ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 6599
Скачиваний: 50
616
Рис. 7.19.
Периодический сигнал, подобный вырабатываемому генератором
строчной развертки в телевизоре
Отвлечемся ненадолго от данной конкретной задачи и еще раз подчеркнем, что гармониче-
скому разложению доступна любая периодическая функция. Например, периодический сигнал пи-
лообразной формы (рис. 7.19), похожий на тот, который вырабатывает генератор строчной раз-
вертки в телевизоре, имеет следующее спектральное разложение;
Здесь уже нет столь быстрого спада коэффициентов при гармониках, так как исходная ли-
ния вовсе не похожа на синусоиду. Попробуйте протабулировать сумму вначале первых двух гар-
моник, затем трех, четырех и т.д. и пронаблюдать, как по мере роста числа слагаемых сумма все
больше похожа на исходную функцию.
Колебания маятника при наличии трения.
Поскольку сила трения при малых скоростях
пропорциональна скорости, а скорость
dt
d
l
v
, то уравнение свободных колебаний маятника с
учетом трения выглядит так:
Преобразуем его к виду
(7.34)
где, как и выше,
l
g
, а
m
k
k
2
(коэффициент 2 записан по традиции для К /
2т
удобства).
При малых колебаниях уравнение (7.34) превращается в
(7.35)
Его решение таково: затухающие колебания при
к < ω
и затухание без колебаний при
к ≥ ω.
Все это можно проверить в ходе численного моделирования, хотя уравнение (7.35) допускает ана-
литическое решение. Приведем его: при
к < ω
где
2
2
1
k
, А -
амплитуда,
φ -
начальная фаза (
А
и
φ
легко выразить через начальные зна-
617
чения
θ
0
и
v
0
)
.
При
k ≥ ω
где
А
и
В
также можно выразить через
θ
0
и
v
0
.
Что же касается уравнения (7.34), то его аналитическое решение отсутствует, и при числен-
ном моделировании можно поставить ряд задач о том, насколько решения уравнений (7.34) и
(7.35) различаются в зависимости от начальной амплитуды.
Вынужденные колебания
. Если на маятник воздействует внешняя сила
F(t),
меняющаяся
со временем, то уравнения движения получаются из (7.34) добавлением
F(t)
к правой части. Рас-
смотрим лишь случай периодического внешнего воздействия:
F(t) = F
0
cos
λt,
где
λ
- частота вы-
нуждающей силы. Имеем уравнение движения маятника:
(7.36)
где
ml
F
f
0
. При малой амплитуде результирующего движения уравнение (7.36) примет вид
(7.37)
Движение, описываемое уравнением (7.37), состоит из двух этапов. На первом оно склады-
вается из двух колебательных движений: затухающих собственных колебаний с частотой
2
2
1
k
(при
к < ω
) и вынужденных колебаний с частотой
λ
. На втором этапе, по истечении
времени
t >>
1
/k,
остаются лишь вынужденные периодические колебания, амплитуда которых за-
висит от соотношения частот
λ
и
ω
1
и резко возрастает при
λ ≈ ω
1
-
явление резонанса, описанное в
любом учебнике физики. Численное интегрирование уравнения (7.37) необязательно, так как ре-
шение можно записать в виде формул, содержащих лишь элементарные функции:
(7.38)
А
и
В —
произвольные постоянные, находятся из начальных условий.
Исследования переходного процесса установления стационарных вынужденных колебаний,
резонанса, биений, возникающих при
k = 0
и
λ ≈ ω
1
(рис. 7.20-7.22), могут быть, конечно, прове-
дены с использованием формул (7.38) простым табулированием с выводом результатов на экран
компьютера в форме, удобной для восприятия; они же могут быть и объектами численного моде-
лирования.
618
Рис. 7.20.
Установление стационарных вынужденных колебаний маятника
при наличии трения при
к =
0,5;
ω
=
π
/2
,
λ
=
π
,
f
= 2
π.
Рис. 7.21.
