Файл: Mathematica для математиков. Часть Реализация основных понятий математического анализа.pdf

170
 
 


 









t
L
t
a
x
stc
L
t
a
x
stc
d
f
d
a
t
x
u
0 2
,
2
,
,
2 1
)
,
(








0
,






t
x
(8)
Рассмотрим несколько примеров применения этой формулы.

Пример. Конечная струна, закрепленная на концах. Начальное смещение и
скорость 0. Внешнее усилие постоянно.
Струна находится в состоянии равновесия и в нулевой момент времени к ней прикладывается единичная сила, т.е.
 
 
 
1
,
,
0
,
0



t
x
f
x
x


Начинается колебательный процесс. Решение может быть представлено по формуле (8). Внутренний интеграл вычисляется тривиально и задача сводится к однократному интегралу. Первообразную функции stc можно представить в символьном виде. Однако Mathematica это не умеет делать. Поэтому мы будем использовать численное интегрирование.
???? = ????; ???? = ????;
????[????_, ????_] ≔
????
????????
????????????????????????????????????????[????????????[???? + ????(???? − ????), ????????] − ????????????[???? − ????(???? − ????), ????????],
{????, ????, ????}, ???????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????]
Численное интегрирование кусочных функций выполняется довольно долго.
Для ускорения работы мы вычислим значения функции
 
t
x
u , в дискретном наборе точек и построим график решения в виде ломаной с небольшим шагом между точками по оси x. Графики решения в моменты времени
0 1
,
8 0
,
7 0
,
6 0
,
5 0
,
4 0
,
3 0
,
2 0
,
0

t
показаны на следующем рисунке слева.
???? = ????????????????[{????}, ????????????????????[????. ????, ????. ????, ????. ????], {????}];
???? = ????????????????????[{????, ????[????, ????]}, {????, ????}, {????, ????, ????, ????. ????????}];
????????????????????????????????????????????????[????, ???????????????????????????????????? → {????????????????????????????????????[????. ????????]}, ???????????????????????????????????????????? → ????]
Для построения анимации добавим следующий код.
???? = ????????????????????[????, ????, ????. ????????];
???? = ????????????????????[{????, ????[????, ????]}, {????, ????}, {????, ????, ????, ????. ????????}];
???????? = ????????????????????[????????????????????????????????????????????????[????[[????]], ???????????????????????????????????? → {????. , ????. ????},
???????????????????????????????????? → {????????????????????, ????????????????????????????????????[????. ????????????]}, ???????????????????????????????????? → ????[[????]]],
{????, ????????????????????????[????] − ????}];
????????????????????????????????????????????[????????, ???????????????????????????????????????????????????????????????? → ????????????????????]
Один из кадров анимации показан на предыдущем рисунке справа.
□
Пример. Конечная струна, закрепленная на концах. Начальное смещение и
скорость 0. Внешнее усилие не зависит от времени и имеет форму ступеньки.
Струна длинной L=5 находится в состоянии равновесия
 
 
0
,
0


x
x


и в нулевой момент времени к ней прикладывается ступенчатая сила

171
 
0 4
3
,
0 4
3
,
1
,











t
x
x
x
t
x
f
. Начинается колебательный процесс. Решение строим по формуле (8), используя численное интегрирование.
????????????????????[????, ????];???? = ????; ???? = ????;
????????????[????_, ????_] = ????????????[???? − ????????????????????????[????/???? + ????/????]];
????[????_] = ????????????????????????????[???? − ????. ????];
????????????????[????[????], {????, ????, ????}](* график внешнего усилия *)
????[????_, ????_] = ????????????????????????????????????[????[????], {????, ????, ????},
???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? >= 0 && ???? >= 0 && ???? < ????]
????[????_, ????_, ????_] = ????[????????????[???? − ????(???? − ????), ????????], ????????????[???? + ????(???? − ????), ????????]];
????[????_, ????_] ≔
????
????????
????????????????????????????????????????[????[????, ????, ????], {????, ????, ????},
???????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????];
???????? = ????????????????????[????. ????, ????. ????, ????. ????];
???????? = ????????????????????[{????, ????[????, ????]}, {????, ????????}, {????, ????, ????, ????. ????}];
????????????????????????????????????????????????[????????, ???????????????????????????????????? → {????????????????????????????????????[????. ????????]},
???????????????????????????????????????????? → ????????, ???????????????????????????????????? → {????, ????. ????????}] (* левый график на след. рис. *)
???????? = ????????????????????[????. ????, ????, ????. ????];
???????? = ????????????????????[{????, ????[????, ????]}, {????, ????????}, {????, ????, ????, ????. ????}];
????????????????????????????????????????????????[????????, ???????????????????????????????????? → {????????????????????????????????????[????. ????????]},
???????????????????????????????????????????? → ????????](* правый график на предыдущем рисунке *)
На левом графике показаны профили струны в начальные моменты времени
t = 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9; на правом – в моменты времени t = 0.5, 1.0,
1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0, 4.5, 5.0.
□
3.8.4
Примеры решения краевых задач для уравнение Лапласа
Много прикладных задач сводится к решению уравнения Лапласа
0


u
. Для однозначного определения решения к уравнению следует добавить граничные условия и условия убывания на бесконечности, если область неограничена. К уравнению Лапласа приводятся задачи исследования движения идеальной жидкости, электростатики, задачи стационарной теплопроводности, статического прогиба мембран и многие другие. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа называются гармоническими.

