ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 6611
Скачиваний: 50
591
Аналогии между лабораторным и вычислительным экспериментами
Лабораторный эксперимент
Вычислительный эксперимент
Образец
Физический прибор
Калибровка прибора
Измерение .
Анализ данных
Модель
Программа для компьютера
Тестирование программы
Расчет
Анализ данных
Численное моделирование (как и лабораторные эксперименты) чаще всего является инст-
рументом познания качественных закономерностей природы. Важнейшим его этапом, когда рас-
четы уже завершены, является осознание результатов, представление их в максимально наглядной
и удобной для восприятия форме. Забить числами экран компьютера или получить распечатку тех
же чисел не означает закончить моделирование (даже если числа эти верны). Тут на помощь при-
ходит другая замечательная особенность компьютера, дополняющая способность к быстрому сче-
ту - возможность визуализации абстракций. Представление результатов в виде графиков, диа-
грамм, траекторий движения динамических объектов в силу особенностей человеческого воспри-
ятия обогащает исследователя качественной информацией. Во многих рассматриваемых ниже фи-
зических задачах фундаментальную роль играет второй закон Ньютона - основа всей динамики:
В уточненной редакции закон утверждает: ускорение, с которым движется тело в данный
момент времени, пропорционально действующей на него в этот момент силе и обратно пропор-
ционально имеющейся в данный момент у тела массе.
Разные записи этого утверждения:
Связывая мгновенные значения величин, второй закон Ньютона позволяет изучать движе-
ние тел при произвольных изменениях во времени силы и массы.
3.2. СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛА С УЧЕТОМ СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЫ
При реальных физических движениях тел в газовой или жидкостной среде трение наклады-
вает огромный отпечаток на характер движения. Каждый понимает, что предмет, сброшенный с
большой высоты (например, парашютист, прыгнувший с самолета), вовсе не движется равноуско-
ренно, так как по мере набора скорости возрастает сила сопротивления среды. Даже эту. относи-
тельно несложную, задачу нельзя решить средствами «школьной» физики; таких задач, представ-
ляющих практический интерес, очень много. Прежде чем приступать к обсуждению соответст-
вующих моделей, вспомним, что известно о силе сопротивления.
Закономерности, обсуждаемые ниже, носят эмпирический характер и отнюдь не имеют
столь строгой и четкой формулировки, как второй закон Ньютона. О силе сопротивления среды
движущемуся телу известно, что она, вообще говоря, растет с ростом скорости (хотя это утвер-
ждение не является абсолютным). При относительно малых скоростях величина силы сопротивле-
ния пропорциональна скорости и имеет место соотношение F
coпp
=
k
1
v,
где
k
1
определяется свойст-
вами среды и формой тела. Например, для шарика
k
1
= 6
πμr -
это формула Стокса, где
μ
-
динамическая вязкость среды,
r -
радиус шарика. Так, для воздуха при
t
= 20°С и давлении 1 атм
.μ
= 0,0182 Н∙с∙м
-2
, для воды 1,002 Н∙с∙м
-2
, для глицерина 1480 Н∙с∙м
-2
.
Оценим, при какой скорости для падающего вертикально шара сила сопротивления сравня-
ется с силой тяжести (и движение станет равномерным).
Имеем
592
или
Пусть
r
= 0,1 м,
ρ
= 0,8∙10
3
кг/м
3
(дерево). При падении в воздухе
v*
≈ 960 м/с, в воде
v
*≈ 17
м/с, в глицерине
v*
≈ 0,012 м/с.
На самом деле первые два результата совершенно не соответствуют действительности. Де-
ло в том, что уже при гораздо меньших скоростях сила сопротивления становится пропорциональ-
ной квадрату скорости: F
coпp
=
k
2
v
2
.
Разумеется, линейная по скорости часть силы сопротивления
формально также сохранится, но если
k
2
v
2
>>
k
1
v,
то вкладом
k
1
v
можно пренебречь (это конкрет-
ный пример ранжирования факторов). О величине
k
2
известно следующее: она пропорциональна
площади сечения тела
S,
поперечного по отношению к потоку, и плотности среды
ρ
среды
и зависит
от формы тела. Обычно представляют
k
2
= 0,5
сSρ
срeды
, где
с -
коэффициент лобового сопротивле-
ния - безразмерен. Некоторые значения
с
(для не очень больших скоростей) приведены на рис. 7.6.
