Файл: Mathematica для математиков. Часть Реализация основных понятий математического анализа.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.10.2023
Просмотров: 278
Скачиваний: 7
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
19
Перемещая ползунок, вы будете менять точку кривой и, соответственно будут перерисовываться вектор касательной и нормали, а в заголовке графика будут отображаться текущие значения
0 0
, y
x
координат точки.
□
Единичный касательный вектор к пространственной кривой, заданной параметрически
t
z
t
y
t
x
t
,
,
r
, в точке
0
t
t
равен
0 0
'
'
,
,
t
t
T
T
T
z
y
x
r
r
T
Единичный вектор главной нормали равен
0 0
''
''
,
,
t
t
N
N
N
z
y
x
r
r
N
Единичный вектор бинормали равен
N
T
B
,
,
,
z
y
x
B
B
B
. Тогда векторные уравнения касательной, главной нормали и бинормали будут иметь вид:
t
t
t
T
r
r
t
0
,
t
t
t
n
N
r
r
0
,
t
t
t
b
B
r
r
0
Пример. Репер Френе.
????????????????????????????????????????????????????[{???? = ????, ???? = ????, ???? = ????, ???????????????? = ????????, ???????? = ????. ????,
????????, ????, ????????, ????????, ????????, ????????, ????????, ????????, ????????, ????????, ????????},
???? ????_ = ???????????????? ???? , ???????????????? ???? ,
????
????
;(* радиус-вектор *)
???????? ????_ = ???????????????????????????????????? ????
′
???? ;(* единичный вектор касательной *)
???????? ????_ = ???????????????????????????????????? ????
′′
???? ;(* единичный вектор главной нормали *)
???????? ????_ = ???????????????????????????????? ???????????????????? ???????? ???? , ???????? ???? ;(* единичный вектор бинормали *)
???????? ????_, ????????_ = ???? ???????? + ???????? ???????? ????;(* уравнение касательной *)
???????? ????_, ????????_ = ???? ???????? + ???????? ???????? ????;(* уравнение главной нормали *)
???????? ????_, ????????_ = ???? ???????? + ???????? ???????? ????;(* уравнение бинормали *)
????????????????????????????????????????[
???????? = ???????????????????????????????????????????????????????????????? ???? ???? , ????, ????, ???????????????? ;
???????? = ???????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? ????. ???????? , ???????????????????? ???? ???????? ;
???????? = ????????????????????????????????????????[{
????????????????, ???????????????????? ???? ???????? , ???????? ????, ???????? ,
????????????, ???????????????????? ???? ???????? , ???????? ????, ???????? ,
{????????????????????, ????????????????????[{????[????????], ????????[????, ????????]}]}}];
????????????????[????????, ????????, ????????, ???????????????????????????????????? → {????????, ????????, ????????????????/????},
???????????????????????????????????? → {{−???? − ????????, ???? + ????????}, {−???? − ????????, ???? + ????????}, {????, ????. ????}}],
{{????????, ????}, ????, ????????????????}]]
20
Перемещая ползунок, вы будете менять точку кривой и соответственно будут перерисовываться вектора репера Френе.
Обратите внимание, что в приведенном коде вектор – функции
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 19
r[t], tr[t] и другие являются списками из трех скалярных функций. Функция Normalize преобразует вектор в вектор единичной длины.
□
Для поверхности, заданной неявным уравнением
0
,
,
z
y
x
F
, уравнение касательной плоскости в точке
0 0
0
,
,
z
y
x
имеет вид
0
,
,
'
,
,
'
,
,
'
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
z
z
z
y
x
F
y
y
z
y
x
F
x
x
z
y
x
F
z
y
x
Уравнение нормали к поверхности в этой точке
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
,
,
'
,
,
'
,
,
'
z
y
x
F
z
z
z
y
x
F
y
y
z
y
x
F
x
x
z
y
x
Пример. Касательная плоскость и вектор нормали к эллиптическому параболоиду
???????????? =. ; ???? = ????; ???? = ????;
???????????? ????_, ????_, ????_ =
????