172
Решение уравнения Лапласа является сложной задачей и явных формульных решений известно очень мало. Здесь мы рассмотрим несколько примеров для которых решение уравнения Лапласа можно представить в интегральной форме.
Гармоническая функция в верхней полуплоскости определяется по формуле











d
y
x
y
u
y
x
u
2 2
)
(
)
(
1
)
,
(
,
(1) где u(

) граничное значение функции. Если это граничное значение финитное
(имеет конечный носитель – интервал на котором функция отлична от нуля), то интеграл можно вычислять по этому интервалу. Формулу (1) нельзя использовать при значении y=0, т.е. на границе области.
Пример. Гармоническая функция в верхней полуплоскости. Граничное значение
в форме треугольника.
????[????_] = ????????????????????????????????????[{{????, ???? < 0}, {????, ???? < 1}, {???? − ????, ???? < 2}}, ????];
????????????????[????[????], {????, −????, ????}] (* следующий рисунок a *)
????[????_, ????_] ≔
????
????
(????????????????????????????????????????[
????????
???? − ????
????
+ ????
????
, {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????????????????????????????????? → ????] +
????????????????????????????????????????[
(???? − ????)????
(???? − ????)
????
+ ????
????
, {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????????????????????????????????? → ????]);
????????????????????????[????[????, ????], {????, −????, ????}, {????, ????. ????????, ????}, ???????????????????????????????????? → ????????????, ???????????????????????????????????????? → ????????]
????????????????????????????????????????????[????[????, ????], {????, −????, ????}, {????, ????. ????????, ????}, ???????????????????????????????????????????????? → ????????????????????,
???????????????????????????????????????? → ????????, ???????????????????????????????? → ????????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????????????????????????????????????]
a) граничная функция
 

u
; b) график/поверхность функции
 
y
x
u ,
;
c) контурный график функции
 
y
x
u ,
□
Пример. Гармоническая функция в верхней полуплоскости. Граничное значение
в форме одной волны синусоиды.
????[????_] = ????????????????????????????????????[{{????, ???? < 0}, {????????????[????????], ???? < 2}}, ????];
????????????????[????[????], {????, −????, ????}]
????[????_, ????_] ≔
????
????
????????????????????????????????????????[
???? ???? ????
???? − ????
????
+ ????
????
, {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????????????????? → ????????????,
???????????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????????????????????????????? → ????, ????????????????????????−> "????????????????????????????????????????????????????????????"]
Поскольку численное интегрирование нашей функции выполняется довольно долго, то для ускорения работы мы вычислим значения функции
 
y
x
u ,
в дискретном наборе точек, который мы выбираем, а не в наборе точек, который

173 выбирают сами графические функции. Для построения графиков решения по дискретному набору точек в пакете Mathematica имеются подходящие функции.
???? = ????????????????????[−????, ????, ????. ????????];
???? = ????????????????[{????. ????????}, ????????????????????[????. ????????, ????, ????. ????????]];
???? = ????????????????????????????[????????????????????[{????, ????, ????[????, ????]}, {????, ????}, {????, ????}], ????];
????????????????????????????????????????????????????????????[????, ???????????????????????????????? → ????????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????????????,
???????????????????????????????????? → ????????????, ???????????????????????????????????????????? → ????????????????????????????????????, ???????????????????????????????????????????? → ????????????????????????????????????]
????????????????????????????????????????[????, ???????????????????????????????????? → ????????????, ???????????????????????????????????? → {????, ????, ????}, ???????????????? → {????????, ????????, ????}]
a) граничная функция
 
0
,
x
u
; b) контурный график функции
 
y
x
u ,
;
c) график/поверхность функции
 
y
x
u ,
□
Используя метод продолжения, можно получить решение уравнения Лапласа в первом квадранте (в области
0
,
0