При достижении достаточно большой скорости, когда образующиеся за обтекаемым телом
вихри газа или жидкости начинают интенсивно отрываться от тела, значение с в несколько раз
уменьшается; для шара оно становится приблизительно равным 0,1. Подробности можно найти в
специальной литературе.
Вернемся к указанной выше оценке, исходя из квадратичной
зависимости силы
сопротив-
ления от скорости.
Имеем
или
(7.4)
593
Рис. 7.6.
Значения коэффициента лобового сопротивления
для
некоторых тел, поперечное сечение которых
имеет указанную на рисунке форму (см. книгу П.А.Стрелкова)
Для шарика
(7.5)
Примем
r
= 0,1 м,
ρ
= 0,8∙10
3
кг/м
3
(дерево). Тогда для движения в воздухе (
ρ
возд
= 1,29 кг/м
3
)
получаем
v*
≈ 18 м/с, в воде (
ρ
воды ≈ 1∙10
3
кг/м
3
)
v*
≈ 0,65 м/с, в глицерине (
ρ
глицерина
= 1,26∙10
3
кг/м
3
)
v
* ≈ 0,58 м/с.
Сравнивая с приведенными выше оценками линейной части силы сопротивления, видим,
что для движения в воздухе и в воде ее квадратичная часть сделает движение равномерным задол-
го до того, как это могла бы сделать линейная часть, а для очень вязкого глицерина справедливо
обратное утверждение. Рассмотрим свободное падение с учетом сопротивления среды. Математи-
ческая модель движения - уравнение второго закона Ньютона с учетом двух сил, действующих на
тело; силы тяжести и силы сопротивления среды:
(7.6)
594
Движение является одномерным; проецируя векторное уравнение на ось, направленную
вертикально вниз, получаем
(7.7)
Вопрос, который мы будем обсуждать на первом этапе, таков: каков характер изменения
скорости со временем, если все параметры, входящие в уравнение (7.7), заданы? При такой поста-
новке модель носит сугубо дескриптивный характер. Из соображений здравого смысла ясно, что
при наличии сопротивления, растущего со скоростью, в какой-то момент сила сопротивления
сравняется с силой тяжести, после чего скорость больше возрастать не будет. Начиная с этого мо-
мента,
dv/dt
= 0, и соответствующую установившуюся скорость
v
~ можно найти из условия
mg –
k
1
v – k
2
v
2
= 0 , решая не дифференциальное, а квадратное уравнение. Имеем
(7.8)
(второй - отрицательный - корень, естественно, отбрасываем). Итак, характер движения качест-
венно таков: скорость при падении возрастает от
v
0
до
v
~
;
как и по какому закону - это можно уз-
нать, лишь решив дифференциальное уравнение (7.7).
Однако, даже в столь простой задаче мы пришли к дифференциальному уравнению, кото-
рое не относится ни к одному из стандартных типов, выделяемых в учебниках по дифференциаль-
ным уравнениям, допускающих очевидным образом аналитическое решение. II хотя это не дока-
зывает невозможность его аналитического решения путем хитроумных подстановок, но они не
очевидны (один из лучших помощников в их поиске - справочник Камке). Допустим, однако, что
нам удастся найти такое решение, выраженное через суперпозицию нескольких алгебраических и
трансцендентных функций - а как найти закон изменения во времени перемещения? - Формальный
ответ прост:
(7.9)
но шансы на реализацию этой квадратуры уже совсем невелики. Дело в том, что класс привычных
нам элементарных функций очень узок, и совершенно стандартна ситуация, когда интеграл от су-
перпозиции элементарных функций не может быть выражен через элементарные функции в прин-
ципе. Математики давно расширили множество функций, с которыми можно работать почти так
же просто, как с элементарными (т.е. находить значения, различные асимптотики, строить графи-
ки, дифференцировать, интегрировать). Тем, кто знаком с функциями Бесселя, Лежандра, инте-
гральными функциями и еще двумя десятками других, так называемых, специальных функций,
легче находить аналитические решения задач моделирования, опирающихся на аппарат диффе-
ренциальных уравнений. Однако даже получение результата в виде формулы не снимает пробле-
мы представления его в виде, максимально доступном для понимания, чувственного восприятия,
ибо мало кто может, имея формулу, в которой сопряжены логарифмы, степени, корни, синусы и
тем более специальные функции, детально представить себе описываемый ею процесс -а именно
это есть цель моделирования.
