ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 449
Скачиваний: 1
2.
Âû÷èñëåíèå
äâîéíîãî
èíòåãðàëà
â
äåê
àðòîâîé
ñèñòåìå
ê
îîð
äèíàò
(ñâåäåíèå
ê
ïîâòîðíîìó)
I.
Ïó
ñòü
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
D
ïðåäñò
àâëÿåò
ñîáîé
êðèâîëèíåéíóþ
òðàïåöèþ
ñ
îñíîâàíèÿìè,
ïàðàëëåëüíûìè
îñè
Oy
,
à
ñíèçó
è
ñâåð
õó
îãðàíè÷åííóþ
íåïðåðûâíûìè
êðè-
âûìè
y
=
y
1
(
x
)
è
y
=
y
2
(
x
)
(ðèñ.
2).
èñ.
2
Ò
àêóþ
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
íàçîâåì
ïðîñòîé
îòíîñè-
òå
ëüíî
îñè
Oy
.
Ò
åîðåìà
1.
Ïóñòü
óíêöèÿ
f
(
x, y
)
èíòåãðèðóå
ìà
íà
D
è
äëÿ
êàæäîãî
èêñèðîâàííîãî
x
∈
[
a, b
]
ñóùåñòâóåò
èíòå-
ãð
àë
y
2
(
x
)
R
y
1
(
x
)
f
(
x, y
)
dy
,
òîãäà
ñóùåñòâóåò
ïîâòîðíûé
èíòåãð
àë
b
Z
a
dx
y
2
(
x
)
Z
y
1
(
x
)
f
(
x, y
)
dy
6
è
îí
ð
àâåí
äâîéíî
ìó
Z Z
D
f
(
x, y
)
dxdy.
Ò
àêèì
îáðàçîì,
â
ñëó÷àå
ïðîñòîé
îòíîñèòå
ëüíî
îñè
Oy
îáëàñòè
èíòåãðèðîâàíèÿ
ñïðàâåäëèâà
îðìó
ëà
Z Z
D
f
(
x, y
)
dxdy
=
b
Z
a
dx
y
2
(
x
)
Z
y
1
(
x
)
f
(
x, y
)
dy.
(3)
I
I.
Ïó
ñòü
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
D
ïðåäñò
àâëÿåò
ñîáîé
êðèâîëèíåéíóþ
òðàïåöèþ
ñ
îñíîâàíèÿìè,
ïàðàëëåëüíûìè
îñè
Ox
,
à
ñëåâà
è
ñïðàâà
îãðàíè÷åííóþ
íåïðåðûâíûìè
êðè-
âûìè
x
=
x
1
(
y
)
è
x
=
x
2
(
y
)
(ðèñ.
3).
èñ.
3
Ò
àêóþ
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
íàçîâåì
ïðîñòîé
îòíîñè-
òå
ëüíî
îñè
Ox
.
Ò
åîðåìà
2.
Ïóñòü
óíêöèÿ
f
(
x, y
)
èíòåãðèðóå
ìà
íà
D
è
äëÿ
êàæäîãî
èêñèðîâàííîãî
y
∈
[
c, d
]
ñóùåñòâóåò
èíòå-
7
ãð
àë
x
2
(
y
)
R
x
1
(
y
)
f
(
x, y
)
dx
,
òîãäà
ñóùåñòâóåò
ïîâòîðíûé
èíòåãð
àë
d
Z
c
dy
x
2
(
y
)
Z
x
1
(
y
)
f
(
x, y
)
dx
è
îí
ð
àâåí
äâîéíî
ìó
Z Z
D
f
(
x, y
)
dxdy.
Ò
àêèì
îáðàçîì
äëÿ
ïðîñòîé
îòíîñèòå
ëüíî
îñè
Ox
îáëà-
ñòè
èíòåãðèðîâàíèÿ
ñïðàâåäëèâà
îðìó
ëà
Z Z
D
f
(
x, y
)
dxdy
=
d
Z
c
dy
x
2
(
y
)
Z
x
1
(
y
)
f
(
x, y
)
dx.
