ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 452
Скачиваний: 1
ã
äå
îáëàñòü
D
çàäàíà
ó
ñëîâèÿìè:
4
x
≤
x
2
+
y
2
≤
8
x,
1
2
x
≤
y
≤
√
3
x
;
14)
Z Z
D
xydxdy,
ã
äå
îáëàñòü
D
çàäàíà
ó
ñëîâèÿìè:
(
x
−
1)
2
+ (
y
−
1)
2
≤
1
;
15)
Z Z
D
p
x
2
+
y
2
dxdy,
ã
äå
îáëàñòü
D
çàäàíà
ó
ñëîâèÿìè:
x
2
+
y
2
−
6
x
≤
0
.
4.
Ïðèëî
æ
åíèÿ
äâîéíîãî
èíòåãðàëà
ê
ãåîìåòðèè
è
èçèê
å
Äâîéíûå
èíòåãðàëû
øèðîê
î
èñïîëüçóþòñ
ÿ
ïðè
ðåøåíèè
ðàçëè÷íûõ
ãåîìåòðè÷åñêèõ
è
èçè÷åñêèõ
çàäà
÷.
àññìîò-
ðèì
íåê
îòîðûå
îñíîâíûå
ïðèìåðû
ïðèìåíåíèÿ
äâîéíîãî
èí-
òåãðàëà.
Ïðèëî
æ
åíèÿ
ê
ãåîìåòðèè
1.
Âû÷èñëåíèå
ïëîùàäè
ïëîñê
îé
îáëàñòè
Ïó
ñòü
D
îãðàíè÷åííàÿ
ïëîñê
àÿ
îáëàñòü,
òîã
äà
åå
ïëî-
ùàäü
S
D
ìî
æíî
âû÷èñëèòü
ïî
îðìó
ëàì:
â
äåêàðòîâîé
ñèñòå
ìå
êîîðäèíàò
S
D
=
Z Z
D
dxdy,
(14)
â
ïî
ëÿðíîé
ñèñòå
ìå
êîîðäèíàò
S
D
=
Z Z
Ω
rdrdϕ,
(15)
41
Çàìå÷àíèå:
ïðè
ïåðåõ
î
äå
ê
ïîëÿðíûì
ê
îîð
äèíàò
àì
ýëå-
ìåíò
ïëîùàäè
ïðåîáðàçó
åòñ
ÿ
ïî
îðìó
ëå
dxdy
=
|
J
|
drdϕ
=
rdrdϕ.
Ïðèìåð
7
Íàéòè
ïëîùàäü
èãóðû,
îãðàíè÷åííîé
êðèâûìè,
çàäàí-
íûìè
â
ïîëÿðíîé
ñèñòåìå:
r
= 3 cos
ϕ, r
= 3(1 + cos
ϕ
)
.
åøåíèå
1.
Èçîáðàçèì
èãóðó
íà
ïëîñê
îñòè
(ðèñ.
20).
èñ.
20
Èç
ðèñóíê
à
âèäèì,
÷òî
èãóðà
ñèììåòðè÷íà
îòíîñèòåëü-
íî
ïîëÿðíîé
îñè,
ïîýòîìó
äëÿ
âû÷èñëåíèÿ
ïëîùàäè
ìî
æíî
âû÷èñëèòü
äâîéíîé
èíòåãðàë
òîëüê
î
ïî
âåð
õíåé
ïîëîâèíå
èãóðû
Ω
/
2
è
ïîëó÷åííûé
ðåçó
ëü
ò
àò
óìíî
æèòü
íà
äâà.
Çàìå÷àíèå:
åñëè
èãóðà
îáëàäàåò
ñèììåòðèåé,
òî
äëÿ
íàõ
î
æäåíèÿ
åå
ïëîùàäè
ìî
æíî
âû÷èñëÿòü
äâîéíîé
èíòå-
ãðàë
ïî
î
äíîé
èç
÷àñòåé,
à
ðåçó
ëü
ò
àò
óìíî
æ
àòü
íà
ê
îëè÷å-
ñòâî
÷àñòåé.
42
2.
Îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
Ω
/
2
íå
ÿâëÿåòñ
ÿ
ïðîñòîé,
ïî-
ýòîìó
åå
íóæíî
ðàçáèòü
íà
äâå
ïðîñòûå
ëó÷îì
ϕ
=
π/
2
,
à
çàòåì
ðàññò
àâèòü
ïðåäåëû
èíòåãðèðîâàíèÿ
ïî
ê
àæäîé
îáëà-
ñòè.
Èñïîëüçó
ÿ
îðìó
ëó
(15),
ïîëó÷àåì
S
= 2
Z Z
Ω
/
2
rdrdϕ
= 2
π/
2
Z
0
dϕ
3(1+cos
ϕ
)
Z
3 cos
ϕ
rdr
+
π
Z
π/
2
dϕ
3(1+cos
ϕ
)
Z
0
rdr
=
= 2
π/
2
Z
0
dϕ
r
2
2
3(1+cos
ϕ
)
3 cos
ϕ
+
π
Z
π/
2
dϕ
r
2
2
3(1+cos
ϕ
)
0
=
= 9
π/
2
Z
0
(1 + cos
ϕ
)
2
−
cos
2
ϕ
dϕ
+
π
Z
π/
2
(1 + cos
ϕ
)
2
dϕ
=
= 9
π/
2
Z
0
(1 + cos
ϕ
)
dϕ
+
π
Z
π/
2
(1 + 2 cos
ϕ
+ cos
2
ϕ
)
dϕ
=
= 9
π/
2
Z
0
(1 + cos
ϕ
)
dϕ
+
π
Z
π/
2
(1 + 2 cos
ϕ
)
dϕ
+
π
Z
π/
2
cos
2
ϕdϕ
=
= 9
π
Z
0
(1 + cos
ϕ
)
dϕ
+
π
Z
π/
2
1 + cos 2
ϕ
2
dϕ
=
= 9
(
ϕ
+ 2 sin
ϕ
)
|
π
0
+
1
2
ϕ
+
sin 2
ϕ
4
π
π/
2
!
