ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 688
Скачиваний: 5
001.png)
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Крыловецкий Александр Абрамович
каф. цифровых технологий
Литература
1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики.
2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической фи-
зики.
3. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики.
4. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики.
5. Владимиров В.С. Сборник задач по уравнениям математиче-
ской физики.
6. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравне-
1
002.png)
ниям математической физики.
7. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение
задач в системе Maple.
8. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям
математической физики.
9. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике, физике, образова-
нии.
2
003.png)
1
Введение
Дифференциальным уравнением с частными производными на-
зывается уравнение, содержащее неизвестную функцию несколь-
ких переменных и ее частные производные. Наиболее часто встре-
чаются уравнения для функций двух или трех переменных.
В курсе уравнений математической физики изучаются уравне-
ния в частных производных, возникающие в физических задачах.
Примеры уравнений первого порядка – содержащих частные
производные только первого порядка:
∂u
∂x
+
∂u
∂y
= 0
,
y
∂u
∂x
−
x
∂u
∂y
= 0
(1)
Примеры уравнений второго порядка – содержащих частные
производные второго и, возможно, первого порядка:
∂
2
u
∂x
2
−
∂
2
u
∂y
2
+
∂u
∂x
= 0
,
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+
∂
2
u
∂z
2
= 0
(2)
3
004.png)
Рассмотрим простейшее уравнение:
∂u
∂x
= 0
,
u
=
u
(
x, y
)
.
(3)
Очевидно, что его решение:
u
(
x, y
) =
ϕ
(
y
)
,
(4)
где
ϕ
(
y
)
— произвольная функция.
Следующий пример уравнения:
∂u
∂y
=
f
(
y
)
,
где
f
(
y
)
−
заданная функция
.
(5)
Общее решение
u
(
x, y
) =
Z
f
(
y
)
dy
+
ϕ
(
x
)
,
(6)
где
ϕ
(
x
)
– произвольная функция.
Упражнение. Проверить, что общее решение уравнения
x
∂u
∂x
+
y
∂u
∂y
= 0
(7)
4
005.png)
есть
u
(
x, y
) =
ϕ
y
x
,
(8)
где
ϕ
– произвольная дифференцируемая функция.
Правило дифференцирования сложной функции нескольких пе-
ременных. Пусть функция
u
=
u
(
v, ..., w
)
,
где
v
=
v
(
x, y, ..., t
)
,
...
w
=
w
(
x, y, ..., t
)
.
Тогда ее частная производная по
x
имеет вид
∂u
∂x
=
∂u
∂v
∂v
∂x
+
...
+
∂u
∂w
∂w
∂x
.
В нашем случае
u
=
ϕ
(
v
)
, где
v
=
y/x
. Поэтому
∂u
∂x
=
ϕ
(
v
)
0
−
y
x
2
5