ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 767
Скачиваний: 1
6
И та к
,
0
1
cos
4
x
dE
d
x
λ
ϕ
=
ϕ
πε
;
0
1
sin
4
y
dE
d
x
λ
ϕ
= −
ϕ
πε
.
И спользуя
принц ип
суперпозиц ии
,
на йдем
проекц ии
E
x
и
E
y
для
всего
отрезк а
нити
(
при
ра счете
Е
х
следует
учиты ва ть
,
что
для
отрезк а
нити
,
изобра женного
на
рис
.
ϕ
2
>0,
а
ϕ
1
<0):
(
)
2
1
2
1
0
0
1
1
cos
sin
sin
4
4
x
E
d
x
x
ϕ
ϕ
λ
λ
=
ϕ ϕ =
ϕ −
ϕ
πε
πε
∫
,
(
)
2
1
2
1
0
0
1
1
sin
cos
cos
4
4
y
E
d
x
x
ϕ
ϕ
λ
λ
= −
ϕ ϕ =
ϕ −
ϕ
πε
πε
∫
.
М одуль
иск омой
на пряженности
электрическ ого
поля
отрезк а
нити
определяется
ф ормулой
:
2
2
x
y
E
E
E
=
+
.
Н а пра вление
вектора
E
ur
можно
определить
к а к
tg
x
y
E
E
β =
,
где
β
-
угол
между
осью
Х
и
вектором
E
ur
.
Е сли
отрезок
беск онечны й
,
то
ϕ
1
=
–
π
/2,
ϕ
2
=
π
/2
и
0
2
x
E
E
x
λ
=
=
πε
.
2.
П о
тонк ому
к ольц у
ра диуса
R
ра вномерно
ра спределен
за ряд
q
.
В ы числить
на пряженность
электрическ ого
поля
на
оси
к ольц а
,
к а к
ф унк ц ию
ра сстояния
l
до
его
ц ентра
.
И зобра зить
примерны й
гра ф ик
за висимости
E
(
l
).
О твет
:
3
2
2
2
0
4
(
)
E
ql
R
l
=
πε
+
.
3.
Т онк ий
стержень
А В
длины
l
имеет
за ряд
q
,
ра спределенны й
та к
,
что
его
линейна я
плотность
пропорц иональна
к ва дра ту
ра сстояния
от
к онц а
А
.
Н а йти
на пряженность
электрическ ого
поля
в
точк е
А
.
О твет
:
E
=3
q
/4
πε
0
l
2
.
4.
Т онк ое
полукольц о
радиуса
R
за ряжено
ра вномерно
зарядом
q.
Н а йти
модуль
напряженности
электрическ ого
поля
в
ц ентре
к ривизны
этого
полукольц а
.
О твет
:
E
=
q
/2
π
2
ε
0
R
2
.
5.
Н айти
на пряженность
электрическ ого
поля
в
ц ентре
основа ния
полусф еры
,
за ряженной
ра вномерно
с
поверхностной
плотностью
σ
.
О твет
:
Е
=
σ
/4
ε
0
.
6.
П лоск ость
с
к руглы м
отверстием
ра диуса
R
равномерно
за ряжена
с
поверхностной
плотностью
σ
.
Н айти
на пряженность
Е
электрическ ого
поля
на
7
оси
отверстия
к а к
ф унк ц ию
ра сстояния
l
до
его
ц ентра
.
О твет
:
2
2
0
2
E
l
R
l
= σ
ε
+
.
7.
С истема
состоит
из
тонк ого
за ряженного
проволочного
к ольц а
ра диуса
R
и
очень
длинной
ра вномерно
за ряженной
нити
,
ра сположенной
по
оси
к ольц а
та к
,
что
один
из
ее
к онц ов
совпа да ет
с
ц ентром
к ольц а
.
П оследнее
имеет
заряд
q
.
Н а
единиц у
длины
нити
приходится
за ряд
λ
.
Н а йти
силу
вза имодействия
к ольц а
и
нити
.
О твет
:
E
=
q
λ
/4
πε
0
R.
8.
Д линна я
пряма я
ра вномерно
за ряженна я
нить
имеет
заряд
λ
на
единиц у
длины
.
