ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 448
Скачиваний: 1
3.
Ïîëîâèíà
âåð
õíåé
÷àñòè
ðàññìàòðèâàåìîé
ïîâåð
õíîñòè
ïðîåêòèðó
åòñ
ÿ
íà
ïëîñê
îñòü
xOy
â
îáëàñòü
D
(ðèñ.
21).
èñ.
21
Âû÷èñëèì
åå
ïëîùàäü,
ó
ñïîëüçó
ÿ
îðìó
ëó
(16)
è
ïåðåé-
äÿ
ê
ïîëÿðíîé
ñèñòåìå
ê
îîð
äèíàò:
S
1
/
4
=
√
2
Z Z
D
dxdy
=
√
2
Z Z
Ω
r dr dϕ.
Âûáîð
ïîëÿðíîé
ñèñòåìû
ê
îîð
äèíàò
îáó
ñëîâëåí,
âî-ïåð-
âûõ,
òåì,
÷òî
ãðàíèöà
îáëàñòè
èíòåãðèðîâàíèÿ
óæ
å
çàäàíà
â
ïîëÿðíûõ
ê
îîð
äèíàò
àõ,
à
âî-âòîðûõ,
âèäîì
ñàìîé
îáëà-
ñòè
Ω
,
ê
îòîðàÿ
ÿâëÿåòñ
ÿ
ïðîñòîé
è
îïðåäåëÿåòñ
ÿ
ó
ñëîâèÿìè:
0
≤
ϕ
≤
π
,
0
≤
r
≤
a
(1 + cos
ϕ
)
.
Ñâî
äÿ
äâîéíîé
èíòåãðàë
ê
ïîâòîðíîìó
,
ïîëó÷èì
S
1
/
4
=
√
2
π
Z
0
dϕ
a
(1+cos
ϕ
)
Z
0
r dr
=
√
2
2
π
Z
0
dϕ
(
r
2
)
a
(1+cos
ϕ
)
0
=
=
√
2
2
a
2
π
Z
0
(1 + cos
ϕ
)
2
dϕ
=
√
2
2
a
2
ϕ
|
π
0
+ 2
π
Z
0
cos
ϕ dϕ
+
46
+
π
Z
0
1 + cos
ϕ
2
dϕ
=
√
2
2
a
2
π
+ 2 sin
ϕ
|
π
0
+
π
2
+
1
4
sin 2
ϕ
|
π
0
=
=
3
πa
2
√
2
4
.
4.
Èò
àê,
èñê
îìàÿ
ïëîùàäü
ïîâåð
õíîñòè
ðàâíà
S
= 4
·
S
1
/
4
= 3
πa
2
√
2
.
Îòâåò:
3
πa
2
√
2
.
Çàäà
֏
äëÿ
ñàìîñòî
ÿòåëüíîãî
ðåøåíèÿ
Çàäà
ֈ
6
Âû÷èñëèòü
ïëîùàäü
÷àñòè
ïîâåð
õíîñòè:
1)
x
2
+
y
2
+
z
2
= 2
,
çàêëþ÷åííîé
âíóòðè
ê
îíó
ñà
x
2
+
y
2
=
z
2
;
2)
ê
îíó
ñà
x
2
+
y
2
−
z
2
= 0
,
çàêëþ÷åííîé
ìåæäó
ïëîñê
î-
ñò
ÿìè
z
= 0
è
z
=
√
2
x
2
+ 1
;
3)
öèëèíäðà
x
2
= 2
z
,
îòñå÷åííîé
ïëîñê
îñò
ÿìè
x
−
2
y
= 0
,
y
= 2
x
,
x
= 2
√
2
;
4)
y
=
x
2
+
z
2
,
âûðåçàííîé
öèëèíäðîì
x
2
+
z
2
= 1
è
ðàñ-
ïîëî
æ
åííîé
â
ïåðâîì
îêò
àíòå.