=
45
4
π.
Îòâåò:
45
4
π.
43
Çàäà
֏
äëÿ
ñàìîñòî
ÿòåëüíîãî
ðåøåíèÿ
Çàäà
ֈ
5
Âû÷èñëèòü
ïëîùàäè
èãóð,
îãðàíè÷åííûõ
êðèâûìè:
1)
x
2
+
y
2
≤
9
, x
≥
0
;
2)
x
2
+
y
2
≥
2
x, x > y
;
3)
x
2
+
y
2
≤
2
x
;
4)
3
y
≤
x
2
+
y
2
≤
9
, x
≥
0
, y
≥
0
;
5)
1
≤
x
2
+
y
2
≤
2
x
;
6)
2
x
≤
x
2
+
y
2
≤
4
x, y
≥
0
;
7)
x
2
+
y
2
≤
4
, y
−
x
≥
0
;
8)
x
2
+
y
2
≤
3
, x
−
y
≤
0
;
9)
x
2
+
y
2
≤
1
;
10)
x
2
+
y
2
≤
4
, y
≥
0
, x
≥
0
;
11)
9
≤
x
2
+
y
2
≤
25
;
12)
3
x
≤
x
2
+
y
2
≤
6
x, y
≥
0
;
13)
4
x
≤
x
2
+
y
2
≤
8
x,
1
2
x
≤
y
≤
√
3
x
;
14)
(
x
−
1)
2
+ (
y
−
1)
2
≤
1
;
15)
x
2
+
y
2
−
6
x
≤
0
.
2.
Âû÷èñëåíèå
ïëîùàäè
ïîâåð
õíîñòè
Ïó
ñòü
íåïðåðûâíî
äèåðåíöèðó
åìàÿ
ïîâåð
õíîñòü
çàäà-
íà
ÿâíûì
óðàâíåíèåì
z
=
f
(
x, y
)
,
ã
äå
(
x, y
)
∈
D
,
D
ïðî-
åêöèÿ
ïîâåð
õíîñòè
íà
ïëîñê
îñòü
xOy
,
òîã
äà
ïëîùàäü
ýòîé
ïîâåð
õíîñòè
âû÷èñëÿåòñ
ÿ
ïî
îðìó
ëå
S
=
Z Z
D
q
1 + (
z
′
x
)
2
+ (
z
′
y
)
2
dxdy.
(16)
Àíàëîãè÷íûå
îðìó
ëû
ìî
æíî
çàïèñàòü
äëÿ
íàõ
î
æäåíèÿ
ïëîùàäè
ïîâåð
õíîñòè,
åñëè
îíà
çàäàíà
ÿâíûì
óðàâíåíèåì
44
x
=
f
(
y, z
)
,
ã
äå
(
y, z
)
∈
D
,
D
ïðîåêöèÿ
ïîâåð
õíîñòè
íà
ïëîñê
îñòü
yOz
:
S
=
Z Z
D
q
1 + (
x
′
y
)
2
+ (
x
′
z
)
2
dydz
(17)
èëè
óðàâíåíèåì
y
=
f
(
x, z
)
,
ã
äå
(
x, z
)
∈
D
,
D
ïðîåêöèÿ
ïîâåð
õíîñòè
íà
ïëîñê
îñòü
xOz
:
S
=
Z Z
D
p
1 + (
y
′
x
)
2
+ (
y
′
z
)
2
dxdz.
(18)
Ïðèìåð
8
Íàéòè
ïëîùàäü
÷àñòè
ïîâåð
õíîñòè
ê
îíó
ñà
x
2
+
y
2
=
z
2
,
âûðåçàåìîé
èç
íåå
öèëèíäðîì
ñ
îáðàçóþùèìè
ïàðàëëåëü-
íûìè
îñè
Oz
,
íàïðàâëÿþùåé
ê
îòîðîãî
ñëóæèò
ê
àð
äèîèäà
r
=
a
(1 + cos
ϕ
)
.
åøåíèå
1.
àññìàòðèâàåìàÿ
ïîâåð
õíîñòü
ñîñòîèò
èç
äâóõ
î
äèíà-
ê
îâûõ
÷àñòåé,
ñèììåòðè÷íûõ
îòíîñèòåëüíî
ïëîñê
îñòè
xOy
,
ê
àæäàÿ
èç
ê
îòîðûõ
â
ñâîþ
î÷åðåäü
ñèììåòðè÷íà
îòíîñè-
òåëüíî
ïëîñê
îñòè
xOz
,
ïîýòîìó
èñê
îìàÿ
ïëîùàäü
ïîâåð
õ-
íîñòè
áó
äåò
ðàâíà
ïëîùàäè
ïîëîâèíû
âåð
õíåé
÷àñòè
ýòîé
ïîâåð
õíîñòè,
óìíî
æ
åííîé
íà
÷åòûðå.
2.
Âåð
õíÿÿ
÷àñòü
ïîâåð
õíîñòè
ê
îíó
ñà
îïèñûâàåòñ
ÿ
ÿâíûì
óðàâíåíèåì:
z
=
p
x
2
+
y
2
,
ïîýòîìó
èìååì
z
′
x
=
x
p
x
2
+
y
2
,
z
′
y
=
y
p
x
2
+
y
2
è
q
1 + (
z
′
x
)
2
+
z
′
y
2
=
s
1 +
x
2
x
2
+
y
2
+ +
y
2
x
2
+
y
2
=
√
2
.
45