Биения в системе с близкими частотами собственных колебаний
и с вынуждающей силой при
k =
0;
ω =
889
π
/9000,
λ = π/
9
, f =
π
/70
Возвратимся к уравнению нелинейных вынужденных колебаний (7.36). Его аналитическое
решение отсутствует, и возможно лишь численное. Сформулируем ряд задач: как нелинейность
влияет (при больших амплитудах движения) на период вынужденных колебаний, на резонанс, на
период биений при
λ ≈ ω
и т.д. Однако математики и физики давно убедились в том, что переход
от линейного к нелинейному может изменить не только количественные характеристики процесса,
но и дать новое качество. В данном случае - возникновение при некоторых условиях хаотического
движения маятника. Сама возможность возникновения таких движений в простых динамических
системах была обнаружена относительно недавно и поразила воображение многих математиков,
физиков, химиков, биологов, в которых ситуации с хаотическими движениями, как оказалось,
от-
нюдь не редкость. Пример такого процесса будет приведен впоследствии.
Рис. 7.22.
Возрастание амплитуды колебаний при прохождении через резонанс при
k =
0;
ω =
889
π
/9000,
λ
= π/
9
, f =
π
/70
Параметрические колебания.
Рассмотрим еще один вид колебаний маятника, когда на не-
го внешние силы непосредственно не действуют, но внутри системы происходят некоторые собы-
тия, приводящие к зависимости от времени параметров, входящих в уравнение движения. В этом
случае колебательные движения называют параметрическими.
Простейший пример - раскачивание качелей усилиями того человека, который стоит на
этих качелях Все знают, что, приседая, и отталкиваясь «в такт», можно сильно разогнать качели.
Указанные приседания сводятся к периодическому изменению центра тяжести системы, или, что
почти равносильно, длины нити подвеса Поскольку длина нити подвеса определяет частоту коле-
баний, то математическая модель явления – уравнение
(7.39)
619
где
ω(t) —
заданная функция, определяющая закон изменения частоты. Мы ограничимся
простейшим случаем гармонического изменения
ω
2
(t)
:
где
λ
- частота изменения величины
ω
2
(t)
.
При малых амплитудах колебаний и отсутствии
трения уравнение (7.39) превращается в
Решение любого из этих уравнений возможно лишь численно Одна из интереснейших осо-
бенностей уравнения (7.40) - так называемый, параметрический резонанс - допускает частичное
аналитическое исследование, однако слишком сложное, чтобы его здесь приводить. Параметриче-
ский резонанс состоит в том, что при некоторых соотношениях частот
λ
и
ω
0
,
а именно
2
0
,
0
,
2
3
0
,
0
2
,... и при определенных значениях величины
α
в системе возникают на-
растающие колебания. На рис. 7.23 схематически изображена фазовая диаграмма системы в пере-
менных
0
и
α,
на ней заштрихованы зоны параметрического резонанса.
Рис. 7.23
Фазовая диаграмма с зонами параметрического резонанса
Понимать такую фазовую диаграмму надо следующим образом: если значения параметров
у,
а
принадлежат заштрихованной области,
то при них имеет место параметрический резонанс.
Очень интересно то,
что он наступает скачком при пересечении границы на фазовой плоскости.
Как можно численно установить границу зоны параметрического резонанса, например,
первой? - Для этого надо задаться некоторыми значениями
α
(например, 0,1) и
γ
(например, 0,3),
не принадлежащими зоне неустойчивости, и проинтегрировать численно уравнение (7.40). Удобно
предварительно обезразмерить время переменной
τ = ω
0
t
, после чего уравнение примет вид
(7.41)
Здесь
0
. Затем, медленно увеличивая
γ
(например, с шагом 0,01) и не меняя
α
,
интег-
рировать уравнение (7.41), пока не попадешь в зону неустойчивости, и далее, пока не выйдешь из
нее. Затем следует увеличить
α
(например, взяв
α =
0,2) и снова повторить процедуру прохожде-
ния по значениям
γ
и т.д. - постепенно вырисуется картина границы зоны параметрического резо-
нанса на фазовой плоскости.