y
x
). Пусть граничные значения в 1-ом квадранте имеют вид
0
),
(
)
0
,
(


x
x
x
u

,
0
),
(
)
,
0
(


y
y
y
u

. Решение уравнения Лапласа в 1-ом квадранте имеет вид


















0 2
2 2
2 2
2 2
2
)
)
)((
)
((
)
(
)
)
)((
)
((
)
(
4
)
,
(












d
x
y
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
u
Пример. Гармоническая функция в первом квадранте. Граничное значение в
форме прямоугольных столбиков на обеих полуосях X и Y.
????[????_] = ????????????????????????????????????[{{????, ???? < 0}, {????, ???? < 1}}, ????];
????????????????[????[????], {????, −????, ????}]
????[????_, ????_] ≔
????????????
????
(????????????????????????????????????????[
???? ???? ????
???? − ????
????
+ ????
????
???? + ????
????
+ ????
????
,
????, ????, ???? , ???????????????????????????????????????????????? → ????????, ???????????????????????????????????????????????? → ????,
???????????????????????????????????????????????????? → ????] +
????????????????????????????????????????[
???? ???? ????
???? − ????
????
+ ????
????
???? + ????
????
+ ????
????
, {????, ????, ????},
???????????????????????????????????????????????? → ????????, ???????????????????????????????????????????????? → ????,
???????????????????????????????????????????????????? → ????])
????????????????????????[????[????, ????], {????, ????. ????????, ????}, {????, ????. ????????, ????}, ???????????????????????????????????? → ????????????, ???????????????????????????????????????? → ????????]
????????????????????????????????????????????[????[????, ????], {????, ????. ????????, ????}, {????, ????. ????????, ????}, ???????????????????????????????????????????????? → ????????????????????,
???????????????????????????????????????? → ????????, ???????????????????????????????? → ????????]

174
a) граничная функция
   


,
0 0
,
u
u

; b) график/поверхность функции
 
y
x
u ,
;
c) контурный график функции
 
y
x
u ,
□
Пример. Гармоническая функция в первом квадранте. Граничное значение в
форме треугольников на обеих полуосях X и Y.
????[????_] = ????????????????????????????????????[{{????, ???? < 0}, {????, ???? < 1}, {???? − ????, ???? < 2}}, ????];
????????????????[????[????], {????, −????, ????}]
????[????_, ????_] ≔
????????????
????
(????????????????????????????????????????[
???????? ????
???? − ????
????
+ ????
????
???? + ????
????
+ ????
????
,
????, ????, ???? , ???????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????,
???????????????????????????????????????????????? → ????????] +
????????????????????????????????????????[
???????? ????
???? − ????
????
+ ????
????
???? + ????
????
+ ????
????
, {????, ????, ????},
???????????????????????????????????????????????? → ????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????,
???????????????????????????????????????????????? → ????????])
Ускорим построение графиков вычислением значений функции в некотором наборе точек.
???? = ????????????????[{????. ????????}, ????????????????????[????. ????????, ????, ????. ????????]];
???? = ????????????????[{????. ????????}, ????????????????????[????. ????????, ????, ????. ????????]];
???? = ????????????????????????????[????????????????????[{????, ????, ????[????, ????]}, {????, ????}, {????, ????}], ????];
????????????????????????????????????????????????????????????[????, ???????????????????????????????? → ????????, ???????????????????????????????????????????????????? → ????????????????????????????????????]
????????????????????????????????????????[????]
a) граничная функция
   


,
0 0
,
u
u

; b) контурный график функции
 
y
x
u ,
;
c) график/поверхность функции
 
y
x
u ,
□
Гармоническая в круге радиуса R функция вычисляется по формуле Пуассона















2 0
2 2
2 2
cos
2
)
(
2 1
)
,
(
d
r
r
R
R
r
R
f
r
u
(2) где f(

) граничное значение функции, а

,
r
- полярные координаты точки внутри круга.

175
Пример. Стационарное распределение температуры внутри бесконечного
кругового цилиндра. Температура на поверхности имеет вид косинусоиды.
Ось цилиндра направим вдоль оси Oz. Температура точек
u
внутри цилиндра не зависит от z и будет удовлетворять двумерному уравнению
Лапласа внутри круга радиуса R. Если использовать полярные координаты, то граничное условие для функции температуры
 

,
r
u
будет иметь вид


 


f
R
u

,
. Сама функция
 

,
r
u
будет определяться формулой (2).
Пусть
 


3
cos

f
. Тогда















2 0
2 2
2 2
cos
2
)
3
cos(
2
)
,
(
d
r
r
R
R
r
R
r
u
Сделаем замену
t




и, учитывая периодичность (не нужно менять пределы интегрирования), получим










2 0
2 2
2 2
cos
2
)
3 3
cos(
2
)
,
(
dt
r
t
r
R
R
t
r
R
r
u
Тогда
???? =. ;
????[????_, ????_] = ????????????????????????????????[
????
????
− ????
????
????????
????????????????????????????????????[
???????????? ???????? + ????????
????
????
− ???? ???? ???? ???????????? ???? + ????
????
, {????, ????, ????????},
???????????????????????????????????????????? ⧴ (???? < ???? < ???? && ???? ∈ ???????????????????? && ???? > 0)]]
????
3
Cos[3????]
????
3
???? = ????;
????????????????????????????????????????????????????????????????[????[????, ????], {????, ????, ????}, {????, ????, ????????},
???????????????? → {????????, ????????, ????}, ???????????????????????????????????? → ????????????]
Замечание. Если замену
t




не делать, то Mathematica 9 возвращает неверный результат! Попробуйте.
????????????????????????????????[
????
????
− ????
????
????????
????????????????????????????????????[
???????????? ????????
????
????
− ???? ???? ???? ???????????? ???? − ???? + ????
????
, {????, ????, ???? ????},
???????????????????????????????????????????? ⧴ (???? < ???? < ???? && ???? ∈ ???????????????????? && ???? > 0)]]
(????
6
− ????
6
)Cos[3????]
2????
3
????
3
□