ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 460
Скачиваний: 1
âèä
óðàâíåíèÿ,
îïèñûâàþùåãî
âåð
õíþþ
èëè
íèæíþþ
÷àñòü
åå
ãðàíèöû
(ðèñ.
6,
b)
èñ.
6
Àíàëîãè÷íî,
÷òîáû
ïðîâåðèòü,
÷òî
îáëàñòü
èíòåãðèðîâà-
íèÿ
D
ÿâëÿåòñ
ÿ
ïðîñòîé
îòíîñèòåëüíî
îñè
Ox
,
çàèê
ñèðó-
åì
îáëàñòü
èçìåíåíèÿ
ïåðåìåííîé
y
îòðåçîê
[
c, d
]
îñè
Oy
,
ïðîâåäåì
÷åðåç
ê
àæäóþ
òî÷êó
îòðåçê
à
[
c, d
]
ãîðèçîíò
àëüíóþ
ïð
ÿìóþ
(ðèñ.
7).
Åñëè
ê
àæäàÿ
ò
àê
àÿ
ïð
ÿìàÿ
ïåðåñåê
àåò
ãðàíèöó
îáëàñòè
D
íå
áîëåå
÷åì
â
äâóõ
òî÷ê
àõ
(ó
ñëîâèå
1),
à
ëåâàÿ
è
ïðàâàÿ
÷àñòè
ãðàíèöû,
çàêëþ÷åííûå
ìåæäó
ïð
ÿìûìè
y
=
c
è
y
=
d
,
îïèñûâàþòñ
ÿ
ê
àæäàÿ
î
äíèì
ÿâíûì
óðàâíåíèåì
x
=
x
1
(
y
)
è
x
=
x
2
(
y
)
ñîîòâåòñòâåííî
(ó
ñëîâèå
2),
òî
îáëàñòü
D
ÿâëÿåòñ
ÿ
ïðîñòîé
îòíîñèòåëüíî
îñè
Ox
è
îïðåäåëÿåòñ
ÿ
ó
ñëîâèÿìè:
c
≤
y
≤
d
,
x
1
(
y
)
≤
x
≤
x
2
(
y
)
.
Åñëè
íå
âûïîëíÿåòñ
ÿ
î
äíî
èç
ó
ñëîâèé,
òî
îáëàñòü
èíòåãðè-
ðîâàíèÿ
íå
ÿâëÿåòñ
ÿ
ïðîñòîé
îòíîñèòåëüíî
îñè
Ox
è
äëÿ
ñâåäåíèÿ
äâîéíîãî
èíòåãðàëà
ê
ïîâòîðíîìó
îðìó
ëîé
(4)
ñðàçó
ïîëüçîâàòüñ
ÿ
íåëüçÿ.
Çàìå÷àíèå:
1)
åñëè
íå
âûïîëíÿåòñ
ÿ
ó
ñëîâèå
1,
òî
îáëàñòü
ñëåäó
åò
ðàçáèòü
íà
ïðîñòûå
ïð
ÿìûìè,
ïàðàëëåëüíûìè
îñè
Ox
(ðèñ.
8,
a).
11
èñ.
7
2)
åñëè
íå
âûïîëíÿåòñ
ÿ
ó
ñëîâèå
2,
òî
îáëàñòü
íóæíî
ðàç-
áèòü
íà
ïðîñòûå
ïð
ÿìûìè,
ïàðàëëåëüíûìè
îñè
Ox
è
ïðî-
õ
î
äÿùèìè
÷åðåç
òî÷êè
îáëàñòè
D
,
â
ê
îòîðûõ
èçìåíÿåòñ
ÿ
âèä
óðàâíåíèÿ,
îïèñûâàþùåãî
ëåâóþ
èëè
ïðàâóþ
÷àñòü
åå
ãðàíèöû
(ðèñ.
8,
b).
èñ.
8
Åñëè
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
ñëî
æíàÿ,
òî
åå
íóæíî
ïðåä-
âàðèòåëüíî
ðàçáèòü
íà
ê
îíå÷íîå
÷èñëî
ïðîñòûõ
îáëàñòåé,
à
çàòåì
çíà
÷åíèå
äâîéíîãî
èíòåãðàëà
íàéòè
ê
àê
ñóììó
èíòå-
12
ãðàëîâ,
âû÷èñëåííûõ
ïî
ê
àæäîé
ò
àê
îé
ïðîñòîé
îáëàñòè
â
îò
äåëüíîñòè
(ñâîéñòâî
3
o
).
