Файл: Лекция 7 основы компьютерного моделирования.pdf

Свойства (виды) потоков событий
Поток событий называется
стационарным
,
если его вероятностные характеристики не зависят от времени.
Интенсивность

стационарного потока постоянна. Поток событий неизбежно имеет сгущения или разрежения, но они не носят закономерного характера,
и среднее число событий,
приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.
Поток событий называется
потоком без последствий
,
если для любых двух непересекающихся участков времени

1
и

2
(см.
рисунок) число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой → события,
образующие поток, появляются в те или иные моменты времени
независимо
друг
от друга
и вызваны каждое своими собственными причинами.

Поток событий называется
ординарным
,
если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.
Поток событий называется
простейшим
(или
стационарным
пуассоновским
),
если он обладает сразу тремя свойствами:
1)
стационарен,
2)
ординарен,
3)
не имеет последствий.
Простейший поток имеет наиболее простое математическое описание. Он играет среди потоков такую же особую роль, как и закон нормального распределения среди других законов распределения → при наложении достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к простейшему.

Для простейшего потока с интенсивностью

интервал T между соседними событиями имеет так называемое показательное
(экспоненциальное) распределение с плотностью где

- параметр показательного закона.
Для случайной величины
T,
имеющей показательное распределение, математическое ожидание m
T
есть величина,
обратная параметру, а среднее квадратичное отклонение

T
равно математическому ожиданию.
t
e
t
f




)
(


/
1


T
T
m

Задачи теории массового обслуживания
Примеры систем массового обслуживания (СМО): телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, станочные и другие технологические системы, системы управления гибких производственных систем и т.д.
Каждая СМО состоит из какого – то количества обслуживающих единиц, которые называются
каналами обслуживания
(это станки, транспортные тележки, роботы, линии связи, кассиры,
продавцы и т.д.). Всякая СМО предназначена для обслуживания какого – то потока заявок (требований), поступающих в какие –
то случайные моменты времени.

Обслуживание заявки продолжается какое-то случайное время,
после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки.
Случайный характер потока заявок и
времени обслуживания приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО
необслуженными). В другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.
Процесс работы СМО – случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Состояние СМО
меняется скачком в моменты появления каких-то событий
(прихода новой заявки, окончания обслуживания, момента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь).

Предмет
теории
массового
обслуживания
–
построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы,
характер потока заявок)
с интересующими нас характеристиками – показателями эффективности СМО. Эти показатели описывают способность СМО справляться с потоком заявок. Ими могут быть: среднее число заявок, обслуживаемых
СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов;
среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания и т.д.
Математический анализ работы СМО очень облегчается, если процесс этой работы
Марковский,
т.е.
потоки событий,
переводящие систему из состояния в состояние – простейшие.
Иначе математическое описание процесса очень усложняется и его редко удается довести до конкретных аналитических зависимостей.
На практике не
Марковские процессы с
приближением приводятся к Марковским.

Второе деление:
-
СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время обслуживания ограничено);
-
СМО с обслуживанием и приоритетом, т.е. некоторые заявки обслуживаются вне очереди и т.д.
Кроме этого СМО делятся на
открытые
СМО и
замкнутые
СМО.
В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того,
в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В
замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.

Лекция № 5 ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. ГРАФИЧЕСКАЯ ФОРМА.
В
процессе проектирования нового или модернизации существующего технического средства, в том числе и в лесном комплексе,
решаются задачи расчета параметров и
исследования рабочих процессов этого средства.
При проведении многовариантных расчетов реальный технический объект
(
физическую
модель) заменяют абстрактной моделью объекта
– чаще всего математической.
По форме представления математических моделей различают
инвариантную
,
алгоритмическую
,
аналитическую
и
графическую
модели объекта проектирования.

В
инвариантной
форме математическая модель представляется системой уравнений (дифференциальных, алгебраических) вне связи с методом решения этих уравнений.
В
алгоритмической
форме соотношения модели связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма —
последовательности вычислений.
Аналитическая модель
представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних и внешних параметров). Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений, используя табличные интегралы. К ним относятся также регрессионные модели,
получаемые на основе результатов эксперимента.
Графическая
(схемная)
модель
представляется в
виде графов,
эквивалентных схем,
динамических моделей,
функциональных,
кинематических и алгоритмических схем, диаграмм, циклограмм и т.п. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математических моделей.
Среди алгоритмических моделей выделяют
имитационные модели
,
предназначенные для имитации физических и
информационных процессов, протекающих в объекте при функционировании его под воздействием различных факторов внешней среды.