Óêàçàíèå:
ñïðîåêòèðîâàòü
ïîâåðõíîñòü
íà
ïëîñêîñòü
xOz
;
5)
ê
îíó
ñà
x
2
+
z
2
=
y
2
,
âûðåçàåìîé
ïëîñê
îñò
ÿìè
x
= 0
,
x
+
y
= 2
,
y
= 0
;
6)
öèëèíäðà
z
=
x
2
,
âûðåçàííîé
ïëîñê
îñò
ÿìè
x
+
y
=
√
2
,
x
= 0
,
y
= 0
;
7)
ñåðû
x
2
+
y
2
+
z
2
= 1
,
âûðåçàåìîé
öèëèíäðîì
ñ
îáðà-
çóþùèìè
ïàðàëëåëüíûìè
îñè
Oz
,
íàïðàâëÿþùåé
ê
îòîðîãî
ñëóæèò
êðèâàÿ
r
= sin 3
ϕ
(òðåõëåïåñòê
îâàÿ
ðîçà);
8)
ê
îíó
ñà
z
=
p
x
2
+
y
2
,
çàêëþ÷åííîé
âíóòðè
öèëèíäðà
x
2
+
y
2
= 2
x
;
9)
ñåðû
x
2
+
y
2
+
z
2
= 1
,
ðàñïîëî
æ
åííîé
ìåæäó
ïëîñê
î-
ñò
ÿìè
z
=
1
√
3
y
è
z
=
y
ïðè
ó
ñëîâèè,
÷òî
z
≥
0
,
y
≥
0
;
47
10)
z
=
x
,
çàêëþ÷åííîé
âíóòðè
öèëèíäðà
x
2
+
y
2
= 4
âûøå
ïëîñê
îñòè
z
= 0
;
11)
ñåðû
x
2
+
y
2
+
z
2
= 1
,
çàêëþ÷åííîé
âíóòðè
öèëèíäðà
x
2
+
y
2
=
y
.
3.
Âû÷èñëåíèå
îáúåìà
öèëèíäðè÷åñê
îãî
òåëà
1.
àññìîòðèì
öèëèíäðè÷åñê
îå
òåëî,
îãðàíè÷åííîå
ñâåð-
õó
íåïðåðûâíîé
ïîâåð
õíîñòüþ
z
=
f
(
x, y
)
,
ã
äå
f
(
x, y
)
≥
0
,
(
x, y
)
∈
D
,
ñíèçó
ïëîñê
îñòüþ
xOy
,
à
ñáîêó
öèëèíäðè÷å-
ñê
îé
ïîâåð
õíîñòüþ
ñ
îáðàçóþùèìè,
ïàðàëëåëüíûìè
îñè
Oz
è
âûðåçàþùèìè
èç
ïëîñê
îñòè
xOy
îáëàñòü
D
(ðèñ.
22).
èñ.
22
Îáúåì
ò
àê
îãî
òåëà
ìî
æ
åò
áûòü
âû÷èñëåí
ïî
îðìó
ëå
V
=
Z Z
D
f
(
x, y
)
dxdy.
(19)
2.
àññìîòðèì
ïðîñòðàíñòâåííîå
òåëî
V
,
îãðàíè÷åííîå
ñâåð
õó
è
ñíèçó
íåïðåðûâíî
äèåðåíöèðó
åìûìè
ïîâåð
õíî-
ñò
ÿìè
z
=
f
(
x, y
)
è
z
=
g
(
x, y
)
,
ã
äå
(
x, y
)
∈
D
ñîîòâåòñòâåí-
48
íî,
à
ñáîêó
öèëèíäðè÷åñê
îé
ïîâåð
õíîñòüþ
ñ
îáðàçóþùèìè,
ïàðàëëåëüíûìè
îñè
Oz
(ðèñ.
23).
èñ.
