ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 450
Скачиваний: 1
3.
Âû÷èñëåíèå
ìîìåíòîâ
èíåðöèè
ïëîñê
îãî
òåëà
Âñïîìíèì,
÷òî
ìîìåíò
èíåðöèè
ìàòåðèàëüíîé
òî÷êè
îò-
íîñèòåëüíî
íåê
îòîðîé
îñè
ðàâåí
ïðîèçâåäåíèþ
ìàññû
ýòîé
òî÷êè
íà
êâàäðàò
ðàññòî
ÿíèÿ
îò
íåå
äî
ýòîé
îñè,
à
ìîìåíò
èíåðöèè
ñèñòåìû
ìàòåðèàëüíûõ
òî÷åê
ðàâåí
ñóììå
ìîìåí-
òîâ
èíåðöèè
âñåõ
òî÷åê.
Ò
îã
äà
ìîìåíòû
èíåðöèè
ïëîñê
îãî
òåëà
îòíîñèòåëüíî
ê
î-
îð
äèíàòíûõ
îñåé
Ox
è
Oy
ìîãóò
áûòü
âû÷èñëåíû
ïî
îð-
ìó
ëàì:
I
x
=
Z Z
D
y
2
·
ρ
(
x, y
)
dxdy,
I
y
=
Z Z
D
x
2
·
ρ
(
x, y
)
dxdy,
(21)
à
ìîìåíò
èíåðöèè
îòíîñèòåëüíî
íà
÷àëà
ê
îîð
äèíàò
ðàâåí
I
0
=
Z Z
D
(
x
2
+
y
2
)
·
ρ
(
x, y
)
dxdy
=
I
x
+
I
y
.
(22)
Ïðèìåð
9
Íàéòè
ìîìåíòû
èíåðöèè
òðåóãîëüíèê
à,
îãðàíè÷åííîãî
ïð
ÿìûìè
x
+
y
= 2
, x
= 2
,
y
= 2
,
îòíîñèòåëüíî
îñåé
Ox
,
Oy
è
íà
÷àëà
ê
îîð
äèíàò
,
åñëè
åãî
ïîâåð
õíîñòíàÿ
ïëîòíîñòü
â
ê
àæäîé
òî÷ê
å
ïðîïîðöèîíàëüíà
îð
äèíàòå
ýòîé
òî÷êè.
åøåíèå
1.
Èçîáðàçèì
òðåóãîëüíèê
íà
ïëîñê
îñòè
(îáëàñòü
D
íà
ðèñ.
24).
Âåðøèíàìè
òðåóãîëüíèê
à
ÿâëÿþòñ
ÿ
òî÷êè
A
(2
,
0)
,
B
(2
,
2)
,
C
(0
,
2)
.
2.
Âû÷èñëèì
ìîìåíòû
èíåðöèè
òðåóãîëüíèê
à
îòíîñè-
òåëüíî
ê
îîð
äèíàòíûõ
îñåé
ïî
îðìó
ëàì
(21).
Ïî
ó
ñëîâèþ
çàäà
֏
ïîâåð
õíîñòíàÿ
ïëîòíîñòü
òðåóãîëü-
íèê
à
â
ê
àæäîé
òî÷ê
å
çàäàåòñ
ÿ
âûðàæ
åíèåì
ρ
(
x, y
) =
ky
,
ã
äå
51
èñ.
24
k
ê
îýèöèåíò
ïðîïîðöèîíàëüíîñòè,
à
îáëàñòü
èíòåãðè-
ðîâàíèÿ
D
ÿâëÿåòñ
ÿ
ïðîñòîé
îòíîñèòåëüíî
îáåèõ
îñåé
(ðèñ.
24).
Èìååì
I
x
=
Z Z
D
y
2
·
kydxdy
=
k
2
Z
0
dy
2
Z
2
−
y
y
3
dx
=
=
k
2
Z
0
y
3
(2
−
2
−
y
)
dy
=
k
2
Z
0
y
4
dy
=
k
y
5
5
2
0
=
32
5
k,
I
y
=
Z Z
D
x
2
·
kydxdy
=
k
2
Z
0
dx
2
Z
2
−
x
x
2
y dy
=
=
k
2
Z
0
x
2
dx
y
2
2
2
2
−
x
=
k
2
2
Z
0
x
2
4
−
(2
−
x
)
2
dx
=
=
k
2
2
Z
0
(4
x
3
−
x
4
)
dx
=
k
2
x
4
−
x
5
5
2
0
=
24
5
k.