Н а йти
модуль
и
на пра вление
электрическ ого
поля
в
точк е
,
к отора я
отстоит
от
нити
на
ра сстояние
у
и
на ходится
на
перпендик уляре
к
нити
,
проходящ ем
через
один
из
ее
к онц ов
.
О твет
:
Е
=
λ
2 /4
πε
0
y
.
В ектор
E
ur
на правлен
под
углом
45
0
к
нити
.
9.
Ра вномерно
за ряженна я
нить
,
на
единиц у
длины
к оторой
приходится
за ряд
λ
,
имеет
к онф игура ц ии
,
пок а за нны е
на
рис
.
Н а йти
модуль
на пряженности
электрическ ого
поля
в
точк е
О
для
к онф игура ц ий
а
и
б
.
О твет
:
а
)
Е
=
λ
2 /4
πε
0
R ,
б
)
Е
=0
.
10.
Т онк ий
диск
ра диуса
R
равномерно
за ряжен
с
поверхностной
плотностью
σ
.
Н а йти
модуль
на пряженности
электрическ ого
поля
на
оси
диск а
к ак
ф унк ц ию
расстояния
l
от
его
ц ентра
.
Ра ссмотреть
та к же
случа и
l
→
0
и
l>>R
.
О твет
:
( )
2
0
1 1
1
2
E
R l
= −
+
σ ε
.
П ри
l
→
0
E
=
σ
/2
ε
0
,
при
l>>R
E
≈
q
/4
πε
0
l
2
,
где
q
=
σπ
R
2
.
11.
Д ва
длинны х
тонк их
проводник а
,
ра сположенны х
па ра ллельно
на
ра сстоянии
d
друг
от
друга
,
ра вномерно
заряжены
ра зноименны ми
за ряда ми
с
линейной
плотностью
+
λ
и
-
λ
.
О пределить
на пряженность
поля
Е
в
точк е
,
лежа щ ей
в
плоск ости
симметрии
на
ра сстоянии
х
от
плоск ости
,
в
к оторой
лежа т
проводник и
.
О твет
:
E
=2
λ
/
πε
0
(
d
2
+4
x
2
).
O
R
O
R
a
)
б
)
+
λ
-
λ
d
x
8
З анятие
2.
Ра счет
на пряженности
электроста тическ ого
поля
с
использова нием
теоремы
О строгра дск ого
-
Г а усса
.
П отенц иа л
электроста тическ ого
поля
непреры вно
ра спределенного
за ряда
П ри м ер
реш ени я
за да ч
1.
О пределить
потенц иа л
в
ц ентре
тонк ого
диск а
ра диуса
R
,
равномерно
заряженного
с
поверхностной
плотностью
σ
.
Реш ение
В ы делим
на
диск е
в
произвольном
месте
(
не
в
ц ентре
и
не
на
к ра ю
)
элемента рную
площ а дк у
dS
.
В
полярной
системе
к оордина т
:
dS
=
rd
α
⋅
dr
.
Э лектрическ ий
за ряд
на
этой
площ а дк е
:
dq
=
σ
rd
α
⋅
dr
.
П отенц иа л
электрическ ого
поля
,
созда ва емого
в
ц ентре
диск а
этим
зарядом
определяется
вы ра жением
:
0
4
d
dq
r
ϕ =
πε
,
где
r
-
ра сстояние
от
элемента
до
ц ентра
диск а
В
соответствии
с
принц ипом
суперпозиц ии
потенц иа л
поля
,
созда ва емого
всеми
за ряда ми
диск а
в
его
ц ентре
ра вен
:
2
0
0
0
0
4
2
R
R
d
d
dr
π
σ
σ
ϕ =
ϕ =
α
=
πε
ε
∫
∫ ∫
.
2.
Ш а р
ра диуса
R
имеет
положительны й
за ряд
,
объемна я
плотность
к оторого
за висит
тольк о
от
ра сстояния
r
до
его
ц ентра
к а к
ρ
=
ρ
0
(1
-r
/
R
),
где
ρ
0
-
постоянна я
.
П ренебрегая
влиянием
вещ ества
ш а ра
,
на йти
модуль
напряженности
электрическ ого
поля
внутри
и
вне
ш ара
к ак
ф унк ц ию
r
.