(4)
Â
îðìó
ëàõ
(3)
è
(4)
ïðèñóòñòâóþò
ïîâòîðíûå
èíòåã-
ðàëû,
ê
îòîðûå
îò
ëè÷àþòñ
ÿ
äðóã
îò
äðóã
à
ëèøü
ïîð
ÿäê
îì
èõ
âû÷èñëåíèÿ.
È
â
òîé
è
â
äðóãîé
îðìó
ëàõ
èíòåãðàëû
âû÷èñëÿþòñ
ÿ
ñïðàâà
íàëåâî,
òî
åñòü
ñíà
÷àëà
âû÷èñëÿåò-
ñ
ÿ
èíòåãðàë,
ñòî
ÿùèé
ñïðàâà
(âíóòðåííèé
èíòåãðàë),
ïðè
ýòîì
ïåðåìåííàÿ,
ê
îòîðàÿ
íå
ñòîèò
ïî
ä
çíàê
îì
äèåðåí-
öèàëà,
ñ÷èò
àåòñ
ÿ
ïîñòî
ÿííîé,
à
çàòåì
âû÷èñëÿåòñ
ÿ
âòîðîé
(âíåøíèé)
èíòåãðàë
îò
óíêöèè,
ïîëó÷åííîé
â
ðåçó
ëü
ò
àòå
âû÷èñëåíèÿ
âíóòðåííåãî
èíòåãðàëà,
ïî
îñò
àâøåéñ
ÿ
âòîðîé
ïåðåìåííîé.
Çàìå÷àíèå:
íóæíî
ïîìíèòü,
÷òî
â
ñèëó
ñâîåãî
îïðåäåëå-
íèÿ
äâîéíîé
èíòåãðàë
ýòî
÷èñëî,
ïîýòîìó
ïðåäåëû
èíòåãðè-
ðîâàíèÿ
âî
âíåøíåì
èíòåãðàëå
äîëæíû
áûòü
âñåã
äà
ïîñòî-
ÿííûìè,
à
ïðåäåëû
âíóòðåííåãî
èíòåãðàëà
ìîãóò
çàâèñåòü
îò
òîé
ïåðåìåííîé,
ê
îòîðàÿ
íå
ñòîèò
â
íåì
ïî
ä
çíàê
îì
äè-
åðåíöèàëà.
8
Ïðåäåëû
èíòåãðèðîâàíèÿ
ìîãóò
áûòü
ïîñòî
ÿííûìè
ê
àê
âî
âíåøíåì,
ò
àê
è
âî
âíóòðåííåì
èíòåãðàëå
òîëüê
î
â
ñëó÷àå
ïð
ÿìîóãîëüíîé
îáëàñòè
èíòåãðèðîâàíèÿ
(ðèñ.
4).
èñ.
4
Åñëè
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
ÿâëÿåòñ
ÿ
ïðîñòîé
ê
àê
îò-
íîñèòåëüíî
îñè
Oy
,
ò
àê
è
îòíîñèòåëüíî
îñè
Ox
,
òî
ïðèìå-
íÿòü
äëÿ
âû÷èñëåíèÿ
äâîéíîãî
èíòåãðàëà
ìî
æíî
ê
àê
îð-
ìó
ëó
(3),
ò
àê
è
îðìó
ëó
(4).
Âûáîð
îïðåäåëÿåòñ
ÿ
âèäîì
ïî
äûíòåãðàëüíîé
óíêöèè
f
(
x, y
)
.
Âûáèðàåì
ïîð
ÿäîê
èíòå-
ãðèðîâàíèÿ
ò
àê,
÷òîáû
ïîâòîðíûå
èíòåãðàëû
âû÷èñëÿëèñü
ïðîùå.
Äàëåå
áó
äåì
ðàññìàòðèâàòü
íåïðåðûâíûå
íà
îáëàñòè
èí-
òåãðèðîâàíèÿ
óíêöèè
f
(
x, y
)
,
ïîñê
îëüêó
,
åñëè
óíêöèÿ
íå-
ïðåðûâíà
íà
çàìêíóòîé
îáëàñòè
D
,
òî
îíà
èíòåãðèðó
åìà
íà
íåé
è
îðìó
ëû
(3),
(4)
èìåþò
ìåñòî.
