ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 113
Скачиваний: 1
P
*
i
Δ
x
1
x
x
2
x
3
x
k
+1
…
Рис
. 1.
Гистограмма
Методические
указания
по
выполнению
расчетно
-
практи
-
ческой
работы
составлены
в
соответствии
с
программой
курса
математики
и
имеют
своей
целью
выработать
у
студентов
прак
-
тические
навыки
решения
задач
математической
статистики
.
Составлены
из
кратких
теоретических
сведений
,
примеров
вы
-
полнения
заданий
и
подбора
заданий
для
самостоятельного
ре
-
шения
.
1.
Указания
по
выполнению
первого
задания
:
Статистическая
оценка
параметров
распределения
.
Гистограмма
.
Доверительный
интервал
1.1.
Краткие
сведения
,
необходимые
для
выполнения
работы
При
конкретных
практических
исследованиях
в
распоряже
-
нии
имеется
ограниченное
число
реализаций
случайной
величи
-
ны
X
,
образующих
выборочную
совокупность
(
выборку
).
По
вы
-
борке
можно
вычислить
оценки
соответствующих
статистиче
-
ских
характеристик
генеральной
совокупности
.
Выборка
пред
-
ставляется
простым
статистическим
рядом
.
Обычно
такой
ряд
оформляется
в
виде
табл
. 1.1,
в
первой
строке
которой
стоит
но
-
мер
опыта
,
а
во
второй
–
реализации
случайной
величины
.
Таблица
1.1
i
1
2 3 …
n
x
i
x
1
x
2
x
3
…
x
n
Состоятельные
несмещенные
оценки
математического
ожидания
(
выборочное
среднее
m
x
)
и
дисперсии
(
исправленная
выборочная
дисперсия
2
x
σ
)
имеют
следующий
вид
∑
=
=
n
i
i
x
x
n
m
1
1
~
, (1.1)
(
)
( )
(
)
2
2
1
2
~
~
1
~
1
1
~
2
x
x
n
i
x
i
x
m
m
n
n
m
x
n
−
−
=
−
−
=
σ
∑
=
. (1.2)
Эти
формулы
могут
быть
использованы
для
непосредст
-
венного
расчета
по
данным
простого
статистического
ряда
.
Рас
-
чет
становится
громоздким
при
большом
объеме
выборки
n
.
В
этом
случае
выборку
удобнее
оформлять
в
виде
статистического
(
вариационного
)
ряда
.
При
этом
выборка
преобразуется
следующим
образом
:
а
).
Весь
диапазон
изменения
[
x
min
,
x
max
]
случайной
величи
-
ны
X
делится
на
к
интервалов
,
где
к
приближенно
можно
вы
-
брать
по
формуле
к
= 1 + 3,2lg
n
(1.3)
с
округлением
до
ближайшего
целого
.
Длины
всех
интервалов
выбираются
равными
к
x
x
/
)
(
min
max
−
=
Δ
(1.4)
б
).
Подсчитывается
m
i
(1
≤
i
≤
к
) –
число
реализаций
слу
-
чайной
величины
,
попавших
в
i
-
й
интервал
.
Если
значение
x
i
по
-
падает
на
границу
внутри
диапазона
(
изменения
Х
)
между
i
-
м
и
(
i
+1)-
м
интервалами
,
то
рекомендуется
к
m
i
и
m
i
+1
прибавить
по
½
или
1
к
одному
из
них
(
так
как
с
точки
зрения
статистики
при
больших
объемах
выборки
это
не
принципиально
).
Определяет
-
ся
относительная
частота
,
соответствующая
каждому
интервалу
к
i
n
m
P
i
i
≤
≤
=
1
,
*
(1.5)
в
).
Статистический
(
вариационный
)
ряд
оформляется
в
ви
-
де
табл
. 1.2
Таблица
1.2
X
(
x
1
;x
2
)
(
x
2
;
x
3
)
… (
x
i
;x
i+
1
)
… (
x
k
;x
k+
1
)
M
i
m
1
m
2
…
m
i
…
m
k
P
i
*
P
1
*
P
2
*
…
P
i
*
…
P
k
*
Этот
ряд
также
может
оформляться
и
графически
в
виде
гис
-
тограммы
.
Гистограмма
изображается
в
виде
прямоугольников
,
площадью
равной
отно
-
сительной
частоте
P
i
*
соответствующих
интерва
-
лов
(
рис
. 1).
Замечание
.
