ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 6592
Скачиваний: 50
631
Пример 2.
В конечном стержне (с теплоизолированной боковой поверхностью) оба торце-
вых сечения теплоизолированы, а начальная температура распределена по следующему закону:
Здесь
u
0
- максимальное значение температуры.
В точках
4
1
l
и
4
3
l
и =
2
1
u
0
для любого
t >
0
,
рис. 7.33. Кроме того, при каждом фиксиро-
ванном
t
график
и
симметричен относительно прямой
х =
2
1
l
и каждая его половина симметрична
относительно, соответственно, точек
0
2
1
,
4
1
u
l
и
0
2
1
,
4
3
u
l
.
Постоянная температура на торцах стержня - простейшее краевое условие. Возможна, од-
нако, и ситуация, когда через торцы происходит теплообмен с окружающей средой. Этот тепло-
обмен, как было установлено Ньютоном, удовлетворяет правилу: поток тепла через единицу по-
верхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды:
ΔQ
=
h (u - u
~
)
где
и -
температура конца стержня,
u
~ - температура окружающей среды,
h
- коэф-
фициент теплообмена. По определению
h > 0,
т.е.
ΔQ
> 0 соответствует уходу тепла из стержня,
ΔQ
< 0 - приходу из окружающей среды.
Рис. 7.33.
Графическая иллюстрация решения задачи из примера 2
Поскольку поток тепла во внешнюю среду пропорционален градиенту изменения темпера-
туры на торце стержня, закон сохранения энергии принимает вид
(7.53)
(знак «минус» во второй формуле связан с соотношением направления потока и оси
х), k -
коэф-
фициент теплопроводности.
Ниже приведен пример эволюции температуры в стержне, у которого один
из
концов теп-
лоизолирован, а на другом - поддерживается постоянная температура.
Пример 3.
В стержне (с теплоизолированной боковой поверхностью) левый конец тепло-
изолирован:
0
0
x
x
u
, на правом - поддерживается постоянная температура
l
l
x
u
u
~
, а началь-
ная температура постоянна по стержню:
0
0
u
u
t
,
рис. 7.34.
632
Рис. 7.34.
Графическая иллюстрация решения задачи из примера 3
Методы конечных разностей в моделировании свойств сплошных сред.
Покажем на
примере уравнения теплопроводности наиболее распространенные методы численного интегриро-
вания уравнении в частных производных. В их основе лежит прием дискретизации.
Покроем отрезок [
а, b
] одномерной сеткой (т.е. разобьем на
n
равных частей, рис. 7.35) с
узлами в точках
Искомую функцию
и(х)
будем аппроксимировать ее значениями в узлах сетки. Конечно, та-
кое представление не дает полного описания, но в промежуточных точках, если сетка достаточно
«мелкая», возможна интерполяция.
Рис. 7.35.
Одномерная сетка
Остановимся на разностной аппроксимации производных. Производная дает информацию о
локальном изменении функции в пространстве и, соответственно, связывает ее значения в сосед-
них узлах сетки. Очевидная аппроксимация первой производной в точке
х,
имеет вид
(7.54)
Для крайних точек, однако, такая аппроксимация невозможна, и простейший способ - огра-
ничиться односторонними разностями:
(7.55)
Разумеется, (7.54) и (7.55) дают простейшие аппроксимации. Втягивая большое количество
узлов, можно получить аппроксимации более высокого порядка, но часто бывает достаточно опи-
санных выше. Аналогичная им аппроксимация вторых производных имеет вид
(7.56)
Что же касается методов интегрирования по времени, то это те же методы, что и для обык-
новенных дифференциальных уравнений: Эйлера, Рунге - Кутта и т.д. Так как им тоже свойствен-
на дискретизация, то возникает еще одна, временная сетка. При интегрировании уравнений по
времени мы движемся по отдельным слоям, а в каждом слое определяем значение искомой функ-
ции на пространственной сетке. Если для интегрирования по времени используется метод Эйлера
633
или другой одношаговый метод, то для работы со следующим временным слоем используются
значения искомой функции из предыдущего слоя, для более сложных -
из нескольких предыдущих
слоев.
