ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 6602
Скачиваний: 50
611
(7.25)
где
ε
0
= 8,85∙10
-12
Ф/м - так называемая электрическая постоянная, подробности - в любом
курсе физики; Ф/м - «фарада на метр»
Выбор в (7.25) знака «минус» соответствует тому же выбору координат и направлений, что
на рис. 7.14, иллюстрирующем закон тяготения.
Первая из задач, которую можно рассмотреть - движение «малого» заряда некоторого знака
в поле, создаваемом «большим» неподвижным зарядом другого знака. Эта задача после обезраз-
меривания уравнений (оставим его читателю) в точности та же, что и рассмотренная выше задача
движения «малого» небесного тела. В электростатике, однако, есть возможность рассмотрения
широкого круга
задач,
не имеющих аналога в гравитации. Перечислим простейшие из них:
1) движение «малого» заряда в поле «большого» при взаимном отталкивании;
2) движение заряженного тела в поле, созданном несколькими фиксированными зарядами
произвольных знаков (рекомендуем начать со случая, когда все фиксированные заряды лежат в
одной плоскости и начальное положение и скорость движущегося заряда - в той же плоскости);
3) движение заряженного тела между пластинами конденсатора (рекомендуем ограничиться
плоским движением).
В последнем случае закон Кулона «в лоб» применить трудно - ведь заряженая пластина не
может рассматриваться как «точечный заряд». При моделировании можно воспользоваться таким
приемом: разбить пластину на несколько маленьких квадратиков, каждому из них приписать при-
ходящийся на его долю заряд и заменить пластину эффективным набором «точечных» зарядов,
взаимодействующих с пролетающей частицей. Этот прием - замена непрерывного дробным (дис-
кретизация) обсуждается в следующих разделах.
Моделируя движение заряда, можно получать самые замысловатые траектории, помогаю-
щие, с одной стороны, лучше понять закон Кулона, а с другой - научиться визуализации динами-
ческих процессов на экране компьютера.
Для решения первой задачи рассмотрим сначала модель, характеризующую движение «ма-
лого» заряда в поле «большого», если заряды имеют разные знаки.
Получаем
(7.26)
Как обычно, удобно провести обезразмеривание полученной системы. В качестве парамет-
ров, с помощью которых проводим обезразмеривание, можно выбрать те, которые характерны для
движения «малого» заряда по круговой орбите. Предлагаем читателю самостоятельно проделать
эту работу, после чего получаем систему дифференциальных уравнений, практически полностью
совпадающую с (7.24), поэтому вновь выписывать здесь ее не будем.
612
Рис. 7.16.
Траектория движения малого положительного заряда
в поле большого положительного заряда при
V
x
(0) =
-2;
V
y
(0)
= -1;
X(0)
= 1,5; У(0) = 1
Возвращаясь к задаче, когда заряды являются одинаково заряженными и потому отталки-
ваются, можно заметить, что уравнения будут аналогичными,
лишь во
втором и в четвертом урав-
нениях знаки «минус» сменятся на «плюс».
В качестве примера на рис. 7.16 приведена типичная траектория движения
при
взаимном
отталкивании зарядов.
3.7. КОЛЕБАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Колебательное движение - одно из самых распространенных в природе. Разнообразные ма-
ятники в часах и других технических устройствах, колебания мембран и оболочек, колебания ато-
мов в молекулах, ионов и молекул в кристаллах и многие другие процессы в живой и неживой
природе в чем-то схожи: объект движется таким образом, что многократно проходит через одни и
те же точки, периодически воспроизводя одно и то же состояние. Изучив его движение на сравни-
тельно коротком отрезке времени, включающем один период, мы можем составить полное пред-
ставление о его движении в будущем (если оно не будет изменено вмешательством извне).
Хотя колебательные движения бывают весьма многообразны, их сущность можно постичь
на нескольких относительно простых примерах. Остановимся на одном из самых простых, назва-
ние которого вынесено в заголовок. Этот пример рассматривается в любом школьном курсе физи-
ки, но, располагая более совершенным математическим аппаратом и прибегая к компьютерному
моделированию, можно продвинуться в изучении колебаний математического маятника дальше и
понять закономерности колебательного движения глубже.
Рассмотрим идеализированную систему, состоящую из тела массы
т,
прикрепленного к
нижнему концу жесткого «невесомого» стержня длиной
l
, верхний конец которого вращается без
трения в точке подвеса, рис. 7.17.
Если груз отклонить от положения равновесия на угол
θ
0
и отпустить, то «математический
маятник» будет колебаться в вертикальной плоскости.
Рис.7.17.
Колебания математического маятника
Поскольку движение груза происходит по дуге окружности радиуса
l
, то его положение ха-
рактеризуется в каждое мгновение углом
θ.
Линейная скорость и ускорение равны
613
(7.27)
На груз действуют две силы: сила тяжести
g
m
и упругая сила натяжения стержня
н
F
.
При
выводе уравнения движения достаточно учесть лишь компоненту силы
g
m
,
направленную по
касательной к дуге:
F = mg
sin
θ,
направлена она в сторону уменьшения
θ.
Сила
н
F
перпендику-
лярна к касательной и вклада в это уравнение не дает. Уравнение движения примет вид
(7.28)
Обычно в курсе физики ограничиваются исследованием малых колебаний. Если |
θ
|<< 1, то
уравнение (7.28) можно считать эквивалентным (так как sin
θ
≈
θ;
здесь и далее используется ра-
дианная мера углов) уравнению
Решение его элементарно:
где
l
g
- собственная частота,
2
T
- период колебания маятника. Значения
А
и
В
зависят от начальных условий. Если при
t
= 0
то
или, как часто записывают,
где
φ -
так называемая, начальная фаза;
А -
амплитуда колебания;
А
и
φ
легко выразить че-
рез начальные условия
θ
0
и
v
0
.