Количест
-
во
интервалов
,
их
длины
,
а
также
масштаб
могут
изме
-
няться
в
зависимости
от
решаемых
задач
.
По
построенному
статистическому
(
вариаци
-
онному
)
ряду
несмещенная
оценка
математического
ожидания
(
выборочное
среднее
)
может
быть
вычислена
как
:
∑
∑
=
=
=
⋅
=
к
i
i
i
k
i
i
i
x
P
x
m
x
n
m
1
*
1
1
~
, (1.6)
где
2
/
)
(
1
i
i
i
x
x
x
+
=
+
–
середина
i
-
го
интервала
,
i
=1,2,…,
k
.
Интервал
(
)
2
1
~
;
~
ε
+
ε
−
=
β
a
a
I
называется
доверительным
интервалом
с
доверительной
вероятностью
β
,
если
выполняется
соотношение
(
)
β
=
ε
+
<
<
ε
−
2
1
~
~
a
a
a
P
, (1.7)
где
a
–
точное
значение
некоторого
параметра
;
a
~ –
оценка
па
-
раметра
;
2
1
,
ε
ε
–
искомые
числа
.
Построение
доверительного
интервала
для
m
x
при
неиз
-
вестной
дисперсии
основано
на
том
,
что
величина
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
σ
−
=
Τ
x
x
x
m
m
n
~
~
(1.8)
распределена
по
закону
Стьюдента
с
1
−
=
ν
n
степенями
свободы
.
По
табл
. 1
приложения
для
1
−
=
ν
n
и
уровня
значимости
q
можно
найти
такое
t
кр
,
что
интервал
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
σ
⋅
+
σ
⋅
−
=
β
n
t
m
n
t
m
I
x
kp
x
x
kp
x
~
~
,
~
~
(1.9)
будет
доверительным
интервалом
,
соответствующим
довери
-
тельной
вероятности
β
.
Построение
доверительного
интервала
для
σ
x
2
основано
на
том
,
что
величина
2
2
~
)
1
(
x
x
n
σ
σ
−
распределена
по
закону
χ
2
(
хи
–
квад
-
рат
)
с
ν
=
n–
1
степенями
свободы
.
Величина
q
называется
уров
-
нем
значимости
критерия
проверки
β
−
=
1
q
. (1.10)
По
табл
. 2
приложения
для
ν
=
n–
1
и
вычисленным
по
дан
-
ному
значению
q
вероятностям
2
/
,
2
/
1
2
1
q
P
q
P
=
−
=
(1.11)
можно
найти
такие
числа
2
2
2
1
,
χ
χ
,
что
интервал
(
)
(
)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
χ
σ
⋅
−
χ
σ
⋅
−
=
β
2
1
2
2
2
2
~
1
;
~
1
x
x
n
n
I
(1.12)
будет
доверительным
интервалом
для
σ
x
2
,
соответствующим
до
-
верительной
вероятности
β
.
1.2.
Пример
выполнения
первого
задания
Произведено
20
независимых
наблюдений
над
случайной
величиной
Х
,
характеризующей
отклонение
длины
детали
от
требуемой
по
техническим
условиям
.
Результаты
опытов
пред
-
ставлены
в
виде
простого
статистического
ряда
:
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x
i
1 9 6 15 6 12 3 12 10 11 16 10 5
i
14 15 16 17 18 19 20
x
i
11 11 7 12 14 21 12
Необходимо
построить
статистический
(
вариационный
)
ряд
и
гистограмму
,
найти
оценки
для
математического
ожида
-
ния
и
дисперсии
,
построить
соответствующие
доверительные
интервалы
для
β
= 0,95.
1.2.1.
Преобразуем
выборку
в
форму
статистического
(
ва
-
риационного
)
ряда
.
Здесь
,
используя
(1.3),(1.4)
k
=1+3,2
⋅
lg20=1+3,2
⋅
1,3
≈
5,16
≈
5;
4
5
/
)
1
21
(
5
/
)
(
min
max
=
−
=
−
=
Δ
x
x
.
Найдем
m
i
и
P
i
*
.
Для
этого
сформируем
интервалы
(
m
i
–
число
попаданий
в
интервал
).
Результаты
сведем
в
табл
. 1.3.
Таблица
1.3
Х
[1;5) [5;9) [9;13) [13;17)
[17;21]
m
i
2 4 10 3 1
P
i
*
=
n
m
i
0,1 0,2 0,5 0,15 0,05
Построим
гистограм
-
му
(
см
.
