ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 6590
Скачиваний: 50
636
12. Для чего производится обезразмеривание величин, характеризующих движение? Воз-
можен ли з рассматриваемой задаче другой способ обезразмеривания?
13. Сделайте сравнительный анализ характеристик движения тела, брошенного под углом к
горизонту, с учетом и без учета сопротивления воздуха. Как они будут изменяться с увеличением
начальной скорости?
14. Разработайте программы решения задач:
а) при построении модели полета тела, брошенного под углом к горизонту, поверхность
Земли считалась плоской, учтите в математической модели
кривизну
Земли, проведите соответст-
вующее моделирование.
б) произведите моделирование полета тела, брошенного под углом к горизонту на Луне,
проведите сравнение с результатами моделирования для Земли при аналогичных начальных усло-
виях;
в) задача о подводной охоте: на расстоянии
т
под углом
а
подводный охотник видит не-
подвижную акулу, на сколько метров выше ее надо целиться, чтобы гарпун попал в цель? как бу-
дет выглядеть постановка и решение этой задачи, если акула движется? произведите соответст-
вующее моделирование.
15. В чем могут заключаться усовершенствования приведенной выше модели взлета раке-
ты?
16. Насколько в действительности хороша аппроксимация, принятая для зависимости силы
сопротивления от скорости, при очень больших скоростях?
17. Найдите в специальной литературе данные о характере зависимости силы сопротивле-
ния от скорости движения при скоростях порядка скорости звука и больших и внесите усовершен-
ствования в модель.
18. Запишите математическую модель для движения двухступенчатой ракеты.
19. Проведите исследование на тему: с каким минимальным запасом топлива некоторая ра-
кета может вывести на орбиту спутник? Все необходимые параметры задайте правдоподобными
самостоятельно.
20. Какой может быть траектория космического аппарата, запускаемого с
Земли,
относи-
тельно нее, если пренебречь влиянием других небесных тел? Чем определяется эта траектория?
21. Как будут выглядеть уравнения движения в системе
Земля - Луна - малое
небесное тело,
если пренебречь влиянием Солнца-и других планет?
22. Составьте программу моделирования движения малого космического тела. Получите с
помощью этой программы круговую орбиту. Экспериментально подберите безразмерные началь-
ные условия для получения всех видов орбит: эллиптических, параболических, гиперболических.
Для эллиптических орбит вычислите длину большой полуоси, эксцентриситет, период обращения.
23. Проверьте в ходе моделирования второй закон Кеплера для
эллиптических
орбит.
24. Проверьте в ходе моделирования третий закон Кеплера для эллиптических орбит.
25. Уточните модель, учитывая действие на спутник, движущийся вокруг Земли, помимо
силы притяжения Земли, слабой постоянной
силы
W,
обусловленной «солнечным ветром».
26. Есть ли качественные различия в задачах о взаимном движении двух небесных тел и
двух заряженных частиц, и чем они обусловлены?
27. Произведите моделирование движения тела массы
т,
несущего заряд
q,
под
действием
электростатических сил, создаваемых произвольно расположенной группой тел с зарядами
Q
1
,
Q
2
,..., Q
n
(все они - в одной плоскости).
28. Как выглядит первая нелинейная поправка при переходе от полного уравнения свобод-
ных колебаний к уравнению малых колебаний?
29. Какое периодическое движение называют гармоническим?
30. Как выглядит в общем случае формула гармонического разложения периодической
функции (разложения в ряд Фурье)?
31. Какие качественные изменения вносит учет трения при анализе движения маятника?
32. С какой частотой происходят вынужденные колебания при наличии гармонической вы-
нуждающей силы?
33. В чем состоит особенность параметрического возбуждение колебательного движения?
34. Изучите в ходе компьютерного моделирования зависимость периода колебаний матема-
тического маятника от их амплитуды. Изобразите эту зависимость графически в диапазоне ампли-
637
туд 0 <
θ < π.
Выполните спектральное разложение колебаний для амплитуд
4
3
0
,
0,9
π,
выде-
лив 3-5 гармоник.
