-либо пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальны-
ми вероятностями состояний.
n
i
p
t
p
i
i
t
,
1
,
)
(
lim
,
(6.6) где n – конечное число состояний системы.
Финальные вероятности состояний – это уже не переменные величины
(функции времени), а постоянные числа. Очевидно, что
1 1
n
i
i
p
(6.7)
Финальная вероятность состояния S
i
– это, по существу, среднее отно- сительное время пребывания системы в этом состоянии.
Например, система S имеет три состояния S
1
, S
2
и S
3
. Их финальные вероятности равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Это значит, что система в предельном стационарном состоянии в среднем 2/10 времени проводит в состоянии S
1
, 3/10 – в состоянии S
2
и 5/10 – в состоянии S
3
Правило составления системы уравнений Колмогорова: в каждом уравнении системы, в левой его части, стоит финальная вероятность данного состояния p
i
, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а в правой его части– сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.
(или базой) и ему присваивается нулевой номер.
Для обозначения различных ветвей эквивалентной схемы рекомендуется применять графические изображения, показанные на рис. 5.4. Ветви эквива- лентной схемы и графа, отображающие внутренние свойства технического
32 объекта, можно именовать так же, как и соответствующие им элементы дина- мической модели, т. е. инерционные, упругие и диссипативные. Поскольку эти ветви – суть компонентов математической модели в графической форме, то компоненты модели имеют те же наименования, что и ветви.
Рис. 5.4. Обозначение ветвей эквивалентной схемы: а – инерционная,
б – диссипативная, в – упругая, г – источник потенциала, д – источник потока
На эквивалентных схемах и графах применяют обозначения параметров элементов и источников внешних воздействий соответственно виду модели- руемой технической системы.
Пример. Составим графическую форму математической модели для ана- лиза колебаний кузова трактора, обусловленных неровностями дороги.
На рис. 5.5 приведена одна из возможных динамических моделей. Твер- дые тела массами т
1
и т
2
(кузов и колеса трактора) совершают поступательные движения. Фазовые переменные типа потока в механической поступательной системе – скорости
, а типа потенциала – это силы F.
Рис. 5.5. Динамическая модель колебаний кузова трактора, обусловленных неровностями дороги
33
На систему, наряду с источниками потенциалов F
B1
и F
B2
, действует ис- точник потока, описываемый функцией
*
в1
(t). Источник потока отображает кинематическое воздействие внешней среды – неровностей дороги. Характери- стикой этого источника является функция изменения скорости вертикального перемещения опорной точки
D,
определяемая выражением
]
/
)
(
)[
(
)
(
*
1
dy
y
dh
t
t
y
В
,где
y(t)
– скорость движения трактора вдоль оси у;
h(y) – функция микропрофиля поверхности дороги.
Потенциалы внешних воздействий F
B1
и F
B2
представляют собой силы тяжести, соответственно, кузова и колес трактора. Эти силы постоянны и их обычно не включают в модель при анализе малых колебаний. Однако при опре- делении усилий в упругих элементах их необходимо учитывать. Кроме того, взаимные перемещения кузова и колес трактора ограничены направляющими устройствами подвески, а величины допускаемых перемещений зависят от зна- чений усилий F
B1
и F
B2
При наличии источников потоков взаимодействие технического объекта с внешней средой осуществляется посредством упругих и (или) диссипативных элементов. В эквивалентной схеме и ориентированном графе это приводит к возникновению дополнительных узлов, определяющих соединения ветвей уп- ругих и диссипативных компонентов с ветвями источников потоков (рис. 5.6).
а б
Рис. 5.6. Механическая система: а – эквивалентная схема, б – ориентированный граф
На рис. 5.6, а построена эквивалентная схема, а на рис. 5.6, б – орграф рассматриваемой системы. Узлы 1 и 2 отображают сосредоточенные массы,
34 а узел 1* – внешнюю среду, генерирующую воздействие типа потока
*
в1
(t), передаваемое на упругий и диссипативный элементы с
2
и µ
2
колес трактора.
Узлы источников потоков имеют свою нумерацию и обозначаются звездочкой.
Таким образом, ориентированный граф позволяет идентифицировать
структуру и физические свойства моделируемой технической системы и пред-
ставляет собой ее математическую модель в графической форме. Использо- вание орграфа дает возможность формализовать процесс составления полной математической модели объекта в инвариантной форме, т. е. получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс функ- ционирования технического объекта.
Эквивалентную схемуприменяют обычно лишь при предметном моде-
лировании, когда необходимо иметь схему замещения для построения эквива- лентной динамической модели на элементах иной физической природы. При математическом моделировании технических систем ограничиваются исполь- зованием ориентированных графов.