рис
. 2).
1.2.2.
Вычислим
x
m
~
и
2
~
x
σ
,
используя
(1.1),(1.2):
x
m
~ = 3
⋅
0,1 + 7
⋅
0,2 + 11
⋅
0,5 +
+15
⋅
0,15 + 19
⋅
0,05 = 10,4.
2
~
x
σ
=
(
⋅
+
⋅
+
⋅
2
2
2
11
2
,
0
7
1
,
0
3
19
20
−
⋅
+
⋅
+
⋅
05
,
0
19
15
,
0
15
5
,
0
2
2
P
*
i
Δ
0,0125
0,125
x
1
5
9
13
17
21
Рис
.2
)
2
)
4
,
10
(
−
=
(
)
≈
−
16
,
108
123
19
20
621
,
15
.
Тогда
952
,
3
621
,
15
~
≈
=
σ
x
.
1.2.3.
Построим
доверительный
интервал
для
m
x
:
ν
=
n–
1 = 20 – 1 = 19;
β
=0,95;
t
kp
≈
2,09 (
по
табл
.1
прилож
.).
Тогда
,
согласно
(1.7)-(1.9)
;
~
~
;
~
~
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
σ
⋅
+
σ
⋅
−
=
β
n
t
m
n
t
m
I
x
kp
x
x
kp
x
;
20
621
,
15
09
,
2
4
,
10
;
20
621
,
15
09
,
2
4
,
10
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
−
=
β
I
I
β
= (10,4 – 1,847; 10,4 + 1,847) = (8,553; 12,247).
1.2.4.
Построим
доверительный
интервал
для
σ
x
2
(1.10)-
(1.12):
ν
=19,
q
= 1 – 0,95=0,05,
Р
1
=
975
,
0
2
05
,
0
1
=
−
;
Р
2
=
025
,
0
2
05
,
0
=
.
Тогда
,
по
табл
. 2
приложения
найдем
:
χ
1
2
≈
8,83
χ
2
2
≈
33,1.
Следовательно
:
(
)
(
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
χ
σ
−
χ
σ
−
=
β
83
,
8
621
,
15
19
;
1
,
33
621
,
15
19
~
1
;
~
1
2
1
2
2
2
2
x
x
n
n
I
=(8,967;33,613)
1.3.
Задания
для
выполнения
работы
Задача
:
Результаты
независимых
наблюдений
над
случай
-
ной
величиной
Х
,
характеризующей
отклонение
длины
детали
от
требуемой
по
техническим
условиям
,
представлены
в
виде
простого
статистического
ряда
.
Необходимо
построить
стати
-
стический
(
вариационный
)
ряд
и
гистограмму
,
найти
оценки
для
математического
ожидания
и
дисперсии
,
построить
соответст
-
вующие
доверительные
интервалы
для
данного
значения
β
.
Номера
вариантов
даны
в
заголовке
таблицы
заданий
.
Таблица
Задания
(
варианты
1-12)
№
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
1
-1,1 1,1 -2,6 3
3
2,5 -2,4 4,8 19,5 0 1 0,7
2
1,5 1,15 -2 1 2,5 2,52 -2,11 5,7 19,72 0,1 1,8 0,5
3
0,8 1,23 -3 1,1 -0,2 2,72 -1,5 4,2 20,1 0,4 3,5 0,517
4
0,1 1,37 -1,3 2,61 2 2,77 -1,23 7 20,21 0,57 1,9
0,52
5
-2 1,4 -2,1 2,4 1 3
-1,01 6 20,44 0,7 0,8 0,66
6
0 1,42
-0,5
1,2
0,7
3,1
-0,13 5 19,8
0,92 2,3
0,641
7
0,2 1,42 -2,2 1,22 0,7 3,34 0,44 4 20,05 1,15 1,8 0,53
8
0,4 1,63 -1 1,3 0,5 3,5 0,58 6,6 20,6 1,17 0 0,56
9
0,3 2,3 -0,9 2,3 1,3 3,52 1,29 6,3 22,3 1,3 1,1 0,565
10
