ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 6607
Скачиваний: 50
596
тичной составляющей силы сопротивления мы должны определиться со значениями коэффициен-
та лобового сопротивления и площадью тела. Выберем в качестве коэффициента число
с =
1,2 как
среднее между коэффициентами для диска и для полусферы (выбор для качественной оценки
правдоподобен). Оценим площадь: S
=
1,7∙0,4=0,7 (м
2
).
Выясним, при какой скорости сравняются линейная и квадратичная составляющие силы
сопротивления. Обозначим эту скорость
v**.
Тогда
или
Ясно, что практически с самого начала скорость падения майора Булочкина гораздо боль-
ше, и поэтому линейной составляющей силы сопротивления можно пренебречь, оставив лишь
квадратичную составляющую.
После оценки всех параметров можно приступить к численному решению задачи. При этом
следует воспользоваться любым из известных численных методов интегрирования систем обык-
новенных дифференциальных уравнений: методом Эйлера, одним из методов группы Рунге - Кут-
та, одним из многочисленных неявных методов. Разумеется, у них разная устойчивость, эффек-
тивность и т.д. - эти сугубо математические проблемы здесь не обсуждаются. Программа, реали-
зующая метод Рунге - Кутта четвертого порядка, может быть взята из примера, приведенного в
следующем параграфе или из какого-нибудь стандартного пакета математических программ.
Отметим, что существует немало программ, моделирующих простые физические процессы
типа рассматриваемого. У них реализован, в той или иной мере профессионально, диалоговый ин-
терфейс, позволяющий вводить параметры, получать на экране таблицы, графики, движущиеся
изображения. Однако в них, как правило, остаются скрытыми физические законы, определяющие
процесс, ограничения модели, возможности ее усовершенствования. Такие программы полезны
скорее как сугубо иллюстративные.
Вычисления производились до тех пор, пока «безпарашютист» не опустился
на
воду. При-
мерно через 15 с после начала полета скорость стала постоянной и оставалась такой до приземле-
ния (рис. 7.7). Отметим, что в рассматриваемой ситуации сопротивление воздуха радикально ме-
няет характер движения; при отказе от его учета график скорости, изображенный на рисунке, за-
менился бы касательной к нему в начале координат.
Рис. 7.7.
График зависимости скорости падения «безпарашютиста» от времени
В некоторых случаях для ускорения процесса работы над какой-либо задачей целесообраз-
но вместо составления программы воспользоваться готовой прикладной программой (например,
табличным процессором). Покажем это на примере рассматриваемой задачи. В табл. 7.3 представ-
лен небольшой фрагмент из табличного процессора Excel. Решение находится с помощью, так на-
597
зываемого, исправленного метода Эйлера - одного из возможных вариантов метода Рунге - Кутта
второго порядка.
Кроме того, в ячейках D2, D4, D6 в таблице будем хранить соответственно значения шага
вычислений, массы «безпарашютиста», величины
mg
. Это связано с тем, что все константы также
удобно хранить в отдельных ячейках, чтобы в случае их изменения не пришлось переписывать
расчетные формулы. Достаточно записать
Таблица 7.3
Фрагмент таблицы, где представлено решение задачи о «безпарашютнсте»
А
В
1 t
v
2
3 0
0
4 =СУММ(АЗ; D2)
=B3+D2/2* ( (D6-D8*B3^2) /D4+(D6-D8*(B3+D2*(D6-D8*B3^2)/D4)^2)/D4)
5 =СУММ(А4; D2)
=B4+D2/2* ( (D6-D8*B4^2) /D4+(D6-D8* (B4+D2* (D6- D8*B4^2)/D4)^2)/D4)
6 =СУММ(А5; D2)
=B5+D2/2*( (D6-D8*B5^2)/D4+(D6-D8*(B5+D2*(D6-D8*B5^2)/D4)^2)/D4)
7 =СУМM(А6; D2)
=B6+D2/2* ( (D6-D8*B6^2) /D4+ (D6-D8* (B6+D2* (D6-D8*B6^2)/D4)^2)/D4)
8 =СУММ(А7; D2)
=B7+D2/2*((D6-D8*B7^2)/D4+(D6-D8*(B7+D2*(D6-D8*B7^2)/D4)^2)/D4)
формулу правильно один раз, а затем скопировать в остальные ячейки, при этом, как известно, она
«настраивается» на соответствующую ячейку.