Èò
àê,
çàäà
ֈ
âû÷èñëåíèÿ
äâîéíîãî
èíòåãðàëà
ñîñòîèò
èç
äâóõ
÷àñòåé:
1)
ñâåäåíèÿ
äâîéíîãî
èíòåãðàëà
ê
î
äíîìó
èëè
íåñê
îëü-
êèì
ïîâòîðíûì;
2)
íåïîñðåäñòâåííîãî
âû÷èñëåíèÿ
ïîâòîðíûõ
èíòåãðàëîâ
ñ
ïîìîùüþ
îðìó
ëû
ÍüþòîíàËåéáíèöà:
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)
|
b
a
=
F
(
a
)
−
F
(
b
)
,
ã
äå
F
(
x
)
ïåðâîîáðàçíàÿ
óíêöèè
f
(
x
)
.
àññìîòðèì
íåñê
îëüê
î
ïðèìåðîâ.
Ïðèìåð
1
Âû÷èñëèòü
äâîéíîé
èíòåãðàë
RR
D
f
(
x, y
)
dxdy
îò
óíêöèè
f
(
x, y
) =
x
+
y
ïî
îáëàñòè,
îãðàíè÷åííîé
ïð
ÿìûìè
x
= 0
,
y
= 0
,
y
=
−
x
+ 5
.
åøåíèå
1.
Ïðåæäå
âñåãî
èçîáðàçèì
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ.
Äëÿ
ýòîãî
ïîñòðîèì
ïð
ÿìûå
x
= 0
,
y
= 0
,
y
=
−
x
+ 5
,
íàéäåì
òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ
ïð
ÿìûõ
è
îáîçíà
÷èì
èõ:
A
(0
,
0)
,
B
(5
,
0)
,
C
(0
,
5)
(ðèñ.
9).
2.
Îïðåäåëèì,
ÿâëÿåòñ
ÿ
ëè
îáëàñòü
ïðîñòîé
îòíîñèòåëüíî
î
äíîé
èç
îñåé
ê
îîð
äèíàò
èëè
íåò
.
Cíà
÷àëà
äëÿ
âñåõ
òî÷åê
îáëàñòè
D
îïðåäåëèì
ïðîìåæó-
òîê
èçìåíåíèÿ
ê
îîð
äèíàòû
x
.
Äëÿ
ýòîãî
ïðîâåäåì
ïð
ÿìûå,
ïàðàëëåëüíûå
îñè
Oy
,
ò
àê,
÷òîáû
îíè
ïðîõ
î
äèëè
÷åðåç
òî÷-
êè
îáëàñòè,
à
ñàìà
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
ëåæ
àëà
âíóòðè
ïîëîñû
ìåæäó
íèìè.
Â
íàøåì
ïðèìåðå
ò
àêèìè
ïð
ÿìûìè
áó
äóò
x
= 0
è
x
= 5
.
Âñå
òî÷êè
îáëàñòè
èíòåãðèðîâàíèÿ
13
èñ.
9
îê
àçàâàþòñ
ÿ
çàêëþ÷åííûìè
âíóòðè
ïîëîñû
0
≤
x
≤
5
(ðèñ.
9).
Èç
ðèñóíê
à
âèäèì,
÷òî
ê
àæäàÿ
ïð
ÿìàÿ,
ïàðàëëåëüíàÿ
îñè
Oy
è
ïðî
õ
î
äÿùàÿ
÷åðåç
ëþáóþ
òî÷êó
îòðåçê
à
[0
,
5]
,
ïå-
ðåñåê
àåò
ãðàíèöó
îáëàñòè
èíòåãðèðîâàíèÿ
ðîâíî
â
äâóõ
òî÷-
ê
àõ
(ðèñ.
9),
ïðè÷åì
âåð
õíÿÿ
è
íèæíÿÿ
ãðàíèöû,
îïèñûâà-
þòñ
ÿ
ê
àæäàÿ
î
äíèì
óðàâíåíèåì.
Çíà
÷èò
,
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
ÿâëÿåòñ
ÿ
ïðîñòîé
îòíî-
ñèòåëüíî
îñè
Oy
è
ìî
æ
åì
èñïîëüçîâàòü
îðìó
ëó
(3).
3.
àññò
àâèì
ïðåäåëû
èíòåãðèðîâàíèÿ
âî
âíåøíåì
è
âíóò-
ðåííåì
èíòåãðàëàõ.