-1 1,5 -1,6
2,21
0,1 2,58
1,78 5,7 22,1 1,6 2,4 0,58
11
-0,1 1,74 1 2,1 0,8 2,6 2 5,5 21,2 3 4,2 0,581
12
1 2,24
-1,7
1,34
0,6
2,61
2,98 6,4 21,35 0,2 2,4 0,61
13
-0,2 1,95 -0,6 1,38 0,2 3,641 3,51 5,9 21,58 0,23 3 0,53
14
-0,1 1,7 -1,8 1,39 1,1 3,94 3,53 5,8 21,62 0,3 1,2 0,51
15
-1,5 1,81 0,1 1,9 2,1 4,4 -1,98 5,5 20,71 0,59 4 0,54
16
0 1,9
0,7
1,84
1,5
2,65
-1,74 6,1 20,89 0,61 2,9 0,535
17
-1,2 1,88 -1,2 1,81 0,2 2,7 -0,84 7,8 21,1 1,05 6 0,55
18
0,2 2,27 -0,8 1,41 1 2,89 0,97 8 21,15 1,1 2,3 0,56
19
2 2,2
-1,5
1,51
-1 2,93
1,12 6,4 21,8 1,2 1,5 0,62
20
0,5 2,12 -1,9 1,6 0,3 3,15 -0,67 6,2 21,92 1,28 2 0,59
21
2,08
1,64
3,17
-0,29 21,17 1,45 0,575
22
2,01
1,7
3,27
2,3
22
1,81 0,571
23
1,75
2,89
2,54
2,3
0,57
Продолжение
таблицы
Задания
(
варианты
13-25)
№
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
1
2,1 7,5 4,1 1,2 2,52 3 -2,9 6 0,91 0 17,48 1 0,1
2
2,7 7,71 4,6 1,341 2,54 6,3 -3,06 4,1 0,92 0,05 17,34 3,5 0,02
3
2 7,95 4,63 1,35
2,61 7 -5,4 3 1,31 0,7
12,67 -1 0,08
4
1 8,2
4,94 1,4 2,62 6,2
-5,33 5 1,22 0,55 13,5
2 0,04
5
3,7 8,4 5,12 1,5 2,67 4 -5 6,2 1,2 0,3 14,51 2,8 0,13
6
2,2 8,54 4,12 1,62 2,7 4,7 -4,39 2 0,94 0,33 15,49 3 0,2
7
4,6 7,54 4,27 1,9 2,74 5 -4,26 5,1 1 0,29 15,58 2,4 0,28
8
3 7,8
5,17 1,22
2,68 2,2
-4 3,2 0,97 0,17 16,52 0,5 0,37
9
2,1 7,99 5,03 1,27 2,64 5,1 -5,21 5,3 1,1 0,12 16,65 1,7 0,5
10
3,5 8,71 5 1,28 2,63 5,5 -5,17 5,8 1,12 0,11 13,68 1,5 0,09
11
3,2 8,9 4,29 1,7 2,59 4,8 -4,05 4 1,18 0,1
14,31 0 0,1
12
3,4 9,31 4,31 1,6 2,58 5,2 -3,85 4,9 1,27 0,48 14,98 2,6 0
13
4,9 9,48 4,42 1,28 2,57 3,5 -3,44 5,7 1,29 0,43 14,47 2.4 0,11
14
2,8 9,8 4,67 1,31 2,56 4,9 -4,97 4,8 1,13 0,17 15,52 5 0,17
Продолжение
табл
.
Задания
(
варианты
13-25)
№
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
15
2,9 9,6 4,54 1,32 2,55 1 -4,65 5 1,05 0,16 16,49 1,9
0,25
16
7
9,35 4,82 1,33 2,57 5,3 -4,33 8 1,01 0,09 16,71 1,1
0,32
17
3 9,28
4,38 1,38
2,8
3,7
-4,15 4,3 1,09 0,07 16,01 2,4 0,39
18
4,8 8,2 4 1,35 2,65 4,7 -3,94 7 1,15 0,13 15,3
4 0,3
19
3,8 8,41 5,21 1,42 2,63 6
-3,17 4,4 1,17 0,37 15,21 2,3 0,22
20
2,9 8,62 5,22 1,58 2,6 4,9 -3,28 5,4 1,35 0,25 14,6 1,9 0,15
21
8,89 3,94 1,36 2,56
-3,37
1,37 0,2 13,15
0,14
22
9,24 3,8 1,47 2,53
-3,67
0,15 13,02
0,12
23
3,72 1,49
2,52
0,14 12,5
0,07
Окончание
табл
.