Таблица 7.4
Результаты вычислений, выполненных в табличном процессоре
А
В
С
D
1
t
v
H
2
0,001
3
0
0
т
4
0,001
0,00981
80
5
0,002
0,01962
m*g
6
0,003
0,02943
784,8
7
0,004
0,03924
k2
8
0,005
0,04905
0,55083
9
0,006
0,05886
Следует заметить, что для хранения результатов расчетов в данном случае требуется очень
много ячеек таблицы, и хотя современные табличные процессоры позволяют хранить большой
объем информации, в случае нехватки памяти рекомендуется увеличить шаг, с которым проводят-
ся вычисления (при этом пожертвуем точностью вычислений). Табличный процессор позволяет
представлять результаты расчетов и в графической форме. Можно при работе над задачей полу-
чить результаты двумя способами: с помощью табличного процессора и составлением собствен-
ной программы - для того. чтобы затем сравнить эти результаты и временные затраты каждого из
способов. Но, несмотря на успешное применение табличного процессора при решении простей-
шей учебной задачи, следует признать, что для решения более громоздких в вычислительном пла-
не задач предпочтительнее программировать самим. А теперь ответим на вопрос, поставленный в
задаче. Известен такой факт: один из американских каскадеров совершил прыжок в воду с высоты
75 м (Бруклинский мост), и скорость приземления была 33 м/с. Сравнение этой величины с полу-
чившейся у нас конечной скоростью 37,76 м/с позволяет считать описанный в кинофильме эпизод
вполне возможным. Обсуждаемой модели можно придать черты оптимизационной, поставив зада-
чу так: парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на какой высоте
(или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления безо-
598
пасную скорость? Или по-другому: как связана высота прыжка с площадью поперечного сечения
парашюта (входящей в
k
2
), чтобы скорость приземления была безопасной? Выполнение таких ис-
следований многократно более трудоемко, нежели просто изучение одного прыжка при заказан-
ных условиях.
3.3. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ.
ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ
Рассмотрим эту известную задачу с учетом сопротивления воздуха. Будучи брошенным под
углом
α
к горизонту с начальной скоростью
v
0
,
тело летит, если не учитывать сопротивления воз-
духа, по параболе, и через некоторое время падает на землю. Напомним элементарное решение
этой задачи. Разложим скорость на горизонтальную и вертикальную составляющие:
Поскольку движение по вертикали происходит под действием постоянной силы тяжести, то
оно является равнозамедленным до достижения верхней точки на траектории и равноускоренным -
после нее; движение же по горизонтали является равномерным. Из формул равноускоренного
движения
v
y
= v
)
0
(
y
-gt;
раз в верхней точке
v
y
= 0, то время достижения верхней точки на траекто-
рии
Высота этой точки
Полное время движения до падения на землю 2
t
~ ; за это время, двигаясь равномерно вдоль
оси
х
со скоростью
v
)
0
(
x
,
тело пройдет путь
Для нахождения траектории достаточно из текущих значений
x
и
у
исключить
t
:
следовательно,
(7.11)
Уравнение (7.11) - уравнение параболы.