????
????
????
+
????
????
????
????
+ ???? − ????????;
???????? = ????????; ???????? = ????; ???????? = ???????? −
????????
????
????
????
−
????????
????
????
????
;
???????? = ???????????????????????????????????????? ????, ????, ???? ???????????? ????????, ????????, ???????? ;
???????? = ???????????????????????????????????????? ????, ????, ???? ???????????? ????????, ????????, ???????? ;
???????? = ???????????????????????????????????????? ????, ????, ???? ???????????? ????????, ????????, ???????? ;
???????????? = ???????? ???? − ???????? + ???????? ???? − ???????? + ???????? ???? − ???????? ;
???? ????_ = ????????, ????????, ???????? + ???? ????????, ????????, ???????? ;
???????? = ???????????????????????????????????????? ????????????????, ???????????????????????????????????? ????. ???????? , ???????????????????? ???? ???? , ???? ???????? ;
???????? = ????????????????????????????????????????????????????[????????????[????, ????, ????] == ????,
{????, −????????, ????????}, {????, −????????, ????????}, {????, −????, ????????}, ???????????????? → ????????????????];
???????? = ????????????????????????????????????????????????????[???????????? == ????,
{????, −????????, ????????}, {????, −????????, ????????}, {????, −????, ????????}, ???????????????? → ????????????????];
???????? = ???????????????????????????????????????? ????????????, ???????????????????????? ????????, ????????, ???????? , ???? ;
????????????????[????????, ????????, ????????, ????????, ???????????????????????????????????? → ????????????, ???????????????????????????????????? → {????????, ????????, ????????}]
21
□
Можно построить касательные плоскости и нормали к поверхностям, заданным явно
y
x
f
z
,
или заданным параметрически
v
u
x
x
,
,
v
u
y
y
,
,
z
u
z
z
,
Предоставляем читателю возможность самостоятельно рассмотреть эти примеры.
3.3
Интегр
иро
вание
3
.3.1 Символьное вычисление интегралов
Для вычисления неопределенного интеграла
x
d
x
f
используется функция
Integrate[f,x].
????????????????????????????????????[????????????[????]
????
, ????]
????
2
+
1 4
Sin[2????]
Обратите внимание, что константа интегрирования не добавляется.
Вместо имени функции можно использовать классическое обозначение ∫.
∫ ????
????
ⅆ????
????
3 3
Трафарет ввода знака интеграла можно найти на панели специальных символов
«Basic Math Input». Можно использовать также специальные комбинации клавиш. Для ввода «крючка» интеграла наберите Esc–int–Esc, затем введите подынтегральное выражение, затем специальный значок дифференциала Esc–
dd–Esc и имя переменной интегрирования.
∫ ????????????????[???? + ????????????????[????]] ⅆ????
1 12
???? + ????(−3 + 2 ???? + 8????) +
1 8
Log[1 + 2 ???? + 2 ???? + ????]
Можно интегрировать выражения, содержащие более чем одну переменную; другие переменные будут трактоваться, как константы
∫ ???? ????
????
ⅆ????
???? ????
3 3
Можно вычислять интеграл от интеграла
????????????????????????????????????[????
????
????
????
, ????, ????]
????
3
????
4 12
22 или по – другому
∫ ∫ ????
????
????
????
ⅆ???? ⅆ????
????
3
????
4 12
Mathematica умеет интегрировать рациональные, тригонометрические и много других функций
????
????
????
????
+ ????????
????
+ ????????
ⅆ????
2???? −
3????
2 2
+
????
3 3
−
73ArcTan[
3 + 2????
19
]
19
+
15 2
Log[7 + 3???? + ????
2
]
Она «знает» много интегралов, которые могут быть определены в терминах специальных функций
∫ ????????????[−????
????
] ⅆ????
1 2
????Erf[????]
????????????[????
????
]
????
????
ⅆ????
−
Cos[????
2
]
4????