35
ЛЕКЦИЯ 6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Теория массового обслуживаниясоставляет один из разделов теории
вероятностей. В этой теории рассматриваются вероятностные задачи и ма-
тематические модели.
Детерминированная математическая модель отражает поведение объ- екта (системы, процесса) с позиций полной определенности в настоящем и бу- дущем.
Вероятностная математическая модель учитывает влияние случайных
факторов на поведение объекта (системы, процесса) и, следовательно, оцени- вает будущее с позиций вероятности тех или иных событий.
Сначала целесообразно рассмотреть некоторые понятия, которые харак- теризуют «стохастическую неопределенность», когда неопределенные фак- торы, входящие в задачу, представляют собой случайные величины (или слу- чайные функции), вероятностные характеристики которых либо известны, либо могут быть получены из опыта. Такую неопределенность называют еще «бла-
гоприятной», «доброкачественной».
Строго говоря, случайные возмущения присущи любому процессу. Проще привести примеры случайного, чем неслучайного процесса. Даже, например, процесс хода часов (вроде бы это строгая выверенная работа – «работает как часы») подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание, останов- ка). Но до тех пор, пока эти возмущения несущественны, мало влияют на инте- ресующие нас параметры, мы можем ими пренебречь и рассматривать процесс как детерминированный, неслучайный.
Пусть имеется некоторая система S (техническое устройство, группа та- ких устройств, технологическая система – станок, участок, цех, предприятие, отрасль промышленности и т. д.). В системе S протекает случайный процесс, если она с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного со- стояния в другое), причем заранее неизвестным, случайным образом.
Пример 1. Система S – технологическая система (участок станков). Стан- ки время от времени выходят из строя и ремонтируются. Процесс, протекаю- щий в этой системе, случаен.
Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если для любого момента времени t
0
вероятностные характеристики процесса в
36 будущем зависят только от его состояния в данный момент t
0
и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.
Пусть в настоящий момент t
0
система находится в определенном состоя- нии S
0
. Мы знаем характеристики состояния системы в настоящем t
0
S
0 и все, что было при t < t
0
(предысторию процесса). Можем ли мы предугадать (пред- сказать) будущее, т. е. что будет при t > t
0
? В точности – нет, но какие-то веро- ятностные характеристики процесса в будущем найти можно. Например, веро- ятность того, что через некоторое время
система S окажется в состоянии S
1
или останется в состоянии S
0
и т. д.
На практике Марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются.
Но имеются процессы, для которых влиянием «предыстории» можно пренеб- речь. И при изучении таких процессов можно применять Марковские модели.
В исследовании операций большое значение имеют Марковские случай-
ные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.
Процесс называется процессом с дискретным состоянием, если его возможные состояния S
1
, S
2
, … S
n
можно заранее определить и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно.
Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а не- определенны, случайны и могут произойти в любой момент.
Пример 2. Технологическая система (участок) S состоит из двух станков, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отка- зать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся за- ранее неизвестное, случайное время. Возможны следующие состояния системы:
S
0
– оба станка исправны; S
1
– первый станок ремонтируется, второй исправен;
S
2
– второй станок ремонтируется, первый исправен; S
3
– оба станка ремонти- руются (рис. 6.1).
Рис. 6.1. Граф состояний системы, состоящий из двух станков
37
Переходы системы S из состояния в состояние происходят практически мгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или иного станка или окончания ремонта.
При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний (рис. 6.1). Вершины
графа – это состояния системы. Дуги графа – возможные переходы из состоя- ния в состояние.
Переход из состояния S
0
в S
3
на рисунке не обозначен, т. к. предполагает- ся, что станки выходят из строя независимо друг от друга. Вероятностью одно- временного выхода из строя обоих станков можно пренебречь.
Поток событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.
В предыдущем примере – это поток отказов и поток восстановлений.
Другие примеры: поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей в магазине и т. д.
Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени
(рис. 6.2).
Рис. 6.2. Поток событий
Положение каждой точки случайно и здесь изображена лишь какая-то од- на реализация потока.
Интенсивность потока событий (
)– это среднее число событий, при- ходящееся на единицу времени.
Рассмотрим некоторые свойства (виды) потоков событий.
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные ха- рактеристики не зависят от времени.
В частности, интенсивность
стационарного потока постоянна. Поток событий неизбежно имеет сгущения или разрежения, но они не носят законо- мерного характера, и среднее число событий, приходящееся на единицу време- ни, постоянно и от времени не зависит.
38
Поток событий называется потоком без последствий, если для любых двух непересекающихся участков времени
1
и
2
(рис. 6.2) число событий, по- падающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на дру- гой. Другими словами, это означает, что события, образующие поток, появля- ются в те или иные моменты времени независимо друг от другаи вызваны ка- ждое своими собственными причинами.
Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются
поодиночке, а не группами по несколько сразу.
Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассо-
новским), если он обладает сразу тремя свойствами:
1) стационарен;
2) ординарен;
3) не имеет последствий.
Простейший поток имеет наиболее простое математическое описание. Он играет среди потоков такую же особую роль, как и закон нормального распре- деления среди других законов распределения. А именно, при наложении доста- точно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков
(сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к про- стейшему.
Для простейшего потока с интенсивностью
интервал T между соседни- ми событиями имеет так называемое показательное (экспоненциальное) рас-
пределение с плотностью
t
e
t
f
)
(
,
(6.1) где
– параметр показательного закона.
/
1
T
T
m
(6.2)
Для случайной величины T, имеющей показательное распределение, ма- тематическое ожидание m
T
есть величина, обратная параметру, а среднее квад- ратичное отклонение
T равно математическому ожиданию.
Рассматривая Марковские процессы с дискретными состояниями и не- прерывным временем, подразумевается, что все переходы системы S из состоя- ния в состояние происходят под действием простейших потоков событий (по- токов вызовов, потоков отказов, потоков восстановлений и т. д.). Если все по- токи событий, переводящие систему S из состояния в состояние, – простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет Марковским.
39
Итак, на систему, находящуюся в состоянии S
i
, действует простейший по- ток событий. Как только появится первое событие этого потока, происходит
«перескок» системы из состояния S
i
в состояние S
j
(на графе состояний по стрелке S
i
S
j
).
Для наглядности на графе состояний системы у каждой дуги проставляют интенсивности того потока событий, который переводит систему по данной ду- ге (стрелке).
ij
– интенсивность потока событий, переводящего систему из со- стояния S
i
в S
j
. Такой граф называется размеченным. Для нашего примера раз- меченный граф приведен на рис. 6.3.
Рис. 6.3. Размеченный граф состояний системы
На этом рисунке
ij
– интенсивности потока отказов;
ij
– интенсивности потока восстановлений.
Предполагаем, что среднее время ремонта станка не зависит от того, ре- монтируется ли один станок или оба сразу, т. е. ремонтом каждого станка занят отдельный специалист.
Пусть система находится в состоянии S
0
. В состояние S
1
ее переводит по- ток отказов первого станка. Его интенсивность равна
1 01
/
1
раб
ср
T
, ед. времени
-1
,
(6.3) где Т
ср.раб.1
– среднее время безотказной работы первого станка.
Из состояния S
1
в S
0
систему переводит поток «окончаний ремонтов» пер- вого станка. Его интенсивность равна
1 10
/
1
рем
ср
T
, ед. времени
-1
,
(6.4) где Т
ср.рем.1
– среднее время ремонта первого станка.
Аналогично вычисляются интенсивности потоков событий, переводящих
40 систему по всем дугам графа. Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний системы, строится математическая модель данного процесса.
Пусть рассматриваемая система S имеет n возможных состояний
S
1
, S
2
, …, S
n
. Вероятность I-го состояния p
i
(t) – это вероятность того, что в мо- мент времени t система будет находиться в состоянии S
i
. Очевидно, что для лю- бого момента времени сумма всех вероятностей состояний равна единице
n
i
i
t
p
1 1
)
(
(6.5)
Для нахождения всех вероятностей состояний p
i
(t) как функций времени составляются и решаются уравнения Колмогорова – особого вида уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний. Правило составления этих уравнений приведем без доказательств. Но прежде чем его приводить, введѐм понятие финальной вероятности состояния.
Что будет происходить с вероятностями состояний при
t
? Будут ли
p
1
(t), p
2
(t),… стремиться к каким-либо пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальны-
ми вероятностями состояний.
n
i
p
t
p
i
i
t
,
1
,
)
(
lim
,
(6.6) где n – конечное число состояний системы.
Финальные вероятности состояний – это уже не переменные величины
(функции времени), а постоянные числа. Очевидно, что
1 1
n
i
i
p
(6.7)
Финальная вероятность состояния S
i
– это, по существу, среднее отно- сительное время пребывания системы в этом состоянии.
Например, система S имеет три состояния S
1
, S
2
и S
3
. Их финальные вероятности равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Это значит, что система в предельном стационарном состоянии в среднем 2/10 времени проводит в состоянии S
1
, 3/10 – в состоянии S
2
и 5/10 – в состоянии S
3
Правило составления системы уравнений Колмогорова: в каждом уравнении системы, в левой его части, стоит финальная вероятность данного состояния p
i
, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а в правой его части– сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.