Файл: Мет выч методичка.pdf

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

И МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Крыловецкий Александр Абрамович

каф. цифровых технологий

Литература

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы
2. Волков Е.А. Численные методы
3. Самарский А.А. Введение в численные методы
4. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений
5. Сборник задач по методам вычислений. Под ред. П.И. Монастыр-
ского
6. Дьяконов В.П. Maple 10/9.5 в математике, физике, образовании

1

1

Введение в численные методы

Численные методы

–

методы приближенного решения задач

прикладной математики, основанные на реализации алгоритмов, со-
ответствующих определенным математическим моделям. Раздел ма-
тематики, изучающий численные методы, называется численным ана-
лизом, или вычислительной математикой.

Вычислительные методы начали развиваться еще в античном ми-

ре. Так, например, по итерационной формуле Герона тогда умели
вычислять квадратный корень:

x

n

+1

=

1

2

x

n

+

a

x

n

,

причем

lim

n

→∞

x

n

=

√

a,

x

1

– любое положительное число.

2

Развитие численный методов связано с именами

Л. Эйлера,

И. Ньютона, О.Л. Коши, Ж.Л. Лагранжа, А.М. Лежандра,
П.С. Лапласа, А. Пуанкаре, П.Л. Чебышева, Карла Рунге

и

многих других известных математиков.

В наше время импульсом к развитию вычислительной математики

стали задачи ядерной физики, космонавтики, динамики атмосферы,
термогидрографии, физики плазмы, синергетики, биомеханики, тео-
рии оптимизации, экономики и др.

Специфические особенности вычислительной математики

•

Замена непрерывных объектов дискретными: сетки, сеточные функ-
ции, конечные разности и т.д

•

В машинных вычислениях используются числа с ограниченным
числом знаков после запятой из-за конечности длины мантиссы
числа при представлении числа в памяти ЭВМ. Т.е. в вычислени-
ях присутствует машинная погрешность округления.

3

•

Большое значение имеет обусловленность задачи, т.е. чувстви-
тельность решения к малым изменениям входных данных.

•

В отличие от классической математики выбор вычислительного
алгоритма влияет на результат.

•

Существенную роль играет экономичность вычислительного ал-
горитма, т.е. минимизация числа операций на ЭВМ.

1.1

Числа с плавающей точкой

Вещественные числа, представленные в форме с плавающей точкой,
чаще всего используются при решении расчетных задач на компью-
терах

A

=

±

m

·

γ

n

(1)

Здесь

m

–

мантисса

числа,

γ

– основание системы счисления,

n

–

порядок числа.

4

Если

1

γ

6

m <

1

, то число имеет нормализованную форму. Запись

числа в виде XXX.XX – форма с фиксированной точкой.

В случае системы счисления с основанием

γ

произвольное число

G

будет иметь вид:

G

=

±

0

.g

1

g

2

g

3

...g

k

·

γ

n

(2)

где

g

i

– целые числа, причем

0

6

g

i

6

γ

−

1

Таким образом, подмножество действительных чисел, с которым

работает компьютер, является конечным: оно определяется разряд-
ностью

k

, а также минимальной и максимальной границами порядка

n

1

и

n

2

. Можно показать, что это подмножество содержит

N

= 2(

γ

−

1)(

n

2

−

n

1

+ 1)

γ

k

−

1

+ 1

(3)

чисел.

Наименьшее число называется машинным нулем и равно

G

0

= (

γ

−

1)

γ

n

1

−

1

,

(4)

5