В инженерной практике часто используют
графические
формы представления математических моделей. Для использования графических форм должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической модели и компонентов инвариантной математической модели.
Граф
— основной объект изучения раздела математики - теории графов - совокупность непустого множества вершин и наборов пар вершин (связей между вершинами).
Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи —
как дуги, или рёбра. Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах.
Графы бывают
ориентированные,
неориентированные
и
смешанные. В ориентированных известны взаимосвязи между вершинами или узлами (компонентами, узлами конструкции и т.д.).

Граф
представляет структурную математическую модель
системы и отображает ее топологию, а эквивалентная схема
-
функциональную модель и отображает топологию и
компонентный состав, также как и динамическая модель. Если ввести обозначения ветвей графа, то он будет содержать ту же информацию, что и эквивалентная схема.
Компонентные уравнения элементов динамической модели представляют собой компоненты полной математической модели объекта.
Характеристики процессов функционирования объекта определяются не только его внутренними физическими свойствами, но и внешними воздействиями. Математические описания этих воздействий также являются компонентами математической модели. Воздействия представляют собой источники потенциалов U
B
= f
1
(I, t)
и источники потоков J
B
= f
2
(U,
t).
При построении полной математической модели в инвариантной форме все компонентные уравнения посредством топологических уравнений сводят в
единую систему.
Это наиболее удобно осуществлять с помощью графов.
Граф представляет собой совокупность узлов (вершин) и
соединяющих их ветвей (ребер). Такое же определение имеет и эквивалентная схема. Определение графа может быть записано в следующем виде: Г = (У, В, И), где У — множество узлов; В —
множество ветвей; И — инцидентор — указатель способа соединения ветвей.

Ветви
графа
и
эквивалентной
схемы
соответствуют
компонентам
математической
модели.
Они отображают математические описания инерционых, упругих и диссипативных элементов динамической модели и
источников внешних воздействий.
Узлы графа и эквивалентной схемы соответствуют узлам
дискретизации непрерывных объектов в геометрическом
пространстве,
вводимым
при
переходе
от
моделей
микроуровня к моделям макроуровня. При дискретизации системы методом сосредоточенных масс узлы дискретизации совпадают с сосредоточенными массами, представляемыми в динамической модели материальными точками или твердыми телами.
Состояние технической системы и характер протекающих в ней процессов определяются фазовыми координатами узлов дискретизации. Эти координаты представляют собой потоковые переменные (например, в механической системе — скорости или геометрические координаты).
Сосредоточенные массы динамической модели обладают дуальными свойствами: они отображают инерционные свойства технической системы и одновременно являются носителями информации о ее состоянии. Последнее выражается в том, что систему фазовых координат динамической модели связывают непосредственно с сосредоточенными массами.

Граф и
эквивалентная схема позволяют эти свойства сосредоточенных масс дифференцировать более четко:
инерционные свойства отображаются ветвями, а носители информации о состоянии технической системы — узлами. В
результате каждая сосредоточенная масса отображается узлом графа или эквивалентной схемы, а ее физические свойства —
ветвью инерционного элемента.
Узлы графа обозначают точками, а ветви - линиями. Узлам механической системы присваивают номера сосредоточенных масс, а ветвям дают обозначения параметров отождествляемых ими элементов динамической модели или обозначения источников- внешних воздействий (источник потен- циалов U
B
или источник потоков I
В
).
Один из узлов графа и эквивалентной схемы отображает инерциальную систему отсчета фазовых координат типа потока. Его называют
базовым узлом (или базой) и ему присваивается нулевой номер.

Для обозначения различных ветвей эквивалентной схемы рекомендуется применять графические изображения,
показанные на рисунке. Ветви эквивалентной схемы и графа,
отображающие внутренние свойства технического объекта,
можно именовать так же, как и соответствующие им элементы динамической модели,
т.е.
инерционные,
упругие и
диссипативные. Поскольку эти ветви - суть компонентов математической модели в графической форме, то компоненты модели имеют те же наименования, что и ветви.
На эквивалентных схемах и графах применяют обозначения параметров элементов и источников внешних воздействий соответственно виду моделируемой технической системы.