35. Изучите с помощью компьютерного моделирования колебания пружинного маятника,
движущегося под влиянием упругой силы
F
=
-ах-bх
3
,
где
х -
смещение из положения равновесия.
Слагаемое
(-ах)
связано с законом Гука и доминирует при малых
х
(область упругих де-
формаций), слагаемое
(-bх
3
) -
нелинейный член силы упругости, доминирующий при больших
x
.
Изучение может включать те же элементы, которые описаны для математического маятника.
36. «Постоянной времени»
τ
0
колебательной системы с затуханием называется промежуток
времени, за который начальная амплитуда уменьшится в
е
раз. Для линейной системы она равна
k
1
0
Определите с помощью компьютерного моделирования постоянную времени для зату-
хающих нелинейных колебаний, ее зависимость от начальной амплитуды.
37. Относительно каких процессов атмосферу можно рассматривать как сплошную газовую
среду и относительно каких - нельзя?
38. Какие примеры сплошных сред и соответствующих процессов вам известны?
39. Как в общем случае связаны потенциал и напряженность электростатического поля?
40. Что такое эквипотенциальная поверхность? силовая линия?
41. Какие изменения и дополнения следует внести в приведенную выше программу, чтобы
она позволила строить трехмерные эквипотенциальные поверхности? их сечения произвольными
плоскостями?
42. Реализуйте программу построения силовых линий электростатического
поля, создавае-
мого системой точечных зарядов.
43. Разработайте компьютерную модель, позволяющую строить изолинии поля, создавае-
мого совокупностью заряженных пластин и точечных зарядов. Создайте с ее помощью изображе-
ние
а) поля в плоском конденсаторе;
б) поля, создаваемого пластинами, стоящими под углом друг к другу.
44. В чем заключается процесс теплопроводности, и какие физические
механизмы его под-
держивают на молекулярном уровне?
45. Как выглядит уравнение теплопроводности в двумерном
случае?
46. В чем заключаются начальные и краевые условия в задаче теплопроводности?
47. Как выглядит конечно-разностная аппроксимация первой производной
по
времени? по
пространству? В чем различие этих аппроксимаций для внутренних и граничных узлов сетки?
48. В чем заключаются устойчивость и эффективность численного метода решения краевых
задач?
49. В чем состоит принципиальная разница между явной и неявной
схемами конечно-
разностного решения дифференциальных уравнений?
50. Получите результаты, приведенные выше в примерах моделирования процесса тепло-
проводности, постройте соответствующие графики. Как еще можно представить результаты рас-
четов?
51. Выясните, как в рассмотренных примерах моделирования процесса теплопроводности
будут изменяться результаты расчетов при уменьшении (увеличении) параметра
a
.
52. Какими величинами можно обезразмерить переменные в рассмотренных выше приме-
рах моделирования процесса теплопроводности? Проведите обезразмеривание в одном из них для
явной и неявной схем.
53. Проведите моделирование теплопроводности, когда начальные условия заданы функци-
ей
где
х* -
некоторая точка стержня.
§ 4. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОЛОГИИ
638
4.1. ЭКОЛОГИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ
Экология - одно из слов, появившихся сравнительно недавно у всех на устах и на страницах
газет и журналов. Еще в 60-х годах нашего столетия почти никто, кроме узких специалистов, его
не знал, да и большинство из тех, кто знал, использовал в таком смысле, который вряд ли способен
заинтересовать широкую общественность. А между тем, термину более 120 лет.
В 1869 г. немецкий естествоиспытатель Эрнст Геккель предложил составной термин «эко-
логия» («эко» - дом, жилище, местопребывание и «логос» - наука, знание) как название раздела
биологии, ставшего самостоятельным. Классическая экология - наука о взаимодействии организ-
мов и окружающей среды. Сегодня, говоря об экологии, чаще всего имеют в виду не классиче-
скую, а, так называемую, социальную экологию, оформившуюся как научное направление и на-
правление общественно-политической деятельности на 100 лет позднее, и занимающуюся пробле-
мами охраны окружающей среды, взаимодействием с ней человеческого сообщества.