Полученные формулы могут, в частности, послужить для тестирования будущей компью-
терной программы. При достаточно большой начальной скорости сопротивление воздуха может
значительно изменить характер движения. Прежде чем выписывать уравнения, вновь оценим, ка-
кая из составляющих силы сопротивления - линейная или квадратичная по скорости - дает боль-
ший вклад в эту силу, и нельзя ли одной из этих составляющих пренебречь. Оценку проведем для
шарика; по порядку величины оценка не зависит от формы тела. Итак, шарик радиусом
r
≈ 0,1 м,
движущийся со скоростью ~ 1 м/с, испытывает в воздухе линейную (стоксову) силу сопротивле-
599
ния
и квадратичную силу сопротивления
Величины
F
1
и
F
2
сопоставимые (как принято говорить, «одного порядка», так как они раз-
личаются менее, чем в 5 раз). При увеличении размера тела
F
2
растет быстрее, чем
F
1
(F
1
~ r, F
2
~
r
2
),
при увеличении скорости
F
2
также растет быстрее, чем
F
1
(F
1
~ v, F
2
~ v
2
).
Таким образом, если
мы моделируем движение брошенного мяча, камня, то необходимо в уравнениях удерживать обе
составляющие силы сопротивления, но если мы захотим моделировать полет снаряда, выпущенно-
го из орудия, где скорость полета почти на всем его протяжении сотни метров в секунду, то ли-
нейной составляющей силы сопротивления можно пренебречь. Проецируя уравнение
m
F
dt
v
d
на
оси
х
и
у,
получаем
Поскольку в каждой точке траектории сила сопротивления направлена по касательной к
траектории в сторону, противоположную движению, то
где
θ -
угол между текущим направлением скорости и осью
х.
Подставляя это в уравнение и учи-
тывая, что
2
2
y
x
v
v
v
,
получаем уравнения движения в переменных
v
x
,
v
y
.
(7.12)
Поскольку представляет несомненный интерес и траектория движения, дополним систему
(7.12) еще двумя уравнениями
(7.13)
и, решая их совместно с (7.12), будем получать разом четыре функции:
v
x
(t), v
y
(t), x(t)
,
y(t)
.
Прежде чем дать пример решения обсуждаемой задачи, покажем очень полезный прием,
чрезвычайно популярный в физическом моделировании, называемый
обезразмериванием.
При
решении конкретных задач мы пользуемся определенной системой единиц (СИ), в которой далеко
не все числовые значения лежат в удобном диапазоне. Кроме того, абсолютные значения величин
дают мало информации для качественного понимания. Скорость 15 м/с - много это или мало? Все
дело в том, по сравнению с чем. Именно в сравнении с чем-то привычным и понятным мы обычно
и воспринимаем слова «много» и «мало», даже если делаем это бессознательно. Идея обезразме-
600
ривания заключается в переходе от абсолютных значений расстояний, скоростей, времен и т.д. к
относительным, причем отношения строятся к величинам, типичным для данной ситуации. В рас-
сматриваемой задаче это особенно хорошо просматривается. В самом деле, при отсутствии сопро-
тивления воздуха мы имеем значения
l
,
h, t,
определенные выше; сопротивление воздуха изменит
характер движения, и если мы введем в качестве переменных величины
- безразмерные расстояния по осям и время, - то при отсутствии сопротивления воздуха эти
переменные будут изменячься в диапазоне от 0 до 1, а в задаче с учетом сопротивления отличия
их максимальных значений от единицы ясно характеризуют влияние этого сопротивления. Для
скоростей естественно ввести безразмерные переменные, соотнося проекции скорости на оси
x
и
у
с начальной скоростью
v
0
:
Покажем, как перейти к безразмерным переменным в одном из наших уравнений, напри-
мер, во втором уравнении системы (7.12). Имеем:
(так как постоянный множитель можно вынести за знак производной). Подставляя это в уравне-
ние, получаем
или
Подставляя
получаем
где безразмерные комбинации параметров, входящих в исходные уравнения,
Выполним обезразмеривание во всех уравнениях (7.12), (7.13) (рекомендуем читателям
проделать эту процедуру самостоятельно). В результате получим