Задания
(
варианты
26-30)
№
26 27 28 29 30
1
3,37 -0,8 0,1 -1,12 1
2
5,3 1,5 0,12 -1,07
5
3
5,68 4
0,17 0,54 2
4
5,97 3
0,22 0,2 3,9
5
6,12 0,5 0,28 0,01 0,2
6
6,74 0,4 0,37 -0,14 2,6
7
6,99 0
0,4 -0,31 3
8
7,28 1
0,6 -0,65 2,5
9
8,21 3,2 0 -0,79 3,8
10
3,52 1,7 0,07 0,37 2,8
11
8,11 1,8 0,08 0,24 -1
12
7,2 -2 0,12 -0,13
2,9
13
6,31 2
0,19 -0,14 4,2
14
7,21 2,5 0,25 -0,92 2,7
15
6,8 0,1 0,31 -0,74
2,4
16
6,28 2,8 0,47 -0,24 3,5
17
5,3 2,6 0,35 -0,05
4
18
4,01 3,5 0,23 0,15 2,9
19
4,24 2,7 0,2 0,19 3,7
20
4,34 1,7 0,18 -0,47 3,4
21
4,73
0,13 -0,85
22
5,26
0,09
23
0,1
2.
Указания
по
выполнению
второго
задания
:
Выравнивание
статистических
рядов
2.1.
Краткие
сведения
,
необходимые
для
выполнения
работы
На
практике
часто
приходится
решать
вопрос
,
как
при
ограниченном
объеме
выборке
подобрать
для
данного
статисти
-
ческого
(
вариационного
)
ряда
теоретическую
кривую
функции
плотности
распределения
,
в
некотором
смысле
наилучшим
обра
-
зом
описывающую
статистику
.
Вид
теоретической
кривой
определяется
из
соображений
,
связанных
с
существом
задачи
,
а
также
может
быть
оценен
по
построенной
гистограмме
.
Задача
сводится
к
тому
,
чтобы
заме
-
нить
гистограмму
плавной
кривой
,
имеющей
достаточно
про
-
стое
аналитическое
выражение
,
и
в
дальнейшем
пользоваться
ею
в
качестве
плотности
распределения
.
Согласно
методу
моментов
,
если
f(x)
зависит
от
двух
па
-
раметров
,
то
эти
параметры
выбираются
так
,
чтобы
x
x
m
m
~
=
;
x
x
D
D
~
=
. (2.1)
Для
проверки
согласованности
теоретического
и
статисти
-
ческого
распределений
статистический
ряд
оформляется
в
виде
табл
. 2.1.
Таблица
2.1
X
(
x
1
;
x
2
)
(
x
2
;
x
3
) … (
x
k
;
x
k
+1
)
m
i
m
1
m
2
…
m
k
*
i
P
*
1
P
*
2
P
…
*
k
P
P
i
P
1
P
2
…
P
k
где
P
i
–
теоретические
вероятности
попадания
случайной
вели
-
чины
в
i
интервал
[
x
i
;x
i+
1
],
то
есть
∫
∫
∫
+∞
∞
−
=
−
=
=
=
+
+
k
i
i
i
x
k
x
x
i
x
dx
x
f
P
k
i
dx
x
f
P
dx
x
f
P
)
(
);
1
,...,
2
(
)
(
;
)
(
1
1
1
. (2.2)
Замечание
:
Если
предполагается
,
что
закон
распределения
пока
-
зательный
,
а
0
min
≠
x
,
необходимо
«
сдвинуть
»
все
исходные
зна
-
чения
случайной
величины
Х
на
min
x
,
т
.
е
.
n
i
x
x
x
i
i
,...,
1
,
min
=
−
=
и
для
них
строить
статистический
ряд
в
виде
таблицы
,
а
также
ис
-
пользовать
в
вычислениях
.
Таблица
значений
β
№
вар
.
β
№
вар
.
β
1
0,9
23
0,85
2
0,95
24
0,7
3
0,8
25
0,75
4
0,7
26
0,85
5
0,85
27
0,95
6
0,75
28
0,9
7
0,9
29
0,8
8
0,85
30
0,95
9
0,7
10
0,75
11
0,85
12
0,95
13
0,9
14
0,8
15
0,95
16
0,85
17
0,7
18
0,75
19
0,85
20
0,95
21
0,9
22
0,8
Для
наглядности
теоретическое
распределение
можно
оформить
в
виде
графика
,
совмещая
кривую
плотности
вероят
-
ностей
и
гистограмму
.
Для
этого
надо
вычислить
значения
тео
-
ретической
кривой
в
граничных
точках
интервалов
разбиения
.