2
−
Sin[????
2
]
4????
4
−
SinIntegral[????
2
]
4
Mathematica умеет интегрировать кусочные функции
????????????????[{{
???????? = ???????????????????????????????????? ???????????? ????, ???? − ???? , ???? ,
????????????????[{????????????[????, ???? − ????], ????????}, {????, −????, ????},
???????????????????????????????????? → ????????????????????, ???????????????????????????????????? ????. ???????? ,
???????????????????????????????????? → ????????????????????????????????????]}}]
????????????????[{{
???? ????_ = ???????????????????????????????????? − ???? + ????
????
, ???? < −???? , ????, ???? < 0 , ????
????
, ???? < 1 , ???????? − ???? ,
????????????????[????[????], {????, −????, ????}]}}]
????????????????[{{
???? = ∫ ???? ???? ⅆ????,
????????????????[????, {????, −????. ????, ????. ????}, ???????????????????????????????????? → {{−????. ????, ????. ????}, {????, ????. ????}}]}}]
23
Проверить правильность вычисления интегралов можно дифференцированием
???????? = ∫ ∫
????
????
????
+ ????
ⅆ???? ⅆ????
1 2
(????ArcTan[
????
2
] − Log[4 + ????
2
])
????????????????????????????????????????????????[????[????????, {????, ????}]]
1 4 + ????
2
Напомним, что неопределенный интеграл от функции можно вычислить, используя функцию Derivative.
????????????????????????????????????????[−????]
#
????
#
????
+ ????
& [????]
1 3
Log[1 + ????
3
]
Когда Mathematica не может взять интеграл, она возвращает команду обратно
????????????????????????????????????
????
???? + ????????????[????]
, ????
1
???? + Cos[????]
ⅆ????
Иногда для вычисления неопределенного интеграла следует учитывать условия, накладываемые на независимую переменную, поскольку без дополнительных условий интеграл не вычисляется. Например, условия важны при интегрировании кусочных функций
????????????????????????????????????[????????????[????], ????]
∫ Abs[????] ⅆ????
????????????????????????????????????[????????????[????], ????, ????????????????????????????????????????????−> ???? ∈ ????????????????????]
Заметим, что разные формы одного и того же неопределенного интеграла могут давать ответы, отличающиеся константой. Например
???????? = ????????????????????????????????????[???? + (???? + ????)^????, ????]
???? +
1 4
(1 + ????)
4
???????? = ????????????????????????????????????[????????????????????????[???? + (???? + ????)^????], ????]
2???? +
3????
2 2
+ ????
3
+
????
4 4
24
????????????????????????????????[???????? − ????????]
1 4
Для вычисления определенного интеграла используется второй аргумент в виде списка Integrate[f,{x,x min
,x max
}]
. Следующая команда интегрирует x
2
от 0 до 1.
????????????????????????????????????[????
????
, {????, ????, ????}]
1 3
или
????
????
ⅆ????
????
????
Трафарет ввода определенного интеграла можно найти на панели специальных символов «Basic Math Input». Можно также использовать специальные комбинации клавиш. Для ввода «крючка» интеграла наберите Esc–int–Esc.
Потом надо ввести подстрочный и надстрочный индексы у значка интеграла ∫.
Для этого введите Ctrl-_ (подчеркивание), затем Ctrl-% (или Ctrl-^, затем Ctrl-%). Введите значения нижнего и верхнего пределов интегрирования. Ctrl–пробел возвращает курсор на нормальный уровень ввода, где введите подынтегральное выражение, затем введите специальный значок дифференциала Esc–dd–Esc и имя переменной интегрирования.
Следующий код поясняет геометрический смысл определенного интеграла
b
a
x
d
x
f
как площади под кривой
x
f
y
на участке от a до b.
????????????????????????????????????????[
???????? = ???????????????? ???????????? ????????
????
, ????, ????, ???? , ???????????????????????????????????? → ????, ???? , ????, ???? ;
???????? = ????????????????[???????????? ????????
????
