ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 970
Скачиваний: 2
С. Л. Царев
Элементы высшей алгебры,
аналитической геометрии
и тензорного исчисления
Содержание
От автора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1
Множества и отображения
6
1.1
Множества и их элементы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.1
Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.2
Способы задания множеств . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.3
Подмножества. Пустое множество. Универсум. . . .
8
1.1.4
∀
M
∅
⊂
M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2
Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.1
Пересечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.2
Объединение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.3
Разность. Дополнение . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.4
Декартово произведение . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3
Отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3.1
Определение отображения. Примеры . . . . . . . . .
12
1.3.2
Образы, прообразы, инъекции, сюръекции, биекции
12
1.3.3
Что еще можно делать с отображениями . . . . . .
13
1.3.4
Композиция отображений . . . . . . . . . . . . . . .
14
2
Полиномы. Комплексные числа
15
2.1
Многочлены от одной переменной: основные определения .
15
2.2
Корни многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3
Комплексные числа: основные определения . . . . . . . . .
17
2.4
Геометрическое изображение комплексных чисел . . . . . .
18
2.5
Геометрическая интерпретация операций . . . . . . . . . .
19
2.6
Формула Муавра. Корни из единицы . . . . . . . . . . . . .
19
2.7
Основная теорема алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.8
Многочлены от нескольких переменных . . . . . . . . . . .
21
3
Кривые второго порядка на плоскости
22
4
Матрицы
30
4.1
Определение матрицы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.2
Операции над матрицами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.2.1
Умножение матрицы на число . . . . . . . . . . . . .
31
4.2.2
Транспонирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.2.3
Сложение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.2.4
Умножение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.3
Нейтральные и обратные элементы . . . . . . . . . . . . . .
33
5
Определители
36
5.1
Определение определителей порядков 1,2,3 . . . . . . . . .
36
5.2
Геометрический смысл определителей малых порядков . .
37
5.3
Определение определителя произвольного порядка . . . . .
39
5.4
Свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.5
Вычисление определителя приведением к треугольному виду 43
5.6
Миноры. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6
Приложения определителей
47
6.1
Вычисление обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . .
47
6.2
Формулы Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
7
Линейные пространства и линейные операторы
52
7.1
Пространство
R
n
. Определение линейного пространства . .
52
7.2
Примеры линейных пространств . . . . . . . . . . . . . . .
55
7.3
Определение линейного оператора . . . . . . . . . . . . . .
56
7.4
Примеры линейных операторов . . . . . . . . . . . . . . . .
57
8
Подпространства
59
8.1
Определение подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
8.2
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
8.3
Сумма множеств. Аффинные подпространства . . . . . . .
61
8.4
Прямая сумма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
8.5
Ядро и образ линейного оператора . . . . . . . . . . . . . .
64
9
Базис и размерность
65
9.1
Линейная зависимость и линейная независимость . . . . .
65
9.2
Линейная оболочка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
9.3
Базис. Размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
9.4
Разложение вектора по базису . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
10 Изоморфизмы. Координатные изображения
73
10.1 Мономорфизм, эпиморфизм, изоморфизм . . . . . . . . . .
73
10.2 Изоморфные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
10.3 Координатное изображение векторов и линейных операторов 75
10.4 Матрица перехода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
11 Ранг линейного оператора
80
11.1 Определение ранга. Теорема о ранге . . . . . . . . . . . . .
80
11.2 Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
12 Собственные значения и собственные векторы
84
12.1 Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
12.2 Характеристическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . .
85
12.3 Собственные векторы и структура линейного оператора . .
87
13 Билинейные формы. Скалярное произведение
91
13.1 Билинейные и квадратичные формы . . . . . . . . . . . . .
91
13.2 Скалярное произведение. Евклидовы пространства
. . . .
93
13.3 Длины и углы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
13.4 Ортогональность. Ортонормированный базис . . . . . . . .
96
14 Понятие о тензорах
97
A
Приложение.
Некоторые понятия общей алгебры
98
A.1 Внутренние операции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
A.2 Алгебраические структуры. Морфизмы . . . . . . . . . . .
99
A.3 Группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
A.3.1 Определения полугруппы, моноида, группы . . . . .
99
A.3.2 Свободная группа. Циклические группы . . . . . . . 101
A.4 Поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.4.1 Определение поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.4.2 Поле
Z
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
B
Приложение.
Векторное и смешанное произведения в
R
3
104
5
От автора
Можно привести лошадь к водопою, но нельзя за-
ставить ее пить.
Английская пословица.
Это пособие написано для студентов факультета компьютерных наук
Воронежского государственного университета (или просто ФКН). Мне
приходилось считаться с двумя неблагоприятными обстоятельствами,
которые особенно нехорошо выглядят в совокупности: во-первых, на изу-
чение совместного курса алгебры и аналитической геометрии отводится
очень мало времени (следовательно, часть материала студентам при-
дется изучать самим), а во-вторых, большинство студентов ФКН очень
плохо знают даже школьную математику, а высшей и не хотят знать,
и вдобавок совершенно не умеют мыслить и трудиться самостоятельно
(это я утверждаю на основании пятилетнего опыта преподавания алгеб-
ры на ФКН).
Для тех, кто все-таки решится приложить умственные усилия к осво-
ению алгебры, написан дальнейший текст. Пособие состоит из 15 раз-
делов (на изучение каждого отводится неделя) и одного приложения,
которое не входит в обязательный материал. Разделы (одинарная ну-
мерация) в большинстве случаев делятся на пункты (двойная нумера-
ция), а те иногда делятся на подпункты (тройная нумерация). Вы смо-
жете утверждать, что действительно поняли и освоили материал разде-
ла, только тогда, когда сможете решить все контрольные упражнения
и ответить на все контрольные вопросы данного раздела (контрольные
упражнения отличаются от контрольных вопросов только по форме; они
подчиняются общей нумерации, так что, например, после упражнения
1.3 идет вопрос 1.4, а потом — упражнение 1.5). То же, что в пособии
обозначено словом “задачи” — это
необязательные
упражнения: тот, кто
не умеет решать эти задачи, не потеряет в оценке, зато тому, кто решит
хотя бы одну, обязательно прибавится. Обязательно, однако, знать те
факты
, которые в задачах приводятся. Например, в задаче 4.2 (см. стр.
33) предлагается доказать, что умножение матриц ассоциативно. Вам не
обязательно уметь доказывать, что умножение матриц ассоциативно, но
обязательно знать, что умножение матриц ассоциативно (сейчас мы не
будем обсуждать, что значит это слово).
Если формулировка упражнения или задачи состоит только из утвер-
ждения и не содержит никакого вопроса, то задание состоит в том, чтобы
доказать
это утверждение.
Приношу извинения за нехорошее качество рисунков. Сделать их
красиво не хватило времени.