В достижении этой цели компьютер - незаменимый помощник. Независимо от того, какой
будет процедура получения решения - аналитической или численной, -задумаемся об удобных
способах представления результатов. Разумеется, колонки чисел, которых проще всего добиться
от компьютера (что при табулировании формулы, найденной аналитически, что в результате чис-
ленного решения дифференциального уравнения), необходимы; следует лишь решить, в какой
форме и размерах они удобны для восприятия. Слишком много чисел в колонке быть не должно,
595
их трудно будет воспринимать, поэтому шаг, с которым заполняется таблица, вообще говоря, го-
раздо больше шага, с которым решается дифференциальное уравнение в случае численного интег-
рирования, т.е. далеко не все значения
v
и
S,
найденные компьютером, следует записывать в ре-
зультирующую таблицу (табл. 7.2).
Таблица 7.2
Зависимость перемещения и скорости падения «безпарашютиста» от времени (от 0 до 15 с)
t(c)
S
(
M
)
v
(м/с)
t(с)
S(м)
v
(м/с)
0
0
0
8
200,1
35,6
1
4,8
9,6
9
235,9
36,0
2
18,7
17,9
10
272,1
36,3
3
40,1
24,4
11
308,5
36,4
4
66,9
28,9
12
345,0
36,5
5
97,4
31,9
13
381,5
36,6
6
130,3
33,8
14
418.1
36,6
7
164,7
35,0
15
454,7
36,6
Кроме таблицы необходимы графики зависимостей
v(t)
и
S(t);
по ним хорошо видно, как
меняются со временем скорость и перемещение, т.е. приходит качественное
понимание процесса.
Еще один элемент наглядности может внести изображение падающего тела через равные
промежутки времени. Ясно, что при стабилизации скорости расстояния между изображениями
станут равными. Можно прибегнуть и к цветовой раскраске - приему научной графики, описанно-
му выше.
Наконец, можно запрограммировать звуковые сигналы, которые подаются через каждый
фиксированный отрезок пути, пройденный телом - скажем, через каждый метр или каждые 100
метров - смотря по конкретным обстоятельствам. Надо выбрать интервал так, чтобы вначале сиг-
налы были редкими, а потом, с ростом скорости, сигнал слышался все чаще, пока промежутки не
сравняются. Таким образом, восприятию помогают элементы мультимедиа. Поле для фантазии
здесь велико.
Приведем конкретный пример решения задачи о свободно падающем теле. Герой знамени-
того фильма «Небесный тихоход» майор Булочкин, упав с высоты 6000 м в реку без парашюта, не
только остался жив, но даже смог снова летать. Попробуем понять, возможно ли такое на самом
деле или же подобное случается только в кино. Учитывая сказанное выше о математическом ха-
рактере задачи, выберем путь численного моделирования. Итак, математическая модель выража-
ется системой дифференциальных уравнений
(7.10)
Разумеется, это не только абстрактное выражение обсуждаемой физической ситуации, но и
сильно идеализированное, т.е. ранжирование факторов перед построением математической моде-
ли произведено. Обсудим, нельзя ли произвести дополнительное ранжирование уже в рамках са-
мой математической модели с учетом конкретно решаемой задачи, а именно - будет ли влиять на
полет парашютиста линейная часть силы сопротивления и стоит ли ее учитывать при моделирова-
нии.
Так как постановка задачи должна быть конкретной, мы примем соглашение, каким обра-
зом падает человек. Он - опытный летчик и наверняка совершал раньше прыжки с парашютом, по-
этому, стремясь уменьшить скорость, он падает не «солдатиком», а лицом вниз, «лежа», раскинув
руки в стороны. Рост человека возьмем средний - 1,7 м, а полуобхват грудной клетки выберем в
качестве характерного расстояния - это приблизительно 0,4 м. Для оценки порядка величины ли-
нейной составляющей силы сопротивления воспользуемся формулой Стокса. Для оценки квадра-