ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 6604
Скачиваний: 50
601
(7.14)
Начальные условия для безразмерных переменных таковы:
Важнейшая роль обезразмеривания - установление законов подобия. У изучаемого движе-
ния есть множество вариантов, определяемых наборами значений параметров, входящих в урав-
нения (7.12), (7.13) или являющихся для них начальными условиями:
k
1
, k
2
,
m, g, v
0
, а.
После обез-
размеривания переменных появляются безразмерные комбинации параметров - в данном случае
a,
b,
α -
фактически определяющие характер движения. Если мы изучаем два разных движения с раз-
ными размерными параметрами, но такие, что
а, b
и
α
одинаковы, то движения будут качественно
одинаковы. Число таких комбинаций обычно меньше числа размерных параметров (в данном слу-
чае вдвое), что также создает удобство при полном численном исследовании всевозможных си-
туаций, связанных с этим процессом. Наконец, как уже отмечалось, величины
V
x
,
V
y
, X, Y, τ
физи-
чески легче интерпретировать, чем их размерные аналоги, так как они измеряются относительно
величин, смысл которых очевиден. Прежде чем предпринимать численное моделирование, отме-
тим, что при учете лишь линейной составляющей силы сопротивления модель допускает аналити-
ческое решение. Система уравнений (7.14) при
b
= 0
достаточно
элементарно интегрируется и ре-
зультаты таковы:
(7.14)
Исключая из двух последних формул время, получаем уравнение траектории:
Заметим, что эта формула не из тех, которые привычно визуализируются, например, по
сравнению с совершенно отчетливой формулой (7.11), и здесь компьютер может быть полезен в
том, чтобы составить ясное представление о влиянии линейной части силы сопротивления на изу-
чаемое движение.
602
Рис. 7.8.
Семейство траекторий при
α =
45°
и значениях
α,
равных 0,01; 0,1; 1 и 10 (кривые - справа налево)
На рис. 7.8 приведены траектории четырех движений с разными значениями параметра
α
,
характеризующего трение. Видно, как сильно оно влияет на движение - его форму, расстояния по
вертикали и горизонтали. Общее исследование при произвольных значениях
а
и
b
поможет вы-
полнить приведенная ниже программа.
Фактически представлены две программы: при активизации первого или второго блока. В
первом случае она выдает результаты численного моделирования в виде таблицы значений без-
размерных скоростей и координат при фиксированном наборе параметров
а, b
и
α,
значения кото-
рых устанавливаются в разделе определения констант. При взятии в фигурные скобки первого
блока и активизации второго (т.е. снятия фигурных скобок) программа выдает в графическом ре-
жиме семейство траекторий, отличающихся значениями одного из трех безразмерных параметров
(в данном случае
b
)
.
Программа 148.
Реализация модели «Полет тела, брошенного под углом к горизонту»
Program Pod Uglom;
Uses Crt, Graph;
Type G
=
Array[1..4] Of Real;
Const A = 0; В =0.1; (параметры модели)
Al = Pi / 4; (угол - параметр модели}
Н = 0.001; Нрr
=
0.1; (шаг интегрирования и шаг вывода результатов)