В данной главе мы ограничимся некоторыми классическими моделями «старой» экологии,
что обусловлено следующими причинами. Во-первых, они достаточно просты и изучены, поста-
новка их вполне очевидна и в познавательном плане интересна и полезна. Во-вторых, модели рас-
пространения загрязнений окружающей среды требуют использования весьма сложного матема-
тического аппарата, да и сами еще не вполне устоялись. Проблемы охраны окружающей среды
чрезвычайно важны, но их обсуждение выходит за пределы нашего курса. Однако, для того, чтобы
дать представление о задачах, стоящих перед современными исследователями в этой области, в
следующем параграфе приведено описание одной из глобальных моделей, пытающихся выяснить
пути взаимодействия экосистемы планеты с индустриальной и экономической системами совре-
менного общества.
Остановимся на некоторых понятиях, которые будут встречаться в этой главе. Под
особью
понимается отдельный индивидуум, отдельный организм.
Популяция -
это совокупность особей
одного вида, существующих в одно и то же время и занимающих определенную территорию. И,
наконец,
сообщество -
это совокупность совместно сосуществующих популяций.
В классической экологии рассматриваются взаимодействия
нескольких типов:
• взаимодействие организма и окружающей среды;
• взаимодействие особей внутри популяции;
• взаимодействие между особями разных видов (между популяциями). Математические мо-
дели в экологии используются практически с момента возникновения этой науки. И, хотя поведе-
ние организмов в живой природе гораздо труднее адекватно описать средствами математики, чем
самые сложные физические процессы, модели помогают установить некоторые закономерности и
общие тенденции развития отдельных популяций, а также сообществ. Кажется удивительным, что
люди, занимающиеся живой природой, воссоздают ее в искусственной математической форме, но
есть веские причины, которые стимулируют эти занятия. Вот некоторые цели создания математи-
ческих моделей в классической экологии.
1. Модели помогают выделить суть или объединить и выразить с помощью нескольких па-
раметров важные разрозненные свойства большого числа уникальных наблюдений, что облегчает
экологу анализ рассматриваемого процесса или проблемы.
2. Модели выступают в качестве «общего языка», с помощью которого может быть описано
каждое уникальное явление, и относительные свойства таких явлений становятся более понятны-
ми.
3. Модель может служить образцом «идеального объекта» или идеализированного поведе-
ния, при сравнении с которым можно оценивать и измерять реальные объекты и процессы.
4. Модели действительно
могут пролить свет на реальный
мир, несовершенными имита-
циями которого они являются.
При построении моделей в математической экологии используется опыт математического
моделирования механических и физических систем, однако с учетом специфических особенностей
биологических систем:
• сложности внутреннего строения каждой особи;
• зависимости условий жизнедеятельности
организмов от многих факторов
внешней среды;
• незамкнутости экологических систем;
639
• огромного диапазона внешних характеристик, при которых сохраняется жизнеспособ-
ность систем.
Привлечение компьютеров существенно раздвинуло границы моделирования экологиче-
ских процессов. С одной стороны, появилась возможность всесторонней реализации сложных ма-
тематических моделей, не допускающих аналитического исследования, с другой - возникли прин-
ципиально новые направления, и прежде всего - имитационное моделирование.
4.2. МОДЕЛИ ВНУТРИВИДОВОЙ КОНКУРЕНЦИИ
Рассмотрим простейшую из указанных моделей для вида с дискретными периодами раз-
множения, в которой численность популяции в момент времени
t
равна
N
, и изменяется во време-
ни пропорционально величине основной чистой скорости воспроизводства
R.