Çàìå÷àíèå:
ó
ñëîâèå
íåïðåðûâíîñòè
ÿâëÿåòñ
ÿ
äîñò
àòî÷-
íûì
äëÿ
èíòåãðèðó
åìîñòè
óíêöèè.
Ýòî
îçíà
÷àåò
,
÷òî
äâîé-
íîé
èíòåãðàë
ìî
æ
åò
ñóùåñòâîâàòü
íå
òîëüê
î
äëÿ
íåïðåðûâ-
íûõ
óíêöèé.
Íà
ïðàêòèê
å
ïðè
ñâåäåíèè
äâîéíîãî
èíòåãðàëà
ê
ïîâòîð-
íîìó
íóæíî
óìåòü
îò
ëè÷àòü
ñëî
æíûå
îáëàñòè
èíòåãðèðîâà-
íèÿ
îò
ïðîñòûõ,
ðàññìîòðåííûõ
âûøå.
Äëÿ
ýòîãî
åñòü
îòíîñèòåëüíî
ïðîñòîé
ïðèåì.
9
×òîáû
ïðîâåðèòü,
÷òî
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
D
ÿâëÿåò-
ñ
ÿ
ïðîñòîé
îòíîñèòåëüíî
îñè
Oy
,
çàèê
ñèðó
åì
îáëàñòü
èçìå-
íåíèÿ
ïåðåìåííîé
x
îòðåçîê
[
a, b
]
îñè
Ox
,
ïðîâåäåì
÷åðåç
ê
àæäóþ
òî÷êó
îòðåçê
à
[
a, b
]
âåðòèê
àëüíóþ
ïð
ÿìóþ
(ðèñ.
5).
èñ.
5
Åñëè
ê
àæäàÿ
ò
àê
àÿ
ïð
ÿìàÿ
ïåðåñåê
àåò
ãðàíèöó
îáëàñòè
D
íå
áîëåå
÷åì
â
äâóõ
òî÷ê
àõ
(ó
ñëîâèå
1),
à
íèæíÿÿ
è
âåð
õ-
íÿÿ
÷àñòè
ãðàíèöû,
çàêëþ÷åííûå
ìåæäó
ïð
ÿìûìè
x
=
a
è
x
=
b
,
îïèñûâàþòñ
ÿ
ê
àæäàÿ
î
äíèì
ÿâíûì
óðàâíåíèåì
y
=
y
1
(
x
)
è
y
=
y
2
(
x
)
ñîîòâåòñòâåííî
(ó
ñëîâèå
2),
òî
îáëàñòü
D
ÿâëÿåòñ
ÿ
ïðîñòîé
îòíîñèòåëüíî
îñè
Oy
è
îïðåäåëÿåòñ
ÿ
ó
ñëîâèÿìè:
a
≤
x
≤
b
,
y
1
(
x
)
≤
y
≤
y
2
(
x
)
.
Åñëè
íå
âûïîëíÿåòñ
ÿ
î
äíî
èç
ó
ñëîâèé,
òî
îáëàñòü
èíòåãðè-
ðîâàíèÿ
íå
ÿâëÿåòñ
ÿ
ïðîñòîé
îòíîñèòåëüíî
îñè
Oy
è
äëÿ
ñâåäåíèÿ
äâîéíîãî
èíòåãðàëà
ê
ïîâòîðíîìó
îðìó
ëîé
(3)
ñðàçó
ïîëüçîâàòüñ
ÿ
íåëüçÿ.
Çàìå÷àíèå:
1)
åñëè
íå
âûïîëíÿåòñ
ÿ
ó
ñëîâèå
1,
òî
îáëàñòü
ñëåäó
åò
ðàçáèòü
íà
ïðîñòûå
ïð
ÿìûìè,
ïàðàëëåëüíûìè
îñè
Oy
(ðèñ.
6,
à).
2)
åñëè
íå
âûïîëíÿåòñ
ÿ
ó
ñëîâèå
2,
òî
îáëàñòü
íóæíî
ðàç-
áèòü
íà
ïðîñòûå
ïð
ÿìûìè,
ïàðàëëåëüíûìè
îñè
Oy
è
ïðî-
õ
î
äÿùèìè
÷åðåç
òî÷êè
îáëàñòè
D
,
â
ê
îòîðûõ
èçìåíÿåòñ
ÿ
10