О твет
:
E
(
r
≤
R
)=
ρ
0
r
(1
-
3
r
/4
R
)/3
ε
0
, E
(
r
≥
R
)=
ρ
0
R
3
/12
ε
0
r
2
,
ϕ
(
r
≤
R
)=(
R
2
-
r
2
+r
3
/2
R
)
ρ
0
/6
ε
0
,
ϕ
(
r
≥
R
)=
ρ
0
R
3
/12
ε
0
r
.
3.
Н а йти
на пряженность
электрическ ого
поля
Е
в
обла сти
пересечения
двух
ш а ров
,
ра вномерно
за полненны х
ра зноименны ми
по
зна к у
за рядами
с
объемной
плотностью
ρ
и
-
ρ
,
если
ра сстояние
между
ц ентра ми
ш а ров
ра вно
a
r
.
О твет
:
E
ur
=
a
r
ρ
/3
ε
0
.
4.
В нутри
ш а ра
,
заряженного
ра вномерно
с
объемной
плотностью
ρ
,
имеется
сф ерическ а я
полость
.
Ц ентр
полости
смещ ен
относительно
ц ентра
r
1
r
2
→
→
a
→
+
ρ
-
ρ
9
ш а ра
на
ра сстояние
a
r
.
П ренебрега я
влиянием
вещ ества
ш а ра
,
на йти
на пряженность
Е
поля
внутри
полости
.
О твет
:
E
ur
=
a
r
ρ
/3
ε
0
.
5.
И мею тся
два
тонк их
проволочны х
к ольц а
ра диуса
R
к аждое
,
оси
к оторы х
совпа да ю т
.
За ряды
к олец
ра вны
q
и
–
q
.
Н а йти
ра зность
потенц иалов
между
ц ентрами
к олец
,
отстоящ ими
друг
от
друга
на
ра сстояние
l
.
О твет
:
∆ϕ
=(1
-
1/
( )
2
1
l R
+
)
q
/2
πε
0
R
.
6.
Беск онечно
длинна я
пряма я
нить
за ряжена
ра вномерно
с
линейной
плотностью
λ
.
В ы числить
ра зность
потенц иа лов
точек
1
и
2,
если
точк а
2
на ходится
да льш е
от
нити
,
чем
точк а
1,
в
η
ра з
.
О твет
:
ϕ
1
-
ϕ
2
=(
λ
/2
πε
0
)ln
η
.
7.
Т онк ое
к ольц о
ра диуса
R
имеет
за ряд
q
,
неравномерно
ра спределенны й
по
к ольц у
.
Н айти
работу
электрическ их
сил
при
перемещ ении
точечного
за ряда
q
′
из
ц ентра
к ольц а
по
произвольному
пути
в
точк у
,
на ходящ ую ся
на
оси
к ольц а
на
расстоянии
l
от
его
ц ентра
.
О твет
:
( )
2
0
1 1
1
' 4
A
l R
R
= −
+
πε
.
8.
Т онк ий
диск
ра диуса
R
ра вномерно
за ряжен
с
поверхностной
плотностью
σ
.
Н а йти
потенц иа л
электрическ ого
поля
на
оси
диск а
к а к
ф унк ц ию
ра сстояния
l
от
его
ц ентра
.
Ра ссмотреть
та к же
случа и
l
→
0
и
l
>>
R
.
О твет
:
( )
2
0
1
1
2
R l
l
ϕ =
+
− σ ε
.
П ри
l
→
0
ϕ
=
σ
R
/2
ε
0
,
при
l>>R
ϕ≈
q
/4
πε
0
l
,
где
q
=
σπ
R
2
.
9.
Н а йти
потенц иа л
на
к ра ю
тонк ого
диск а
ра диуса
R
,
по
к оторому
ра вномерно
ра спределен
за ряд
с
поверхностной
плотностью
σ
.
О твет
:
ϕ
=
σ
R
/
πε
0
.
10.
За ряд
q
ра вномерно
распределен
по
объему
ш а ра
ра диуса
R
.
П ренебрега я
влиянием
вещ ества
ш а ра
найти
потенц иа л
:
а
)
в
ц ентре
ш а ра
;
б
)
внутри
ш а ра
к а к
ф унк ц ию
ра сстояния
r
от
его
ц ентра
.
