Файл: Содержание Введение История комплексных чисел Соглашение о комплексных числах Сложение комплексных чисел Заключение Список литературы Введение.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.10.2023
Просмотров: 42
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Содержание:
Введение………………………………………………………….……...3
-
История комплексных чисел………………………………………...3 -
Соглашение о комплексных числах………………………………...7 -
Сложение комплексных чисел………………………………………7 -
Заключение…………………………………………………………...8 -
Список литературы…………………………………………………..9
Введение
Рассмотрев тему «Комплексные числа» на уроке высшей математики, мы заинтересовались этой темой и решили углубить свои знания в этой области.
Широко известно большое значение комплексных чисел в математике и ее приложениях. Их исследование представляет самостоятельный интерес. Алгебра комплексных чисел может успешно использоваться в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах механического и физического содержания.
-
История комплексных чисел
Древнегреческие математики считали «действительными» только натуральные числа. Постепенно сформировалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.
В III веке Архимед разработал систему обозначений вплоть до такой огромной, как наряду с натуральными числами использовались дроби - числа, состоящие из целого числа частей единицы. В практических расчетах дроби использовались две тысячи лет до нашей эры. е. в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Долгое время считалось, что результат измерения всегда выражается либо натуральным числом, либо отношением таких чисел, то есть дробью. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «... элементы чисел являются элементами всех вещей, и весь мир во лбу - это гармония и число. Сильный удар по этой точке зрения был нанесен открытием, сделанным одним из Пифагорейцы. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно
, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основания утверждать, что эпоха Теоретическая математика начинается с этого открытия: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактным рассуждениям, было невозможно.
Следующим важным этапом в развитии понятия числа было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до нашей эры.
Отрицательные числа использовались в 3 веке древнегреческим математиком Диофантом, который уже знал правила действия на них, а в 7 веке эти числа уже были подробно изучены индийскими учеными, которые сравнивали такие числа с долгом.
С помощью отрицательных чисел можно было унифицированно описать изменение количества. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, и извлечь квадратный корень из отрицательных чисел невозможно: такого числа не существует.
В XVI веке, в связи с изучением кубических уравнений, оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле решения кубических уравнений вида кубических и квадратных корней
Эта формула работает безупречно в том случае, если уравнение имеет один действительный корень (), а если оно имеет три действительных корня (), то под знаком квадратного корня появляется отрицательное число. Оказалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Следуя тому, как решались уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени не может быть решено алгебраически; точнее: невозможно выразить его корень через буквальные значения a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).
В 1830 г. Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение со степенью больше 4 не может быть решено алгебраически. Тем не менее, любое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть равные). В этом математики убедились еще в XVII веке (на основе анализа многочисленных частных случаев), но только на рубеже XVIII и XIX веков Гаусс доказал эту теорему.
Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений, не имеющая решений в наборе действительных чисел, имеет решения вида: вам просто нужно согласиться действовать с такими выражениями в соответствии с правилами обычной алгебры и учитывать это. Кардано называл такие значения «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался их не использовать. Действительно, с помощью таких чисел невозможно выразить ни результат измерения какой-либо величины, ни изменение какой-либо величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» было введено в 1637 г. французским математиком и философом Р. Декартом, а в 1777 г. один из величайших математиков XVIII века Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова «воображаемый» (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел в широкое употребление благодаря К. Гауссу. Термин «комплексные числа» также был введен Гауссом в 1831 году. Слово «комплекс» (от латинского complexus) означает связь, комбинацию, набор понятий, предметов, явлений и т. д., Образующих единое целое.
В течение 17 века продолжались дискуссии об арифметической природе мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.
Постепенно развивалась техника операций с мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-й степени, сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, на основе следующей формулы английского математика А. Муавра (1707 г.)
Используя эту формулу, также можно было получить формулы для косинусов и синусов нескольких дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 г. замечательную формулу, которая связала экспоненциальную функцию с тригонометрической. Используя формулу Л. Эйлера, можно было возвести число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что. Вы можете найти sin и cos из комплексных чисел, вычислить логарифмы таких чисел, то есть построить теорию функций комплексной переменной.
В конце 18 века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математическому анализу больше не препятствуют мнимые величины. С помощью мнимых чисел они научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Дж. Бернулли использовал комплексные числа для решения интегралов.
Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел было решено множество задач, в том числе прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., Строгого логического обоснования теории этих чисел все еще не существовало. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, являются лишь ориентиром, приобретая характер настоящих истин только после подтверждения прямыми доказательствами.
«Ведь никто не сомневается в точности результатов, полученных при вычислениях с мнимыми величинами, хотя это всего лишь алгебраические формы иероглифов абсурдных величин» Л. Карно.
В конце 18 века, в начале 19 века была получена геометрическая интерпретация комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили представлять комплексное число в виде точки на координатной плоскости. Позже выяснилось, что еще удобнее представлять число не самой точкой M, а вектором, идущим в эту точку из начала координат.
При такой интерпретации сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют одним и тем же операциям с векторами. Вектор может быть задан не только его координатами a и b, но также длиной r и углом j, которые он образует с положительным направлением оси абсцисс.
В этом случае и число z принимает форму, которая называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называется модулем комплексного числа z и обозначается. Число называется аргументом z и обозначается ArgZ. Обратите внимание, что если значение ArgZ не определено, но для него определяется с точностью до кратного.
Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде (экспоненциальная форма комплексного числа).
Геометрическая интерпретация комплексных чисел позволила определить многие понятия, связанные с функцией комплексной переменной, и расширила сферу их применения.
Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где они имеют дело с величинами, которые представлены векторами на плоскости: при изучении потока жидкости, в задачах теории упругости.
После создания теории комплексных чисел встал вопрос о существовании «гиперкомплексных» чисел - чисел с несколькими «мнимыми» единицами.
Такая система формы где, построенный в 1843 году ирландским математиком У. Гамильтоном, который назвал их «кватернионами».
Правила действия над кватернионами напоминают правила обычной алгебры, но их умножение не обладает свойством коммутативности (транспонируемости): например, a. Гиперкомплексные числа не являются предметом данного эссе, поэтому упомянем лишь об их существовании.
Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли российские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили изучили ее приложения к теории упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к исследованию теории упругости. проблемы квантовой теории поля.
Комплексное число a + bi; здесь a и b - действительные числа, а i - число нового типа, называемое мнимой единицей.
«Мнимые» числа - это особая форма комплексных чисел (когда a = 0). С другой стороны, действительные числа также являются особой формой комплексных чисел (когда b = 0).
Действительное число a называется абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b является ординатой комплексного числа a + bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i * i равно -1, т.е.
i2 = -1
Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно было бы выполнять действия, подчиняющиеся тем же правилам, что и действия над комплексными числами - в частности, правилу (1). Отсюда и названия: «мнимая единица», «мнимое число» и т. д. В настоящее время известен ряд таких физических величин, а комплексные числа широко используются не только в математике, но и в физике и технике.
Оставим в стороне вопрос о геометрическом или физическом значении числа i, потому что это значение различается в разных областях науки.
Правило для каждого действия с комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не произвольны, а установлены так, чтобы они согласовывались с правилами действий над действительными числами. Ведь комплексные числа нужно рассматривать не изолированно от реальных, а вместе с ними.
2. Соглашение о комплексных числах
Действительное число a также записывается как a + 0i (или a - 0i).
Примеры. Обозначение 3 + 0i означает то же, что и обозначение 3. Обозначение -2 + 0i означает -2.
Комплексное число вида 0 + bi называется «чисто мнимым». Bi совпадает с 0 + bi.