, {????, ????, ????}, ???????????????????????????? → ????????????????, ???????????????????????????????????? → ????????????,
???????????????????????????????????? → {{????, ????}, {????, ????}}];
???? = ???????????????????????????????????? ???????????? ????????
????
, ????, ????, ???? ;
???????????????? ????????, ????????, ???????????????????????????????????? → ???? ,
{{????, ????}, ????, ????}, {{????, ????}, ????. ????, ????}]
Перемещая бегунки, связанные с параметрами a и b, вы можете наблюдать за областью, площадь которой вычисляется и отображается в заголовке.
25
Если под интегралом присутствует параметр, то результат будет от него зависеть и в ответе может присутствовать условие
????
????
ⅆ????
????
????
ConditionalExpression[
1 1 + ????
, Re[????] > −1]
Здесь ConditionalExpression[expr,cond] является символической конструкцией, которая представляет выражение expr только, если условие cond истинно. Вы можете использовать ConditionalExpression как функцию. Например,
???? ????_ = ????
????
ⅆ????
????
????
;
y[5]
1 6
При вычислении определенного интеграла условие можно учитывать сразу. Для этого используется опция Assumptions или функция Assuming.
????????????????????????????????????[????^????, {????, ????, ????}, ????????????????????????????????????????????−> ???? > 0]
1 1 + ????
или
????????????????????????????????[???? > 0, ????????????????????????????????????[????^????, {????, ????, ????}]]
1 1 + ????
У функции
Assuming два аргумента: первый
– список предположений/условий, второй – обрабатываемое выражение.
Можно отключить «условный» вывод результата с помощью опции
GenerateConditions
False.
????????????????????????????????????[????
????
, {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? → ????????????????????]
1 1 + ????
Mathematica может вычислять несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
????
???? + ????
????
ⅆ????
∞
????
????
2 2
????????????????????????????????????[????????????[−????????
????
], {????, −∞, ∞}, ???????????????????????????????????????????? → ????????[????] > 0]
????
????
При разных условиях/предположениях интеграл может принимать разные значения
26
????????????????????[
????????????????????????????????????
???????????? ???? ???? − ???????????? ????????
????
????
, ????, ????, ∞ , ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???????? ,
{????????, {???? > 1, −???? < ???? < 1, ???? < −????}}]
{
1 2
(−1 + ????)????, 0, −
1 2
(1 + ????)????}
Можно вычислять несобственные интегралы на конечных отрезках.
????????????????????????????????????[
????
????
, {????, ????, ????}]
2
Можно вычислять главное значение определенного интеграла, используя опцию PrincipalValue->True. Например, следующий интеграл не существует
????????????????????????????????????[????/????, {????, −????, ????}]
Integrate::idiv: Integral of 1/x does not converge on {-1,3}.
1
????
ⅆ????
3
−1
Но существует его главное значение.
????????????????????????????????????[????/????, {????, −????, ????}, ????????????????????????????????????????????????????????−> ????????????????]
Log[3]
Аналогично у следующего интеграла существует только главное значение
????????????????????????????????????[
????
????????????????[???????? + ????]
, {????, −????, ????}, ???????????????????????????????????????????????????????? → ????????????????]
ArcTanh[
ⅇ
1 + ⅇ
2
]
Вы можете пожелать строить графики неопределенных интегралов или определенных с переменными пределами интегрирования. Но при этом следует учитывать некоторые особенности. Например, следующая команда не работает
????????????????[????????????????????????????????????[????????????[????], ????], {????, −????, ????}]
потому, что функция Plot имеет атрибут HoldAll.
????????????????????????????????????????[????????????????]
{HoldAll, Protected, ReadProtected}
Он означает, что аргументы функции Plot не вычисляются символьно при выполнении команды. Чтобы вычислить выражения, предаваемые в качестве аргументов такой функции, следует использовать функцию Evaluate.
????????????????[????????????????????????????????[????????????????????????????????????[????????????[????], ????]], {????, −????, ????}]