ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 6601
Скачиваний: 50
606
где
m
0
- начальная масса ракеты,
т
кон
-
конечная (т.е. масса полезного груза, выводимого на
орбиту),
α -
расход топлива; это допущение согласуется с допущением о постоянной силе тяги.
Уравнение движения принимает вид в проекции на вертикальную ось
(7.17)
Казалось бы, можно задаться некоторыми значениями величин
F
тяги
,
т
0
, α, k
2
и проводить
моделирование, но это была бы чисто формальная деятельность, не учитывающая еще одного
важнейшего обстоятельства. Поскольку ракета взлетает на огромную высоту (сотни километров),
ясно, что сила сопротивления в менее плотных слоях атмосферы не может быть такой же, как
вблизи поверхности Земли (при равных скоростях). Действительно, в коэффициент
k
2
входит ве-
личина
r -
плотность окружающей среды, которая на «космических» высотах во много раз меньше,
чем вблизи поверхности. Заглянем в справочник: на высоте 5,5 км плотность воздуха вдвое мень-
ше, чем у поверхности, на высоте 11
км
-
вчетверо и т.д. Математически зависимость плотности
атмосферы от высоты хорошо передается формулой
где
b
= 1,29∙10
-4
(h
измеряется в метрах,
ρ
0
- плотность вблизи поверхности Земли). По-
скольку величина
h
меняется в ходе полета, уравнение для изменения
h(t)
следует добавить к
уравнению (7.17) и записать следующую систему дифференциальных уравнений:
(7.18)
Наша модель становится все более реалистической. Ее совершенствование можно продол-
жить - например, учесть наличие у ракеты нескольких ступеней, каждая из которых имеет свой
запас топлива и тягу двигателя - считая, что после уменьшения массы до некоторого значения си-
ла тяги скачком изменяется; оставим это для самостоятельных размышлений. Перед решением
уравнений удобно обезразмерить переменные. Естественной характерной скоростью в данной за-
даче является первая космическая скорость
v*
≈ 7,8 км/с, при которой возможен вывод на орбиту
полезного груза; характерное время - момент полной выработки горючего
где
m
кон
- масса груза. Реально
t
* - две-три минуты. За характерную высоту можно взять,
например,
h
* - ту, на которой плотность атмосферы уменьшается в 10 раз (примерно 17 км). По-
следняя величина может показаться несколько произвольной (впрочем, она таковой и является),
но все равно удобнее измерять расстояния в данной задаче относительно величины, равной не-
скольким километрам, чем в метрах в системе СИ. Итак, введя безразмерные переменные
после несложных преобразований получим уравнения
607
(7.19)
где
f(τ)
- известная функция:
а безразмерные параметры
a, b, p, e, k
выражаются через исходные так:
То, что
f(τ)
определяется двумя формулами, связано с наличием двух этапов полета: до и
после выработки топлива. Безразмерное время, разделяющее эти этапы -
τ
= 1; если к этому мо-
менту безразмерная скорость
V ≥
1, то первая космическая скорость достигнута, в противном слу-
чае - нет. Параметр
а
управляет режимом полета; если при достижении величиной
V
значения,
равного единице, топливо еще не все выработано (т.е.
τ
< 1), можно с этого момента либо поло-
жить
а
= 0 («выключить двигатель»), либо продолжать разгон - в зависимости от постановки зада-
чи. Рис. 7.13 иллюстрирует влияние изменения параметра о на динамику взлета ракеты в рамках
принятых выше предположений при фиксированных значениях остальных параметров.
Рис. 7.13.
Зависимости
V(τ)
и
H(τ)
при
а =
0,2,
a =
0,3, a = 0,4 и
а =
0,5
(кривые на рисунках слева направо)
3.5. ДВИЖЕНИЕ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
Как движется Земля и другие планеты в пространстве? Что ждет комету, залетевшую из
глубин космоса в Солнечную систему? Многовековая история поиска ответов на эти и другие во-
просы о движении небесных тел хорошо известна; для многих людей, внесших большой вклад в
науку, именно интерес к астрономии, устройству большого мира, был первым толчком к позна-
нию.
По закону всемирного тяготения сила притяжения, действующая между двумя телами, про-
порциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Если по-
местить начало системы координат на одном из тел (размерами тел по сравнению с расстоянием
между ними будем пренебрегать), математическая запись силы, действующей на второе тело, име-
ет вид (рис. 7.14)
608
(7.20)
Здесь
G =
6,67∙10
-11
м
3
/кг∙с
2
) - гравитационная постоянная.
Рис. 7.14.
Выбор системы координат при решении задачи двух тел
Знак «минус» в формуле (7.20) связан с тем, что гравитационная сила является силой при-
тяжения, т.е. стремится уменьшить расстояние г между телами.
Далее мы ограничимся лишь изучением взаимного движения двух тел. При этом возникает
непростой вопрос: с какой позиции (в какой системе координат) изучать это движение? Если де-
лать это из произвольного положения - например, наблюдатель с Земли изучает взаимное движе-
ние Солнца и планеты Юпитер - задача станет для нас слишком сложной. Ограничимся лишь про-
стейшей ситуацией: рассмотрим движение одного из тел с точки зрения наблюдателя, находяще-
гося на втором, т.е., например, движения планеты или кометы относительно Солнца, Луны отно-
сительно Земли, пренебрегая при этом относительно небольшими силами притяжения от всех
прочих небесных тел. Разумеется, мы тем самым произвели ранжирование факторов, и наши по-
следующие действия имеют отношение к реальности лишь в меру соблюдения определенных ус-
ловий.