52
Çàìå÷àíèå:
äëÿ
óïðîùåíèÿ
âû÷èñëåíèé
ïðè
íàõ
î
æäå-
íèè
I
x
è
I
y
â
ïîâòîðíûõ
èíòåãðàëàõ
áûë
âûáðàí
ðàçëè÷íûé
ïîð
ÿäîê
èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ñîã
ëàñíî
(22),
âû÷èñëèì
ìîìåíò
èíåðöèè
îòíîñèòåëüíî
íà
÷àëà
ê
îîð
äèíàò
ê
àê
ñóììó
ïîëó÷åííûõ
ðåçó
ëü
ò
àòîâ:
I
0
=
I
x
+
I
y
=
56
5
k.
Îòâåò:
I
x
=
32
5
k
,
I
y
=
24
5
k
,
I
0
=
56
5
k.
Çàäà
֏
äëÿ
ñàìîñòî
ÿòåëüíîãî
ðåøåíèÿ
Çàäà
ֈ
8
1.
Íàéòè
ìàññó
ïëàñòèíêè,
èìåþùåé
îðìó
ïð
ÿìîóãîëü-
íîãî
òðåóãîëüíèê
à
ñ
ê
àòåò
àìè
AB
=
a
,
BC
=
b
,
åñëè
åå
ïëîòíîñòü
â
ëþáîé
òî÷ê
å
ðàâíà
ðàññòî
ÿíèþ
îò
ýòîé
òî÷êè
äî
ê
àòåò
à
BC
.
2.
Íàéòè
ê
îîð
äèíàòû
öåíòðà
ò
ÿæ
åñòè
î
äíîðî
äíîé
èãó-
ðû
(
ρ
=
c
),
îãðàíè÷åííîé
êðèâûìè
xy
= 4
,
y
2
= 16
x
,
x
= 4
.
3.
Íàéòè
ìîìåíòû
èíåðöèè
òðåóãîëüíèê
à,
èìåþùåãî
ïëîò-
íîñòü
ρ
=
c
è
îãðàíè÷åííîãî
ïð
ÿìûìè
x
+
y
= 1
,
x
+ 2
y
= 2
,
y
= 0
,
îòíîñèòåëüíî
îñåé
Ox
è
Oy
.
4.
Íàéòè
ìàññó
ïëàñòèíêè,
îãðàíè÷åííîé
êðèâûìè
y
=
x
2
,
y
=
√
x
,
åñëè
åå
ïîâåð
õíîñòíàÿ
ïëîòíîñòü
ðàâíà
ρ
=
x
+ 2
y
.
5.
Îïðåäåëèòü
ê
îîð
äèíàòû
öåíòðà
ò
ÿæ
åñòè
ïëîñê
îé
î
ä-
íîðî
äíîé
ïëàñòèíêè
(
ρ
=
c
),
îãðàíè÷åííîé
êðèâûìè
y
=
x
2
,
y
= 2
x
2
,
x
= 1
,
x
= 2
.
6.
Âû÷èñëèòü
ìîìåíò
èíåðöèè
îòíîñèòåëüíî
íà
÷àëà
ê
î-
îð
äèíàò
èãóðû,
îãðàíè÷åííîé
ïð
ÿìûìè
x
+
y
= 2
,
x
= 0
,
y
= 0
,
åñëè
ρ
= 1
.
7.
Íàéòè
ê
îîð
äèíàòû
öåíòðà
ò
ÿæ
åñòè
î
äíîðî
äíîé
èãó-
ðû
(
ρ
(
x, y
) =
c
),
îãðàíè÷åííîé
êðèâûìè
y
=
x
,
y
2
= 3
x
.
53
8.
Âû÷èñëèòü
ìîìåíòû
èíåðöèè
òðåóãîëüíèê
à
î
äíîðî
ä-
íîãî
òðåóãîëüíèê
à
(
ρ
=
c
)
ñ
âåðøèíàìè
A
(2
,
2)
,
B
(0
,
2)
,
C
(2
,
0)
.
9.