Var N, I, J, M, L, К : Integer;
Y0, Y : G; Х0, X, Xpr, A1, B1, Cosinus, Sinus : Real; LS : String;
Function Ff(I : Integer; X : Real; Y : G) : Real;
{описание правых частей дифференциальных уравнений}
Begin
Case I Of
1: Ff:=-A1*Sinus*Y[l]-Bl*Sinus*Sqrt(Sqr(Y(l])+Sqr(Y[2]))*Y[1];
2: Ff:=-Sinus-A1*Sinus*Y[1]-B1*Sinus*Sqrt(Sqr(Y(1])+Sqr(Y[2]))*Y[2];
3: Ff:=Y[1]/(2*Cosinus);
4: Ff:=2*Y[2]/Sinus
End
End;
Procedure Runge_Kut (N: Integer; Var X: Real; Y0: G; Var Y: G; Н: Real);
(метод Рунге-Кутта четвертого порядка)
Var I : Integer; Z, K1, K2
,
КЗ, К4 : G;
Procedure Right(X : Real; Y : G; Var F : G) ;
{вычисление правых частей дифференциальных уравнений}
Var I : Integer;
Begin
For I :
=
1 To N Do F[I] := Ff(I, X, У)
End;
Begin Right(X, Y0, K1); X := X + Н / 2;
603
For I := 1 To N Do Z[I]:=Y0[I]+H*K1[I]/2; Right(X, Z, K2);
For I := 1 To N Do Z[I]:=YO[I]+H*K2[I]/2; Right(X, Z, КЗ); Х:=Х+Н/2;
For I := 1 To N Do Z[I] := Y0[I] + H * КЗ [I]; Right (X, Z, К4);
For I := 1 To N Do
Y[I]:=Y0[I]+H*(K1[I]+2*K2[I]+2*K3[I]+K4[I])/6;
End;
{следующий блок - для получения численных результатов при одном наборе
параметров}
{Begin
Sinus := Sin(Al); Cosinus := Cos(Al); Al := A; Bl := B; ClrScr;
N:=4; X0:=0; Y0[l]:=Cosinus; Y0[2]:=Sinus; Y0[3]:=0; Y0[4]:=0;
WriteLn(' время с к о р о с т ь к о о р д и н а т ы ');
WriteLn; X := Х0; Xpr := 0; Y[4] := Y0[4];
While Y[4] >= 0 Do
Begin
If X >= Xpr Then
Begin
WriteLn ('t=', X : 6 : 3, ' Vx='. Y0[l] : 6 : 3, ' Vy=',
Y0[2] : 6 : 3. ' X=', y0[3] : 6 : 3, ' Y=', Y0[4] : б : 3) ;
Xpr := Xpr + Hpr
End;
Runge_Kut(N, X, Y0, Y, H); Y0 := Y
End;
WriteLn; WriteLn('для продолжения нажмите любую клавишу');
Repeat Until KeyPressed
End.}
{следующий блок - для изображения траекторий при не-
скольких наборах параметров)
Begin
DetectGraph (J, M); InitGraph (J, M, '');
L := 1; Al := A; Bl := В; Sinus := Sin(Al); Cosinus := Cos(Al);
While L < 5 Do
Begin
N := 4; (Количество уравнений в системе)
Х0 := 0; Y0[l] := Cosinus; (Начальные условия}
Y0[2] := Sinus; Y0[3] := 0; Y0[4] := 0:
SetColor(L); Line(400, 50 + 20 * (L - 1), 440, 50 + 20 * (L - 1));
OutTextXY(450, 50 + 20 * (L - 1), '1 = ');
Str(L, LS); OutTextXY(480, 50+20*(L-l), LS); X:=X0; Y[4]:=Y0[4];
While Y[4] >= 0 Do
Begin
Runge_Kut(N, X, Y0, Y, H); Y0 := Y;
PutPixel(Abs(Trunc(Y0[3]*500)), GetMaxY-Abs(Trunc(Y0[4]*500)), L) ;
End;
Bl := Bl * 10; L := L + 1
End;
OutTextXY(10, 50, 'для продолжения нажмите любую клавишу');
Repeat Until KeyPressed; CloseGraph
End.
Приведем пример. Рассмотрим полет чугунного ядра радиуса R=0,07 м, выпущенного с на-
чальной скоростью
v
0
= 60 м/с под углом
α
= 45° к поверхности Земли. Определим, какое расстоя-
ние пролетит ядро, на какую максимальную высоту оно поднимется, а также проследим, как изме-
няется скорость полета со временем. Будем решать обезразмеренные уравнения, чтобы сократить
число параметров. Вычислим значения параметров
а
и
b,
после чего решим систему дифференци-
альных уравнений. Учтем, что плотность чугуна
ρ
чуг
= 7800 кг/м
3
.
