ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.04.2021

Просмотров: 688

Скачиваний: 5

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Крыловецкий Александр Абрамович

каф. цифровых технологий

Литература

1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики.
2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической фи-
зики.
3. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики.
4. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики.
5. Владимиров В.С. Сборник задач по уравнениям математиче-
ской физики.
6. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравне-

1


background image

ниям математической физики.
7. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение
задач в системе Maple.
8. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям
математической физики.
9. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике, физике, образова-
нии.

2


background image

1

Введение

Дифференциальным уравнением с частными производными на-
зывается уравнение, содержащее неизвестную функцию несколь-
ких переменных и ее частные производные. Наиболее часто встре-
чаются уравнения для функций двух или трех переменных.

В курсе уравнений математической физики изучаются уравне-

ния в частных производных, возникающие в физических задачах.

Примеры уравнений первого порядка – содержащих частные

производные только первого порядка:

∂u

∂x

+

∂u

∂y

= 0

,

y

∂u

∂x

x

∂u

∂y

= 0

(1)

Примеры уравнений второго порядка – содержащих частные

производные второго и, возможно, первого порядка:

2

u

∂x

2

2

u

∂y

2

+

∂u

∂x

= 0

,

2

u

∂x

2

+

2

u

∂y

2

+

2

u

∂z

2

= 0

(2)

3


background image

Рассмотрим простейшее уравнение:

∂u

∂x

= 0

,

u

=

u

(

x, y

)

.

(3)

Очевидно, что его решение:

u

(

x, y

) =

ϕ

(

y

)

,

(4)

где

ϕ

(

y

)

— произвольная функция.

Следующий пример уравнения:

∂u

∂y

=

f

(

y

)

,

где

f

(

y

)

заданная функция

.

(5)

Общее решение

u

(

x, y

) =

Z

f

(

y

)

dy

+

ϕ

(

x

)

,

(6)

где

ϕ

(

x

)

– произвольная функция.

Упражнение. Проверить, что общее решение уравнения

x

∂u

∂x

+

y

∂u

∂y

= 0

(7)

4


background image

есть

u

(

x, y

) =

ϕ

y

x

,

(8)

где

ϕ

– произвольная дифференцируемая функция.

Правило дифференцирования сложной функции нескольких пе-

ременных. Пусть функция

u

=

u

(

v, ..., w

)

,

где

v

=

v

(

x, y, ..., t

)

,

...
w

=

w

(

x, y, ..., t

)

.

Тогда ее частная производная по

x

имеет вид

∂u

∂x

=

∂u

∂v

∂v

∂x

+

...

+

∂u

∂w

∂w

∂x

.

В нашем случае

u

=

ϕ

(

v

)

, где

v

=

y/x

. Поэтому

∂u

∂x

=

ϕ

(

v

)

0

y

x

2

5