23
Îáúåì
ò
àê
îãî
òåëà
ðàâåí
V
=
Z Z
D
(
f
(
x, y
)
−
g
(
x, y
))
dxdy
(20)
Çàäà
֏
äëÿ
ñàìîñòî
ÿòåëüíîãî
ðåøåíèÿ
Çàäà
ֈ
7
Âû÷èñëèòü
îáúåìû
òåë,
îãðàíè÷åííûõ
ïîâåð
õíîñò
ÿìè:
1)
x
2
+
y
2
= 8
,
x
= 0
,
y
= 0
,
z
= 0
,
x
+
y
+
z
= 4
;
2)
z
= 4
−
x
2
,
2
x
+
y
= 4
,
x
= 0
,
y
= 0
;
3)
z
= 5
x
,
x
2
+
y
2
= 9
,
z
= 0
;
4)
z
=
x
+
y
+ 1
,
y
2
=
x
,
x
= 1
,
y
= 0
,
z
= 0
;
5)
x
2
+
y
2
= 2
z
,
x
2
+
y
2
−
z
2
= 4
,
z
= 0
;
6)
z
= 3
−
x
2
−
y
2
,
z
= 0
;
49
7)
z
+
x
2
+
y
2
= 1
,
x
= 0
,
y
= 0
,
y
= 4
,
z
= 0
;
8)
z
=
x
2
+
y
2
,
y
=
x
2
,
y
= 1
,
z
= 0
;
9)
z
=
y
2
,
x
2
+
y
2
= 4
,
z
= 0
;
10)
z
= 4
x
2
+ 2
y
2
+ 1
,
z
= 1
,
x
+
y
= 3
,
x
= 0
,
y
= 0
;
11)
y
=
x
2
,
z
= 0
,
z
= 2
−
y
.
Ïðèëî
æ
åíèÿ
ê
èçèê
å
1.
Âû÷èñëåíèå
ìàññû
ïëîñê
îãî
òåëà
àññìîòðèì
ïëîñê
îå
òåëî,
ê
îòîðîå
çàíèìàåò
îáëàñòü
D
ïëîñê
îñòè
xOy
è
èìååò
íåïðåðûâíî
ðàñïðåäåëåííóþ
ïîâåð
õ-
íîñòíóþ
ïëîòíîñòü
ρ
(
x, y
)
,
ã
äå
(
x, y
)
∈
D.
Ìàññó
ýòîãî
òåëà
m
D
ìî
æíî
âû÷èñëèòü
ïî
îðìó
ëå
m
D
=
Z Z
D
ρ
(
x, y
)
dxdy.
Çàìå÷àíèå:
â
ýòîì
ñîñòîèò
èçè÷åñêèé
ñìûñë
äâîéíîãî
èíòåãðàëà.
2.
Âû÷èñëåíèå
ñò
àòè÷åñêèõ
ìîìåíòîâ
è
ê
îîð
äèíàò
öåíòðà
ò
ÿæ
åñòè
ïëîñê
îãî
òåëà
Ïó
ñòü
ïëîñê
îå
òåëî
çàíèìàåò
îáëàñòü
D
ïëîñê
îñòè
xOy
è
èìååò
íåïðåðûâíî
ðàñïðåäåëåííóþ
ïîâåð
õíîñòíóþ
ïëîò-
íîñòü
ρ
(
x, y
)
,
ã
äå
(
x, y
)
∈
D,
òîã
äà
ê
îîð
äèíàòû
öåíòðà
ò
ÿ-
æ
åñòè
ýòîãî
òåëà
îïðåäåëÿþòñ
ÿ
èç
îðìó
ë:
x
c
=
M
x
m
,
y
c
=
M
y
m
,
ã
äå
m
ìàññà
òåëà,
à
M
x
,
M
y
ñò
àòè÷åñêèå
ìîìåíòû
òåëà
îòíîñèòåëüíî
îñåé
Ox
è
Oy
ñîîòâåòñòâåííî,
âû÷èñëÿþòñ
ÿ
ïî
îðìó
ëàì:
M
x
=
Z Z
D
y
·
ρ
(
x, y
)
dxdy,
M
y
=
Z Z
D
x
·
ρ
(
x, y
)
dxdy.
50