В
качестве
критерия
проверки
вопроса
о
согласованности
теоретического
и
статистического
распределений
чаще
всего
ис
-
пользуется
критерий
χ
2
Пирсона
(
хи
-
квадрат
).
При
его
использо
-
вании
берется
сумма
квадратов
отклонений
*
i
P
-
P
i
статистиче
-
ских
вероятностей
*
i
P
от
гипотетических
P
i
,
взятых
с
«
весами
»:
(
)
∑
=
−
=
χ
k
i
i
i
i
P
P
P
n
1
2
*
2
(2.3)
или
(
)
∑
=
−
=
χ
k
i
i
i
i
nP
nP
m
1
2
2
. (2.4)
Критерий
χ
2
имеет
1
−
−
=
ν
L
k
степеней
свободы
,
где
L –
количество
оцениваемых
параметров
в
законе
распределения
.
(
Например
,
при
нормальном
законе
распределения
оценивается
дисперсия
и
математическое
ожидание
,
то
есть
L = 2).
Для
рас
-
пределения
χ
2
составлены
таблицы
(
табл
.2
прилож
.).
Пользуясь
ими
,
можно
для
каждого
значения
χ
2
и
числа
степеней
свободы
ν
найти
вероятность
р
того
,
что
величина
,
распределенная
по
закону
χ
2
,
превзойдет
это
значение
.
Если
эта
вероятность
дос
-
таточна
велика
,
то
гипотезу
можно
признать
не
противоречащей
опытным
данным
,
в
противном
случае
–
гипотеза
отбрасывается
как
неправдоподобная
.
Можно
при
проверке
воспользоваться
следующим
:
по
таб
-
лице
2
приложения
находится
граница
2
кр
χ
критической
области
для
заданного
уровня
значимости
критерия
q
и
числа
степеней
свободы
ν
.
Если
2
2
кр
χ
<
χ
,
то
можно
признать
расхождения
ме
-
жду
теоретическим
и
статистическим
распределениями
несуще
-
ственными
,
то
есть
выборочный
материал
не
противоречит
ги
-
потезе
о
том
,
что
случайная
величина
X
имеет
плотность
распре
-
деления
f
(
x
)
.
В
противном
случае
эта
гипотеза
не
подтверждает
-
ся
.
Подчеркнем
,
что
большое
значение
вероятности
р
(
на
-
пример
,
близкое
к
единице
)
не
свидетельствует
о
большом
правдоподобии
гипотезы
.
2.2.
Пример
выполнения
второго
задания
Для
исходных
данных
из
примера
1.2
необходимо
подоб
-
рать
теоретическую
функцию
распределения
(
выровнять
ряд
с
доверительной
вероятностью
β
).
2.2.1.
Преобразуем
выборку
в
форму
статистического
(
вариационного
)
ряда
. (
см
.
п
. 1.2.1)
Гистограмма
имеет
вид
:
Вычислим
x
m
~
и
2
~
x
σ
(
см
.
п
. 1.2.2);
x
m
~ = 10,4;
2
~
x
σ
621
,
15
≈
.
Тогда
952
,
3
621
,
15
~
≈
=
σ
x
.
2.2.2.
Учитывая
вид
гис
-
тограммы
,
выберем
в
качестве
теоретического
закона
нор
-
мальный
закон
распределения
,
тогда
функция
плотности
веро
-
ятности
запишется
в
виде
2
2
2
)
(
2
1
)
(
x
x
m
x
x
е
x
f
σ
−
−
π
σ
=
(2.5)
Приравнивая
x
x
m
m
=
~
и
x
x
σ
=
σ
~
,
получим
теоретическую
кривую
в
виде
(2.5)
621
,
15
2
)
4
,
10
(
2
2
952
,
3
1
)
(
⋅
−
−
π
=
x
å
x
f
.
Построим
график
этой
кривой
,
для
этого
вычислим
значе
-
ния
f(x)
в
точке
максимума
и
в
граничных
точках
разбиения
на
интервалы
.
Результаты
вычисления
сведем
в
таблицу
:
X
1 5 9 10,4 13 17 21
)
(
x
f
≈
0,00597 0,0397 0,0948 0,10095 0,0813 0,025 0,00277
Для
упрощения
вычислений
можно
использовать
табл
. 3
приложения
.
Изобразим
график
на
рис
. 3.
Получим
плавную
кривую
плотности
вероятности
нормального
распределения
.
P
*
i
Δ
0,0125
10,4
0,125
x
1
5
9
13
17
21
Рис
. 3