Далее будем индексы, соответствующие временной сетке, писать надстрочно (вверху), а
пространственной - подстрочно (внизу). Таким образом, для одномерного уравнения запись
u
i
j
означает значение функции
и(х, t)
в
j
-м временном слое и в
i-м
узле пространственной сетки. Вер-
немся к одномерному уравнению теплопроводности (7.49) и сформулируем простейшую возмож-
ную схему его интегрирования - явную схему первого порядка - по времени, используя метод Эй-
лера, по пространству, используя простейшие аппроксимации (7.56). Шаг по времени обозначим
Δt
, по координате -
Δx
. Величина
u
1
k
i
=
u
(
t
k
+1
,
x
i
)
находится из разностного уравнения
(7.57)
(k =
0
,
1,...;
i
= 1, 2, ...,
n
- 1) для внутренних узлов пространственной сетки; в силу начального ус-
ловия (7.51)
где функция
f(x)
задана и определяет значение температуры при
t
= 0. Что касается значений
u
k
0
и
и
k
n
(на концах стержня), то они зависят от типа краевого условия; для случая, когда концы стерж-
ня поддерживаются
при постоянной температуре, имеем
и
k
0
=
0
~
u
,
и
k
n
=
l
u
~ , где
0
~
u ,
l
u
~ - заданные
числа.
Теперь остановимся на вопросе об устойчивости и эффективности обсуждаемого метода.
Устойчивость понимается в том же смысле, что и для обыкновенных дифференциальных уравне-
ний, но шансов получить неустойчивый метод здесь гораздо больше. Существуют разностные
схемы абсолютно неустойчивые, абсолютно устойчивые и условно устойчивые. Первые при лю-
бых, сколь угодно малых, шагах так «раскачивают» начальную погрешность, что приводят к ре-
зультатам, не имеющим ничего общего с реальностью. Вторые ни при каких шагах не «раскачи-
ваются», хотя, конечно, чем меньше шаг, тем меньше разница между приближенным и точным
решениями. Третьи устойчивы при одних комбинациях значений
Δx
и
Δt
и неустойчивы при дру-
гих. Исследование, которого мы проводить не будем, показывает, что разностная схема (7.57) ус-
тойчива при
и неустойчива в противном случае.
Эффективность схемы можно представить лишь при сопоставления с другой схемой того
же назначения. Прежде всего, под эффективностью понимают возможность относительно быстро
получить решение с достаточной точностью. Иногда оказывается не менее важным объем опера-
тивной памяти под массивы, хранение которых неизбежно в данном методе. Схема (7.57) с точки
зрения быстродействия малоэффективна, с точки зрения объема памяти - вполне удовлетвори-
тельна, так как, получив значения
и
1
k
i
на некотором временном слое, не обязательно сохранять в
ОЗУ значения на предыдущем слое (их можно вывести на диск или на печать).
Получим более эффективный и устойчивый метод. Он аналогичен переходу от метода Эй-
лера к одному из вариантов метода Рунге - Кутта второго порядка (называемому иногда модифи-
цированным методом Эйлера). Усредним пространственный член уравнения (7.49) по времени:
(7.58)
Это, безусловно, лучшая чем в (7.57) аппроксимация производной
t
u
. Исследование пока-
зывает, что схема (7.58) (называемая в литературе схемой Кранка-Николсона) абсолютно устойчи-
ва и более эффективна.
Расплатой за эффективность является то, что (7.58) - неявная схема, т.е. не формула для не-
634
посредственного расчета, как (7.57), а система линейных алгебраических уравнений для величин
u
1
1
k
, u
1
2
k
, …, u
1
1
k
n
которую еще предстоит решать (поскольку неизвестные на
(k +
1)-м временном
слое величины
u
1
k
i
входят и в левую, и в правую часть (7.58)). Поскольку неявные схемы, как
правило, устойчивей, к ним прибегают часто.
Заметим, что (7.58) есть система специального вида - с трехдиагональной матрицей. В са-
мом деле, если выписать первое, последнее и некоторое промежуточное ;'-е уравнения, перенося
неизвестные в левые части, получим
(7.59)
Конечно, к таким системам можно применять стандартные методы решения систем линей-
ных алгебраических уравнений, но для них существует и специализированный высокоэффектив-
ный метод, называемый «методом прогонки». За деталями отсылаем к учебникам по численным
методам.
Пример.