Ïðåäåëû
âíåøíåãî
èíòåãðàëà
ðàññò
àâ-
ëÿåì
èñ
õ
î
äÿ
èç
ó
ñëîâèÿ
0
≤
x
≤
5
:
íèæíèé
ïðåäåë
ñîîòâåò-
ñòâóåò
íàìåíüøåìó
çíà
÷åíèþ
ïåðåìåííîé
x
,
òî
åñòü
x
= 0
,
à
âåð
õíèé
ïðåäåë
íàèáîëüøåìó
çíà
÷åíèþ,
òî
åñòü
x
= 5
.
Ïðåäåëû
èíòåãðèðîâàíèÿ
âíóòðåííåãî
èíòåãðàëà
äîëæ-
íû
çàâèñåòü
îò
ïåðåìåííîé
x
,
ïîñê
îëüêó
èíòåãðèðîâàíèå
â
íåì
èäåò
ïî
y
.
Íà
íèæíèé
ïðåäåë
ñò
àâèì
óíêöèþ,
çàäàþ-
ùóþ
íèæíþþ
ãðàíèöó
îáëàñòè,
ýòî
y
= 0
,
à
íà
âåð
õíèé
ïðåäåë
óíêöèþ,
îïèñûâàþùóþ
âåð
õíþþ
ãðàíèöó
îáëà-
ñòè,
y
=
−
x
+ 5
.
Ïðè
ð
àññòàíîâêå
ïðåäå
ëîâ
âî
âíóòðåí-
íå
ì
èíòåãð
àëå
äâèæå
ìñÿ
âíóòðü
îá
ëàñòè
èíòåãðèðîâàíèÿ
â
ïî
ëîæèòå
ëüíî
ì
íàïð
àâëåíèè
îñè
Oy
ïî
ñòðå
ëêå
(ñ
ì.
ðèñ.
9).
14
Îê
îí÷àòåëüíî
ïîëó÷àåì
äâîéíîé
èíòåãðàë,
ñâåäåííûé
ê
ïîâòîðíîìó:
Z Z
D
(
x
+
y
)
dxdy
=
5
Z
0
dx
−
x
+5
Z
0
(
x
+
y
)
dy.
4.
Ò
åïåðü
îñò
àåòñ
ÿ
âû÷èñëèòü
ïîëó÷åííûé
ïîâòîðíûé
èí-
òåãðàë.
Ñíà
÷àëà
âû÷èñëÿåì
âíóòðåííèé
èíòåãðàë
ïî
ïåðå-
ìåííîé
y
,
ïðè
ýòîì
ïåðåìåííóþ
x
ñ÷èò
àåì
ïîñòî
ÿííîé,
à
çàòåì
âíåøíèé
èíòåãðàë
ïî
ïåðåìåííîé
x
îò
óíêöèè,
ïîëó÷åííîé
â
ðåçó
ëü
ò
àòå
âû÷èñëåíèÿ
âíóòðåííåãî
èíòåãðà-
ëà:
5
Z
0
dx
−
x
+5
Z
0
(
x
+
y
)
dy
=
5
Z
0
dx
xy
+
y
2
2
−
x
+5
0
=
=
5
Z
0
x
(
−
x
+ 5) +
(
−
x
+ 5)
2
2
dx
=
=
5
Z
0
−
x
2
+ 5
x
+
x
2
−
10
x
+ 25
2
dx
=
5
Z
0
25
−
x
2
2
dx
=
=
1
2
−
x
3
3
+ 25
x
5
0
=
1
2
−
125
3
+ 125
= 41
2
3
.
Îòâåò:
41
2
3
.
Ýòîò
æ
å
ïðèìåð
ìî
æíî
áûëî
ðåøèòü
è
ïî-äðóãîìó
,
ò
àê
ê
àê
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
ÿâëÿåòñ
ÿ
ïðîñòîé
è
îòíîñè-
òåëüíî
îñè
Ox
.
Äëÿ
òîãî
÷òîáû
â
ýòîì
óáåäèòüñ
ÿ,
ïðî
äåëàåì
äåéñòâèÿ,
àíàëîãè÷íûå
ðàññìîòðåííûì
âûøå,
òîëüê
î
îòíîñèòåëüíî
îñè
Ox
.
Ò
î÷êè
îáëàñòè
çàêëþ÷àåì
â
ïîëîñó
,
ïàðàëëåëüíóþ
15