Íàéòè
ìàññó
è
ñò
àòè÷åñêèå
ìîìåíòû
ïëàñòèíêè,
îãðà-
íè÷åííîé
êðèâûìè
y
= 4
−
x
2
,
y
= 0
,
åñëè
åå
ïîâåð
õíîñòíàÿ
ïëîòíîñòü
ρ
=
a
.
10.
Íàéòè
ìîìåíòû
èíåðöèè
î
äíîðî
äíîé
èãóðû,
îãðà-
íè÷åííîé
ýëëèïñîì
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1
,
îòíîñèòåëüíî
îñåé
Ox
,
Oy
è
îòíîñèòåëüíî
íà
÷àëà
ê
îîð
äèíàò
.
11.
Íàéòè
ìàññó
ïëàñòèíû,
îãðàíè÷åííîé
êðèâûìè
y
=
x
2
,
y
=
√
x
,
åñëè
åå
ïîâåð
õíîñòíàÿ
ïëîòíîñòü
ρ
=
x
+ 2
y
.
12.
Îïðåäåëèòü
ê
îîð
äèíàòû
öåíòðà
ò
ÿæ
åñòè
î
äíîðî
äíîé
ïëàñòèíêè,
îãðàíè÷åííîé
êðèâûìè
y
=
√
2
x
−
x
2
,
y
= 0
.
13.
Îïðåäåëèòü
ìàññó
ïëîñê
îãî
òåëà,
îãðàíè÷åííîãî
êðè-
âûìè
y
2
= 4
x
+ 4
,
y
2
=
−
2
x
+ 4
,
åñëè
ρ
(
x, y
) = 2
y
.
14.
Íàéòè
ìîìåíòû
èíåðöèè
î
äíîðî
äíîé
èãóðû
(
ρ
=
c
),
îãðàíè÷åííîé
ê
àð
äèîèäîé
r
=
a
(1 + cos
ϕ
)
,
îòíîñèòåëüíî
îñåé
Ox
,
Oy
è
îòíîñèòåëüíî
íà
÷àëà
ê
îîð
äèíàò
.
15.
Íàéòè
ìàññó
êðóã
ëîé
ïëàñòèíû
(
x
2
+
y
2
≤
1
)
ñ
ïî-
âåð
õíîñòíîé
ïëîòíîñòüþ
ρ
(
x, y
) = 2
−
x
−
y
.
54
Ñïèñîê
ëèòåðàòóðû
[1℄
Êó
äð
ÿâöåâ
Ë.
Ä.
Êðàòêèé
êóðñ
ìàòåìàòè÷åñê
îãî
àíà-
ëèçà
:
â
2
ò
./
Ë.Ä.
Êó
äð
ÿâöåâ.
Ì.
:
Ôèçìàò
ëèò
,
2005.
Ò
.
2.
424
ñ.
[2℄
Ñáîðíèê
çàäà
÷
ïî
ìàòåìàòè÷åñê
îìó
àíàëèçó
:
â
3
ò
./
Ë.
Ä.
Êó
äð
ÿâöåâ
[è
äð.℄.
Ì.
:
Ôèçìàò
ëèò
,
2003.
Ò
.
2.
504
ñ.
[3℄
Ñáîðíèê
çàäà
÷
ïî
âûñøåé
ìàòåìàòèê
å:
ñ
ê
îíòðîëüíûìè
ðàáîò
àìè.
ÿäû
è
èíòåãðàëû.
Âåêòîðíûé
è
ê
îìïëåê
ñ-
íûé
àíàëèç.
Äèåðåíöèàëüíûå
óðàâíåíèÿ.
Ò
åîðèÿ
âå-
ðî
ÿòíîñòåé.
Îïåðàöèîííîå
èñ÷èñëåíèå./
Ê.
Í.
Ëóíãó
[è
äð.℄.
Ì.
:
Àéðèñ
Ïðåññ,
2007.
592
ñ.
[4℄
Äàíê
î
Ï.
Å.
Âûñøàÿ
ìàòåìàòèê
à
â
óïðàæíåíèÿõ
è
çà-
äà
÷àõ
:
â
2
÷./
Ï.
Å.
Äàíê
î,
À.
.
Ïîïîâ,
Ò
.
ß.
Êî
æ
åâ-
íèê
îâà.
Ì.
:
Âûñø.
øê.,
1986.
×.
2.
415
ñ.
55