Рассмотрим динамику изменения температуры в стержне длиной 4 м с теплоизо-
лированными концами, температура на которых поддерживается постоянной и равна 3°С с на-
чальным условием
f(x)
= -0,5
x
2
+ 2
x
+ 3. Коэффициент
а
в уравнении (7.49) примем равным 0,78
(выбор этот достаточно произволен).
Для демонстрации работы явной схемы (7.57) произведем расчеты по этой формуле на пер-
вом шаге. Ограничимся пятью узлами на пространственной сетке. В начальный момент
(t = 0)
имеем
u
)
0
(
0
= 3,0000,
u
)
0
(
1
= 4,5000,
и
)
0
(
2
= 5,0000,
и
)
0
(
3
=
4,5000,
и
)
0
(
4
=
3,0000.
Из краевых условий получаем
и
)
1
(
0
= и
)
1
(
4
=
3,0000. Подставляя в формулу (7.57) соответст-
вующие значения, получаем
аналогично получаем
u
)
1
(
3
=3,8916.
Таблица 7.7
Результаты моделирования процесса теплопроводности, полученные по неявной схеме (7.59)
x
t
0
1
2
3
4
0
3,000
4.500
5,000
4,500
3,000
1
3,000
4,000
4,428
4,000
3,000
2
3,000
3,688
3,975
3,688
3,000
3
3,000
3,476
3,669
3,476
3,000
4
3,000
3,325
3,461
3,325
3,000
5
3,000
3,225
3,316
3,225
3,000
6
3,000
3,154
3,218
3,154
3,000
7
3,000
3,106
3,150
3,106
3,000
8
3,000
3,073
3,103
3,073
3,000
9
3,000
3,050
3,071
3,050
3,000
10
3,000
3,034
3,049
3,034
3,000
635
На рис. 7.36 представлена графическая иллюстрация результатов расчетов.
Рис. 7.36.
Графики зависимости температуры от координаты в разные моменты времени (сверху
вниз
t =
0,
t =
2,
t
= 4,
t =
6,
t
= 8), в начальный момент времени температура самая высокая, затем
она постепенно выравнивается, и зависимости температуры от времени в разных точках стержня.
Верхняя кривая соответствует
x
= 2; ниже -
x
= 1 и
х
= 3; прямая линия, совпадающая здесь с осью
абсцисс, - значение температуры на концах стержня
Ясно, что по мере эволюции во времени температура стержня
будет выравниваться и асим-
птотически стремиться к 3
o
С
во всех точках.
Контрольные вопросы и задания
1 Какие причины обусловливают особую значимость компьютерного моделирования в фи-
зике?
2. Какие аналогии проводятся между реальным и компьютерным экспериментами?
3. Почему при исследовании реальных
процессов движения тел нужна дифференциальная
форма законов Ньютона?
4. Как зависит сила сопротивления от скорости движущегося тела?
5. Какая из составляющих силы сопротивления - линейная или квадратичная - будет доми-
нировать при погружении в воду полого стального шара - батискафа диаметром 2 м и с толщиной
стенки 1 см при достижении им постоянной скорости погружения?
6. Почему учет силы сопротивления среды делает многие, известные из школьного курса
физики модели, более реалистичными? Приведите примеры таких моделей.
7. Как надо преобразовать формулировку содержательной задачи, прежде чем приступать к
ее решению?
8. Как можно отобразить результаты моделирования в задаче о свободном падении тела в
наиболее удобной для восприятия форме?
9. В чем преимущества и недостатки моделирования с помощью составления программ и с
использованием табличных процессоров?
10. Разработайте программу для ЭВМ, используя один
из методов численного интегрирова-
ния системы дифференциальных уравнений, позволяющую моделировать падение тела с учетом
сопротивления среды. Предусмотрите интерактивный интерфейс для ввода данных, выбора формы
представления результатов и т.д.
Решите с помощью этой программы одну из следующих задач:
а) с высоты
Н
падает предмет, через время
t
он оказывается на земле, требуется определить,
с какой скоростью приземлится предмет;
б) металлический шарик падает в воде и в глицерине,
провести сравнение результатов мо-
делирования;
в) определить момент встречи (высоту и время) тела массы
т
1
свободно падающего с высо-
ты
Н
0
,
и тела массы
т
2
,
брошенного вертикально вверх с достаточно большой начальной скоро-
стью.
11. Какова траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту, при отсутствии
сопротивления среды? Как меняется эта траектория качественно при наличии сильного сопротив-
ления?