Движение, происходящее по закону (7.29), называют гармоническим колебательным дви-
жением. Слово «гармонический» связывают с простой тригонометрической функцией (синусом
или косинусом); так, гармоническим является и движение
A
sin
(ωt + φ), к
которому также можно
свести (7.29) (оно отличается лишь сдвигом фазы на
π/
2)
.
Для изучения колебаний с большой амплитудой следует обратиться к уравнению (7.28), ко-
торое заведомо не интегрируется в элементарных функциях. Обезразмерим его, взяв за характер-
ный масштаб времени период малого колебания. Если
τ
=
t/T,
то
614
(7.30)
Это уравнение вообще не содержит параметров! Достаточно его решить, и мы составим
полное представление о природе «больших» колебаний. В этом проявляется сила приема обезраз-
мернвания.
Сведем (7.30) к системе двух уравнений первого порядка:
(7.31)
Существенно, что система консервативна, и полная энергия сохраняется (до тех пор, пока
мы не учитываем трение и воздействие извне):
(7.32)
В безразмерных переменных
x
и
θ
(7.33)
Как и при моделировании движения небесных тел, сохранение
ε
в ходе интегрирования -
прекрасный критерий для изучения устойчивости метода, выбора шага и т.д. На рис. 7.18 пред-
ставлен график зависимости
θ(τ)
для
θ
0
=
π
/2 и
v
0
=
0 (сплошная линия). На первый взгляд, это ко-
синусоида (7.29), но, во-первых, это не так (зрительным впечатлениям в таких случаях доверять
особо не следует), а, во-вторых, у этого движения период отнюдь не определяется формулой, сле-
дующей из решения задачи о малых колебаниях. Для сравнения на рисунке представлено пунк-
тирной линией гармоническое движение с той же амплитудой
π/
2
,
следующее из формального ре-
шения задачи о малых колебаниях (его период равен единице вследствие обезразмернвания).
Рис. 7.18.
Графики зависимости
θ(τ)
для
θ
0
=
π
/2 и
v
0
= 0 (сплошная линия) и гармонического движения с
той же амплитудой
π
/2 (пунктирная линия)
Итак, реальный период, оказывается, зависит от амплитуды колебания вопреки тому, что
предсказывает теория, основанная на приближении малых колебаний. Определить зависимость
периода от амплитуды - относительно несложная задача для самостоятельного решения.
Вернемся снова к разговору о периодическом, но не гармоническом движении. Период ко-
лебаний в рассмотренном примере приблизительно равен 1,18 (определено в численном экспери-
менте). Уравнение гармонического движения с периодом
Т
и амплитудой
A
615
(в нашем конкретном случае
A
=
π
/2,
T
≈ 1,18,
φ =
0). В табл. 7.5 сведены результаты чис-
ленного решения уравнений (7.31) (вторая строка) и табулирования функции при
A
=
π
/2,
T
≈ 1,18,
φ =
0 (третья строка) на промежутке времени, чуть большем периода. Хотя различия и невелики,
но видно, что движение не является гармоническим.
Таблица 7.5
Сравнение результатов моделирования с гармоническими колебаниями
t
0,0
0,1
0,2
0,3
0.4
0,5
0,6
θ
реал
1,5708
1.3737
0,7971
-0,0437
-0,8688
-1,4104
-1,5689
θ
гарм
1,5708
1,3533
0.7611
-0,0418
-0.8332
-1,3938
-1.5686
φ(t)
1,5710
1.3737
0.7938
-0,0473
-0,8696
-1.4077
-1.5631
t
0.7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
θ
реал
-1,3331
-0,7228
0,1308
0,9374
1,4434
1,5632
1,2889
θ
гарм
-1,3090
-0,6870
0,1253
0,9028
1,4304
1,5619
1,2609
φ(t)
-1,3299
-0,7216
0,1297
0,9371
1,4448
1,5631
1,2869
Широчайшее распространение в математике и ее приложениях, связанных с периодически-
ми функциями, имеет, так называемый, гармонический анализ. Для тех, кто не изучал соответст-
вующий раздел математики, дадим представление о нем на данном примере. Поскольку тригоно-
метрические функции, соответствующие гармоническому движению, хорошо изучены и привыч-
ны, то стремление передать периодическое (но не гармоническое) движение хотя бы суммой не-
скольких гармонических вполне понятно. Все эти «гармоники» должны иметь, естественно, тот же
период, что и -изучаемая функция. Если ее период
Т,
то, кроме тригонометрических функций
t
T
2
sin
,
t
T
2
cos
период
T
имеют и функции с частотами, кратными
T
2
,
т.е.
t
T
k
2
sin
,
t
T
k
2
cos
при любом целом
k > 0.
Гармоническое разложение функции
f(t)
с периодом
Т
в об-
щем случае имеет вид
причем число гармоник-слагаемых формально бесконечно велико. Те, кто изучал ряды Фурье,
знают общие правила вычисления коэффициентов
a
0
,
а
1
, b
1
, а
2
, b
2
, ...
Если ограничиться лишь не-
большим число гармоник, скажем, тремя, то коэффициенты можно приближенно найти интерпо-
ляцией. Взяв за узлы точки
t
= 0; 0,4 и 1 (выбор достаточно произволен) и решив систему трех ли-
нейных алгебраических уравнений,получим
Значения функции
φ(t)
приведены в четвертой колонке табл. 7.5; они значительно ближе к
бреал, чем бгарм. Обратим внимание на то, что первый коэффициент значительно больше осталь-
ных, что еще раз подчеркивает, что движение близко к гармоническому.