Файл: Mathematica для математиков. Часть Реализация основных понятий математического анализа.pdf

176
Пример. Стационарное распределение температуры внутри бесконечного
кругового цилиндра. Температура на поверхности кусочно постоянна.
Пусть на поверхности бесконечного кругового цилиндра радиуса R поддерживается следующая температура:
T
u

при




0
;
0

u
при



2


; (для любых z и t). Внутри цилиндра температура установилась и ее требуется найти. Задача сводится к решению двумерного уравнения Лапласа
0


u
с граничным условием


 
















2
,
0 0
,
,
T
f
R
u
. Решение дается интегралом Пуассона (2). Подставляя в него
 
0


f
при



2


и T при




0
, получим













0 2
2 2
2 2
2
)
sin cos
(
2 1
2
)
,
(
d
y
x
y
x
R
R
y
x
R
T
y
x
u
Обратите внимание на замену






sin cos cos
y
x
r



, которую мы сделали в интеграле. Имеем
???? = ????; ???? = ????;
???? ????_, ????_ ≔ ????
????
????
− ????
????
− ????
????
????????
∗
????????????????????????????????????????[(
????
????
????
− ???????? ???????????????? ???? + ???????????????? ???? + ????
????
+ ????
????
),
{????, ????, ????}, ???????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????];
????[????_, ????_]: = ????????[????
????
+ ????
????
< ????
????
, ????[????, ????], ????];
????????????????????????[????[????, ????], {????, −????, ????}, {????, −????, ????}, ???????????????????????????????????? → {????, ????},
???????????????????????????????????????? → ????????, ???????????????? → ????????,
???????????????????????????????????????????????????????? → ????????????????????????????????[{????, ????, ????}, ????
????
+ ????
????
< ????
????
]]
Если покрутить график, то вы заметите «рябь» у контура круга (рисунок в середине). Это вызвано тем, что интеграл Пуассона дает решение краевой задачи внутри круга, а граничное значение
 

f
он только приближает.
Использовать его для вычисления значения функции
 

,
r
u
на границе нельзя.
В точках границы погрешность численного интегрирования вызывает «рябь».
Даже если граничная функция
 

f
будет непрерывной, то «рябь» остается.
Пусть, например, граничное значение имеет вид
 















2
,
0 0
,
sin
f
. Тогда для построения графика решения в предыдущем коде надо изменить строку, определяющую функцию
 
y
x
u ,

177
????[????_, ????_] ≔
????
????
− ????
????
− ????
????
????????
????????????????????????????????????????[
???????????? ????
????
????
− ???????? ???????????????? ???? + ???????????????? ???? + ????
????
+ ????
????
, ????, ????, ???? ,
???????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????];
График решения показан на предыдущем рисунке справа..
□
Пример.
Тонкая
мембрана
натянута
на
проволочный
каркас,
проектирующийся на плоскость Oxy в окружность радиуса R с центром в начале координат. Уравнение контура мембраны в цилиндрических координатах имеет вид:


 







2 0
2
cos
,




h
f
R
u
. Известно, что форма поверхности
 
y
x
u
z
,

, по которой расположится пленка, удовлетворяет уравнению Лапласа и граничному условию


 


f
R
u

,
. Найдем эту форму, используя интеграл Пуассона (2). Прежде, чем вычислять интеграл, сделаем в нем замену
t




и учтем периодичность подынтегральной функции (не нужно менять пределы интегрирования). Имеем
???? =. ; ???? =. ;
????[????_, ????_] = ????????????????????????????????[????
????
????
− ????
????
????????
????????????????????????????????????[
???????????? ???????? + ????????
????
????
− ???????????????????????? ???? + ????
????
, {????, ????, ????????},
???????????????????????????????????????????? ⧴ (???? < ???? < ???? && ???? ∈ ???????????????????? && ???? > 0)]]
???? ????
2
Cos[2????]
????
2
???? = ????; ???? = ????. ????;
????????????????????????????????????????????????????????????????[????[????, ????], {????, ????, ????}, {????, ????, ????????}, ???????????????? → {????????, ????????, ????},
???????????????????????????????????? → ????????????, ???????????????????????????????????? → {????????, ????????, ????????}](* след. рисунок слева *)
Делая замену

cos
r
x

,

sin
r
y

, переходим к представлению формы мембраны в декартовых координатах.
????[????_, ????_] = ????
????
????
− ????
????
????
????
;
????????????????????????????????????????????????[???? < ???? ????, ???? && ????
????
+ ????
????
< ????
????
,
????, −????, ???? , ????, −????, ???? , ????, −????, ???? , ???????????????????????????????????? → ????????????, ???????????????????????????????????????? → ????????,
???????????????? → {????????, ????????, ????}, ???????????????????????????????????? → {????????, ????????, ????????}](* пред. рисунок справа *)

178
Литература.
1. Очан Ю.С. Методы математической физики.
2. Н.С. Кошляков, Э.Б.Глинер, М.М.Смирнов Основные дифференциальные уравнения математической физики. ГИФМЛ.М. 1962, 767с.
3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.:
Наука, 1977. – 736с.
4. Э.Т.Уиттекер, Дж.Н.Ватсон Курс современного анализа. Ч.2. ГИФМЛ. М.
1963г. 515с.
5. В.М. Бабич, М.Б. Капилевич, С.Г. Михлин и др. Под. ред. С.Г. Михлина.
Справочная математическая библиотека. Линейные уравнения математической физики. – М.: Наука, 1964. – 368 с.
6. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 576с.
7. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. – М.: Наука, 1964.– 487 с.
8. Доля П.Г. Периодическое продолжение функций и решение уравнения колебаний струны в системах символьной математики.// Вестник Харьк. нац. ун-та., - 2006.- № 733. Сер. ”Математическое моделирование.
9. Dolya P.G. Solution of the initial value problem for the inhomogeneous equation of vibrations of a finite string with homogeneous boundary conditions // Kharkiv:
Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of NASU. Lapunov memorial conference., Book of abstracts, – p. 38-39, 2007