Такими видами яв-
ляются, например, большая часть растений, некоторые виды насекомых, у которых разные поко-
ления четко разнесены во времени. Коэффициент
R
характеризует количество особей, которое
воспроизводится в расчете на одну существующую, а также выживание уже существующих. Дан-
ная модель может быть выражена уравнением
(7.60)
решение которого имеет
вид
(7.61)
где
N
0
-
начальная численность популяции. Эта модель, однако, описывает популяцию, в ко-
торой отсутствует конкуренция и в которой
R
является константой; если
R>1,
то численность по-
пуляции будет бесконечно увеличиваться. В реальности в какой-то момент начинают работать ме-
ханизмы сдерживания роста популяции. В литературе приводится немало интересных примеров
быстрого роста численности популяций, если бы для их размножения существовали идеальные
условия. Особенно это относится к насекомым, растениям и микроорганизмам, которые могли бы
покрыть земной шар толстым слоем, если им создать благоприятные условия для размножения. Но
в действительности такого роста популяций, когда их численность увеличивается в геометриче-
ской прогрессии, на сколько-нибудь длительных промежутках времени не наблюдается.
Следовательно, в первую очередь необходимо изменить уравнение (7.60) таким образом,
чтобы чистая скорость воспроизводства зависела от внутривидовой конкуренции.
Конкуренцию можно определить как использование некоего ресурса (пищи, воды, света,
пространства) каким-либо организмом, который тем самым уменьшает доступность этого ресурса
для других организмов. Если конкурирующие организмы принадлежат к одному виду, то взаимо-
отношения между ними называют
внутривидовой конкуренцией,
если же они относятся к разным
видам, то их взаимоотношения называют
межвидовой конкуренцией.
Рис. 7.37.
К вопросу об ограничении скорости роста популяции
На рис. 7.37 показана простейшая возможная зависимость скорости воспроизводства от
численности популяции. Точка
А
отражает ситуацию, в которой численность популяции близка к
нулю, конкуренция при этом практически отсутствует, и фактическую скорость воспроизводства
вполне можно описывать параметром
R
в его первоначальном виде. Следовательно, при низкой
плотности популяции уравнение (7.60) вполне справедливо. В преобразованном виде оно выгля-
дит так:
640
Точка
В,
напротив, отражает ситуацию, в которой численность популяции высока, и в зна-
чительной степени проявляется внутривидовая конкуренция. Фактическая скорость воспроизвод-
ства в результате конкуренции настолько снижена, что популяция в целом может не более чем
восстанавливать в каждом поколении свою численность, потому что количество родившихся осо-
бей уравновешивается количеством погибших. Гипотезе, отраженной на рис. 7.37, соответствует
уравнение
(7.62)
где
K
R
a
1
. Это уравнение представляет собой модель роста популяции, ограниченного внутри-
видовой конкуренцией. Суть этой модели в том, что константа
R
в уравнении (7.60) заменена на
фактическую скорость воспроизводства, т е.
t
N
a
R
1
, которая уменьшается по мере роста чис-
ленности популяции
N
t
.
Достоинство полученного уравнения заключается в его простоте. Такой
тип конкуренции приводит к саморегуляции численности популяции, изображенной на рис. 7.38
(для некоторого набора параметров модели; численное решение).
Рис. 7.38.
Изменение численности популяции согласно уравнению (7.62) при
R =
2,
К =
200,
N
0
=
20
После несложного изменения в уравнении (7.62) может быть получена гораздо более общая
модель, учитывающая интенсивность конкуренции. Простейшая из возможных зависимостей па-
дения скорости роста популяции от ее численности, изображенная на рис. 7,37, является не зако-
ном природы, а всего лишь удобной гипотезой. Далеко не всегда реальная динамика численности
популяции, определяемая внутривидовой конкуренцией, даже качественно согласуется с изобра-
женной на рис. 7.38. Более общая гипотеза о законе падения скорости роста популяции в зависи-
мости от ее численности приводит к следующему
уравнению:
(7.63)
Общность данной модели в отличие от уравнения (7.62) обусловлена введением в модель
параметра
b,
который определяет тип зависимости падения скорости роста популяции от ее чис-
ленности.
Набор величин
a, b, R
можно использовать для сравнения и противопоставления сильно
различающихся ситуаций. Другим положительным качеством уравнения (7.63) является его спо-
собность освещать новые стороны реального мира. Путем анализа кривых динамики популяций,
полученных с помощью уравнения, можно прийти к предварительным выводам относительно ди-
намики природных популяций.