О твет
: a)
ϕ
0
=3
q
/8
πε
0
R
;
б
)
ϕ
=
ϕ
0
(1
-r
2
/3
R
2
)
, r
≤
R.
11.
О пределить
на пряженность
электрическ ого
поля
,
потенц иа л
к оторого
за висит
от
к оордина т
x,y
по
за к ону
:
а
)
ϕ
=
a
(
x
2
-y
2
);
б
)
ϕ
=
axy
,
где
a
-
постоянна я
.
О твет
:
а
)
E
ur
=
-
2
a
(
x i
r
-y j
r
);
б
)
E
ur
=
-a
(
y i
r
+x j
r
)
.
Здесь
i
r
и
j
r
– орты
осей
X
и
Y
.
12.
Н а йти
потенц иа л
следую щ их
электрическ их
полей
:
а
)
E
ur
=
a
(
y i
r
+x j
r
)
;
б
)
E
ur
=2
axy i
r
+a
(
x
2
-y
2
)
j
r
;
в
)
E
ur
=
ay i
r
+
(
ax+bz
)
j
r
+by k
r
.
10
О твет
:
а
)
ϕ
=
-axy+const
;
б
)
ϕ
=
ay
(
y
2
/3
-x
2
)
+const
;
в
)
ϕ
=
-y
(
ax+bz
)
+const
.
Здесь
а
и
b
–
постоянны е
,
i
r
,
j
r
,
k
r
–
орты
осей
X, Y, Z
.
13.
Т ри
плоск опа ра ллельны е
тонк ие
пла стины
,
ра сположенны е
на
ма лом
ра сстоянии
друг
от
друга
,
ра вномерно
за ряжены
.
П оверхностны е
плотности
σ
1
=+3
⋅
10
-8
Кл
/
м
2
,
σ
2
=-
5
⋅
10
-8
Кл
/
м
2
,
σ
3
=+8
⋅
10
-8
Кл
/
м
2
.
Н а йти
на пряженность
поля
в
точк а х
,
лежа щ их
между
пла стина ми
и
с
внеш ней
стороны
.
П остроить
гра ф ик
за висимости
на пряженности
поля
от
ра сстояния
,
вы бра в
за
нача ло
отсчета
положение
первой
пла стины
.
О твет
:
Е
А
=
-
3,4
⋅
10
3
В
/
м
,
Е
В
=0
,
Е
C
=
-
5,6
⋅
10
3
В
/
м
,
Е
D
=3,4
⋅
10
3
В
/
м
.
14.
В
ва к ууме
обра зовалось
ск опление
зарядов
в
ф орме
тонк ого
длинного
ц илиндра
ра диусом
R
с
постоянной
плотностью
ρ
.
Н айти
на пряженность
поля
в
точк а х
,
лежа щ их
внутри
и
вне
ц илиндра
.
О твет
:
E
1
=
ρ
r
/2
ε
0
,
E
2
=
ρ
R
2
/2
ε
0
r
.
З анятие
3.
П роводник и
в
электрическ ом
поле
.
М етод
зерк а льны х
изобра жений
.
Ра счет
электроемк ости
системы
проводник ов
П ри м ер
реш ени я
за да ч
1.
Т очечны й
за ряд
q
на ходится
на
ра сстоянии
l
от
беск онечной
проводящ ей
плоск ости
.
О пределить
на пряженность
E
электрическ ого
поля
вблизи
плоск ости
и
поверхностную
плотность
σ
за рядов
,
индуцирова нны х
на
плоск ости
,
к а к
ф унк ц ию
расстояния
r
от
основа ния
перпендик уляра
,
опущ енного
из
за ряда
на
плоск ость
.
Реш ение
П однесем
к
проводящ ей
плоск ости
за ряд
+
q
.
Н а
плоск ости
индуцируется
некоторое
ра спределение
за ряда
с
поверхностной
плотностью
σ
(
r
).
Н а пряженность
электроста тическ ого
поля
в
пространстве
между
σ
1
σ
2
σ
3
А
B
C
D
.
+q
-q
l
l
r
M
α
проводник
1
E
ur
n
r
2
E
ur
E
ur
E
ur