ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 498
Скачиваний: 1
Теория вероятностей и математическая
статистика
доц. Флегель Александр Валерьевич
flegel@cs.vsu.ru
2014
(ФКН ВГУ)
1 / 67
Условные вероятности
Пример 1.
Допустим, что студент выучил из 28 билетов 4 четных и 12 нечетных. По
классической схеме вероятность того, что студент получит выученный билет
(событие
A
), равна
P
(
A
) =
16
28
=
4
7
.
Пусть к моменту прихода студента осталось 14 билетов и все они нечетные
(событие
B
). Какова вероятность события
A
при условии, что
B
произошло.
P
(
A
|
B
) =
12
14
=
6
7
.
(ФКН ВГУ)
2 / 67
Условные вероятности
Пример 2.
N
карточек трех типов:
N
B
– черные (обе стороны черные),
N
A
– белые (обе
стороны белые),
N
AB
– разноцветные (одна сторона белая, а другая черная).
Вынимается одна карточка.
1. Какова вероятность
P
(
A
)
появления белого цвета (событие
A
) в
предположении, что карточки извлекаются с равными вероятностями?
P
(
A
) =
N
A
N
;
2. Наудачу выбранная карточка положена на стол, и ее верхнаяя сторона
оказалась черной (событие
B
). Какова в этом случае вероятность
P
(
A
|
B
)
того, что другая сторона белая?
P
(
A
|
B
) =
N
AB
N
B
=
N
AB
/
N
N
B
/
N
=
P
(
AB
)
P
(
B
)
.
(ФКН ВГУ)
3 / 67
Условные вероятности. Общее определение.
Пусть
(Ω
,
U
,
P
)
— произвольное вероятностное пространство. Если
A
,
B
∈
U
и
P
(
B
)
>
0
, то
условная вероятность
события
A
при условии, что
произошло событие
B
, определяется формулой
P
(
A
|
B
) =
P
(
AB
)
P
(
B
)
,
в правой части которой символ
P
понимается как вероятность в
рассматриваемом вероятностном пространстве.
Пусть теперь некоторое событие
B
с
P
(
B
)
>
0
фиксировано. Функция
P
B
(
A
) =
P
(
A
|
B
) =
P
(
AB
)
/
P
(
B
)
,
определенная для
∀
A
∈
U
, удовлетворяет аксиомам теории вероятностей, в
частности
P
(
A
|
B
)
>
0
,
P
(Ω
|
B
) = 1
,
P
(
A
1
+
A
2
|
B
) =
P
(
A
1
|
B
)+
P
(
A
2
|
B
) (
A
1
·
A
2
=
∅
)
.
(ФКН ВГУ)
4 / 67
Условные вероятности. Общее определение.
Для функции условной вероятности
P
B
(
A
)
справедливы все следствия из
аксиом. Кроме того,
P
(
B
,
B
) = 1
,
P
B
(
A
|
C
) =
P
(
A
|
BC
)
.
(ФКН ВГУ)
5 / 67