Нарастание колебаний при параметрическом резонансе, описываемом уравнением (7.40),
является неограниченным. Физически такого быть не может. Ограничение амплитуды колебаний
наступает либо за счет учета трения, либо при возврате к sin
θ
в уравнении (7.39), либо за счет обо-
620
их факторов. Следует учесть, что наличие трения не только ограничивает размах параметрических
колебаний, но и «приподнимает» зоны параметрического резонанса над осью
γ
на фазовой плоско-
сти
α,
γ
, причем в разной мере. Моделирование этого и других явлений при параметрическом ре-
зонансе - интересная исследовательская работа.
Многогранность задачи об одномерных колебаниях.
Колебания математического маят-
ника одномерны в том смысле, что они описываются одной функцией
θ(t)
(хотя они и происходят
в двумерном пространстве - плоскости, но жесткий стержень ликвидирует одну из степеней сво-
боды, и в обычных декартовых координатах
x(t)
,
y(t)
выражаются друг через друга).
Оказывается, что рассмотренные выше уравнения, особенно линейные (т.е. малых колеба-
ний), обладают высокой универсальностью и описывают ряд процессов в механике твердых тел,
газов, в электродинамике и т.д. Так, уравнение малых колебаний
(7.42)
описывает указанные ниже и другие системы (при этом в
х, к, ω
вкладывается совершенно разный
физический смысл):
• математический маятник:
• пружинный маятник, где сила, действующая на тело. определяется законом Гука;
• «физический» маятник-тело, свободно вращающееся около горизонтальной оси;
• крутильный маятник наручных часов - симметричное тело, совершающее колебания око-
ло вертикальной оси под действием спиральной пружины;
• ток в колебательном контуре;
• акустический резонатор Гельмгольца, в котором происходят колебания воздуха в колбе с
широким горлышком;
• колебания магнитной стрелки компаса.
Таким образом, наше внимание к колебательному движению не является преувеличенным.
Интересно, что при больших амплитудах универсальность колебательных движений нару-
шается. Так, sin
θ
в уравнении для математического маятника для других движении заменяется
другой нелинейной функцией, и всякий раз задачу приходится решать заново и, чаще всего, чис-
ленно.
3.8. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЯВЛЕНИЙ
И ПРОЦЕССОВ В ПРИБЛИЖЕНИИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Абстрактное понятие «сплошная среда» широчайшим образом используется в науке. Во
многих ситуациях жидкости, газы, твердые тела, плазму можно рассматривать как «сплошные»,
отвлекаясь от их молекулярного и атомарного устройства. Например, при распространении волн в
жидкости или газе реальная дискретность этих сред практически не сказывается на свойствах
волн, если длина волны много больше характерного межмолекулярного расстояния; при изучении
процессов распространения тепла или диффузии тоже до поры-до времени можно «забыть» об
атомарном строении вещества и оперировать такими характеристиками как теплоемкость, тепло-
проводность, скорость диффузии и др., которые можно обсуждать и практически использовать в
технике без выяснения их микроскопической природы. Вообще, «макрофизика» может быть очень
полезной чисто практически без привлечения «микрофизики», которая стремится докопаться до
объяснения природы явлений, исходя из атомарных и еще более «микроскопических» представле-
ний.
В приближении сплошной среды свойства объекта описываются математически с помощью
непрерывных функций от координат и времени:
f( r
,t)).
За каждым «свойством» закрепляется та-
кая функция, и их взаимосвязаный вид дает полное описание среды.
Существующие задачи можно разделить на два класса: статические и динамические. В пер-
вом случае значения величин, характеризующих сплошную среду, не зависят от времени, и требу-
ется найти их пространственное распределение. Хорошо известные примеры: как распределено в
пространстве значение электрического поля, созданного неподвижным точечным зарядом? как
распределены электрическое поле в конденсаторе? поле постоянного магнита? скорости в стацио-