604
Расчеты повторялись, сначала с шагом 0,1, затем - вдвое меньшим и т.д. (хорошо известный
эмпирический метод контроля точности при пошаговом интегрировании дифференциальных
уравнений), пока не был получен приемлемый шаг, при котором достигается точность 10
-3
. Ясно,
что расчеты надо проводить до тех пор, пока ядро не достигнет земли, т.е. пока
Y
не станет рав-
ным 0. Результаты моделирования - на рис. 7.9. В рассмотренном выше примере сопротивление
среды оказывает незначительное влияние на движение тела. Проведем сравнение движения одного
и того же тела без учета сопротивления среды и с его учетом, если среда достаточно вязкая (рис.
7.10).
Рис. 7.9.
Графики зависимости
V(τ)
и
Y(X)
при решении задачи о полете ядра.
Безразмерное значение скорости
V
получается по формуле
2
2
y
x
V
V
V
.
Конечное значение скорости
V <
1 вследствие сопротивления воздуха.
Траектория движения не является параболой по той же причине
Рис. 7.10.
Графики зависимости
V(τ)
и
Y(X)
при решении задачи о полете тела, брошенного под углом к го-
ризонту, без учета сопротивления воздуха (скорость изменяется от 1 и вновь достигает значения 1; траекто-
рия - парабола) и с учетом сопротивления воздуха (конечная скорость меньше 1, и траектория - далеко не
парабола) (
а
= 1,
b
= 1)
С помощью приведенной выше программы можно провести полное исследование модели в
широком диапазоне значений параметров и составить качественное представление об их влиянии
на изучаемое движение. Некоторые результаты иллюстрируются рис. 7.11,7.12.
605
Рис. 7.11.
Влияние параметра
а
на движение тела, брошенного под углом к горизонту, при
b =
0,1 (слева) и
при
b
= 1 (справа);
α =
π
/4 (
а
= 0,01; 0,1; 1; 10; кривые на рисунках соответственно располагаются справа
налево)
Рис. 7.12.
Влияние параметра
b
на движение тела, брошенного под углом к горизонту, при
a
= 0,1 (слева) и
при
а
= 1 (справа);
α
=
π
/4
(b =
0,01; 0,1; 1; 10; кривые на рисунках соответственно располагаются справа
налево)
3.4. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ: ВЗЛЕТ РАКЕТЫ
Рассмотрим указанную задачу в максимально упрощенной постановке. Наши цели:
а) достичь качественного понимания того, как скорость ракеты меняется во время взлета,
как влияют на полет разные факторы;
б) оценить оптимальное соотношение параметров, при котором ракета достигнет первой
космической скорости и сможет вывести на орбиту полезный груз.
Таким образом, обсуждаемая модель имеет черты как дескриптивной, так и оптимизацион-
ной.
Взлет ракеты - сложный процесс, который неизбежно следует огрубить в попытке получе-
ния относительно простых и качественно верных результатов. Например, примем, что сила тяги
двигателя - величина постоянная на всем этапе разгона. Реально это, скорее всего, не так. но при
упрощенном анализе колебаниями силы тяги пренебрежем, равно как и влиянием случайных по-
рывов ветра и множеством других случайных и неслучайных факторов. Но при таком, даже самом
упрощенном, анализе нельзя пренебречь наличием сопротивления воздуха, которое при высоких
скоростях очень велико. Ни в коем случае нельзя пренебречь и убыванием массы ракеты в процес-
се взлета - оно огромно и составляет большую часть исходной массы. Так, у одной из крупнейших
отечественных ракет «Энергия» стартовая масса составляет 20000 тонн, а к концу взлета всего 200
тонн.
Поиск математического описания проблем не составляет - в его основе все тот же второй
закон Ньютона. Поскольку ракета очень быстро набирает столь высокую скорость, что линейной
составляющей силы сопротивления заведомо можно пренебречь, то
F
conp
= k
2
v
2
.
Примем, что топ-
ливо расходуется равномерно вплоть до его полного выгорания, т.е.