Уравнение, описывающее движение тела
m
в указанной системе координат, имеет вид
или в проекциях на оси
х, у
(7.21)
Интересующая нас орбита сильно зависит от «начальной скорости» тела
т
и «начального
расстояния». Мы взяли эти слова в кавычки, так как при изучении движения космических тел нет
столь отчетливо выделенного «начального момента», как в ранее рассмотренных ситуациях. При
моделировании нам придется принять некоторое положение условно за начало, а затем изучать
движение дальше. Очень часто космические тела движутся практически с постоянной скоростью
по орбитам, близким к круговым. Для таких орбит легко найти элементарное соотношение между
скоростью и радиусом. В этом случае сила тяготения выступает в роли центростремительной, а
центростремительная сила при постоянной скорости выражается известной из начального курса
физики формулой
mv
2
/r.
Таким образом, имеем
или
609
(7.22)
- искомое соотношение.
Период движения по такой орбите
Заметим, что отсюда вытекает один из законов Кеплера, приведший Ньютона к открытию
закона всемирного тяготения: отношение кубов радиусов орбит любых двух планет Солнечной
системы равно отношению квадратов периодов их обращения вокруг Солнца, т.е.
2
2
1
3
2
1
T
T
r
r
.
Более точная формулировка дана ниже (так как реально орбиты планет не вполне круговые). Если
соотношение (7.22) нарушено, то орбита не будет круговой. Выяснить, какой она будет, можно в
ходе численного моделирования. Сведем (7.21) к системе четырех дифференциальных уравнений
первого порядка:
(7.23)
В этой задаче особенно неудобно работать с размерными величинами, измеряемыми мил-
лиардами километров, секунд и т.д. В качестве величин для обезразмеривания удобно принять ха-
рактерное расстояние от Земли до Солнца
ρ
= 1,496∙10
11
м, (так называемая, астрономическая еди-
ница), период круговой орбиты
MG
T
3
2
,
соответствующий этому расстоянию, скорость дви-
жения по ней
MG
v
,
т.е. принять
После обезразмеривания получаем
(7.24)
Отметим замечательное обстоятельство: в безразмерных переменных уравнения вообще не
содержат параметров! Единственное, что отличает разные режимы движения друг от друга - на-
чальные условия.
610
Можно доказать, что возможные траектории движения, описываемые уравнениями (7.24) -
эллипс, парабола и гипербола.
Рис. 7.15.
Иллюстрация второго закона Кеплера
Напомним законы Кеплера, рис. 7.15.
1. Всякая планета движется по эллиптической орбите с общим фокусом, в котором нахо-
дится Солнце.
2. Каждая планета движется так, что ее радиус-вектор за одинаковые промежутки времени
описывает равные площади; на рисунке промежутки времени движения от
A
1
к
A
2
и от
B
1
к
B
2
счи-
таются одинаковыми, а площади секторов
F
1
A
1
А
2
и
F
1
B
1
B
2
равны. Это означает, что чем ближе
планета к Солнцу, тем у нее больше скорость движения по орбите.
3. Отношение кубов больших полуосей орбит двух любых планет Солнечной системы рав-
но отношению квадратов периодов их обращения вокруг Солнца.
Уравнения (7.24) описывают движение не только планет, но и любых тел, попадающих в
поле тяготения большой масcы. Так, в Солнечной системе существует огромное количество комет,
движущихся по чрезвычайно вытянутым эллиптическим орбитам с периодами от нескольких зем-
ных лет до нескольких миллионов земных лет. Судьбы небесных тел, не являющихся постоянны-
ми членами Солнечной системы, а залетевших в нее издалека, определяются
их скоростью
-
если
она
достаточно велика, то орбита будет гиперболической, и. облетев Солнце, тело покинет Сол-
нечную систему, если нет - перейдет на эллиптическую орбиту и станет частью системы; погра-
ничная между ними орбита - параболическая.
Все эти утверждения можно проверить и детально исследовать с помощью уравнений
(7.24). При этом полезно и удобно использовать одно важнейшее свойство обсуждаемой системы,
которого не было у рассмотренных ранее - сохранение полной энергии движущегося тела (такое
свойство называется «консервативность»). Полная энергия движущегося небесного тела
т
в сис-
теме двух тел имеет значение
Первое слагаемое - кинетическая, второе - потенциальная энергия. В безразмерных пере-
менных
Наличие неизменного параметра е в ситуации, когда изменяются
V
x
, V
y
, X, Y,
позволяет кон-
тролировать процесс решения системы дифференциальных уравнений, проверять устойчивость
метода, подбирать шаг интегрирования.
3.6. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Закон Кулона, описывающий взаимодействие точечных зарядов, так похож на закон все-
мирного тяготения, что очевидна близость подходов к моделированию движения заряженной час-
тицы в электростатическом поле и движения малого небесного тела в поле тяжести.
Напомним закон Кулона: между двумя зарядами
Q
и
q
разных (одинаковых)
знаков дейст-
вует сила притяжения (отталкивания)