Файл: Лекция № 2.pdf

Основные понятия теории вероятностей 

Теория  вероятностей

  —  это  раздел  математики,  изучающий 

закономерности  случайных  явлений,  наблюдающиеся  при  массовом 

повторении испытаний.  

Рис. 21. Блез Паскаль (1623 — 1662) — французский математик, 

механик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, 

один из основателей математического анализа, теории вероятностей и 

проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор 

основного закона гидростатики. 

Классическая  теория  вероятностей  зародилась  в  XVII  веке.  Основы 

теории  вероятностей  как  науки  заложили  французские  классики.  Блез 

Паскаль был первым, кто начал применять математику для анализа азартных 

игр. 

В  XVIII  и  в  начале  XIX  вв.  другой  классик,  Пьер-Симон  Лаплас, 

продолжил  изучение  азартных  игр  и  предложил  первое  математическое 

определение  вероятности.  В  своей  основополагающей  работе  по  теории 

вероятностей «Аналитическая теория вероятностей» (“Théorie Analytique des 

Probabilités”), опубликованной в 1812 г., он писал: «Замечательно, что науке, 

которая  начиналась  с  рассмотрения  азартных  игр,  суждено  было  стать 

наиболее  важным  объектом  человеческого  знания…  Ведь  большей  частью 

важнейшие  жизненные  вопросы  являются  на  самом  деле  лишь  задачами  из 

теории вероятностей». 

Рис. 22. Пьер-Симон де Лаплас (1749 —1827) — французский 

математик, механик, физик и астроном; известен работами в области 

небесной механики, дифференциальных уравнений, один из создателей 

теории вероятностей 

Во  второй  половине  XIX  в.  основной  вклад  в  теорию  вероятностей 

внесли русские математики: П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов, а 

в  XX  в.  -  академик  А.  Н.  Колмогоров  и  советская  теоретико-вероятностная 

школа. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический 

вид и окончательно стала признаваться как раздел современной математики. 

Теория 

вероятностей

– 

математическая 

наука, 

изучающая 

закономерности в случайных явлениях. 

Испытанием

  называется  осуществление  на  практике  какого-нибудь 

комплекса условий. 

Событием

  называется  всякое  явление,  о  котором  имеет  смысл 

говорить, что оно происходит или оно не происходит при наличии комплекса 

условий. 

Если событие при реализации определенного комплекса условий может 

произойти,  а  может  и  не  произойти,  то  оно  называется 

случайным

. 

Случайные  события  представляют  собой  различные  возможные  исходы 

испытания. 

Вероятность  события  (Р)

  определяется  как  частота,  с  которой  это 

событие  происходит  в  большой  серии  последовательных  испытаний; 

другими словами, это отношение числа «успехов» (ожидаемых результатов) 

к общему числу испытаний. Таким образом, вероятность – это всегда число, 

лежащее  между  единицей  (событие  происходит  при  каждом  испытании)  и 

нулем (событие не происходит никогда). 

Так,  вероятность  того,  что  при  бросании  кубической  кости  выпадет  6 

очков,  приблизительно  равна  1/6.  Приблизительно,  но  не  точно,  поскольку 

очки  обычно  обозначают  на  гранях  маленькими  углублениями,  а, 

следовательно, грань с 6-ю  углублениями  легче других и поэтому выпадает 

несколько  чаще.  Все  утверждения  относительно  вероятностей,  в  конечном 

счете, основаны на эмпирических данных. Так, мы говорим, что вероятность 

выпадения 6-ти очков равна 1/6 не только потому, что у кости 6 граней, а и 

потому, что при многократном бросании костей 6 очков выпадает примерно в 

1/6 части случаев. 

Считают,  что  события,  имеющие  очень  малую  вероятность,  в 

единичных испытаниях не произойдут, т.е. такие события рассматривают как 

практически невозможные

. Если же вероятность события достаточно велика, 

его принято считать 

практически достоверным

. Этот принцип практической 

уверенности  в  прогнозировании  исходов  случайных  событий  позволяет 

использовать теорию вероятностей в практических целях. 

Если  в  условиях  испытания  появление  одного  события  исключает 

появление других событий, то такие события называются 

несовместимыми

. 

Вероятность, которую можно указать до опыта, называют 

априорной

. В 

некоторых  случаях  результаты  отдельных  испытаний  заранее,  до  опыта, 

предсказать  невозможно;  вероятность  осуществления  таких  событий  может 

быть установлена только после опыта, т.е. 

апостериорно

. 

Основные теоремы теории вероятностей 

Теорема  сложения  вероятностей

: 

Вероятность  суммы  двух 

несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий. 

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) 

(1)

Суммой

  нескольких  событий  называется  событие,  состоящее  в 

появлении хотя бы одного их этих событий. 

Например,  если  из  орудия  произведены  два  выстрела  и 

А 

— 

попадание при первом  выстреле, 

В 

—  попадание  при  втором  выстреле, 

то 

А+В 

— попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих 

выстрелах. 

Теорема  сложения  вероятностей  применима  к  любому  числу 

несовместимых событий. 

Из теоремы сложения вытекает несколько следствий. 

Следствие  1

.  Если  события 

А

1

, 

А

2

,  …

А

n

  образуют  полную  группу 

несовместимых событий, то сумма их вероятностей равна единице: 

1

(

) 1

n

i

i

P A







(2) 

Следствие  2

.  Сумма  вероятностей  противоположных  событий  равна 

единице: 

( )

( ) 1

P A

P A





(3) 

Пример.

  Какова  вероятность  того,  что  при  бросании  игральной  кости 

выпадет четное число очков?  

Решение.  Выпадение  того  или  иного  количества  очков  на  игральной 

кости  –  события  несовместимые.  Из  всех  возможных  исходов  успешными 

могут  считаться  выпадение  2-х,  4-х  или  6-и  очков.  Вероятность  любого  из 

ожидаемых событий составляет 1/6. Таким образом, вероятность выпадения  

четного количества очков составит: Р(четн.)=1/6+1/6+1/6=1/2. 

Теорема  умножения  вероятностей:

Понятие 

независимости  событий

– важное понятие. Определяется оно следующим образом. Пусть имеется два 

события А и В и их вероятности равны Р(А) и Р(В) соответственно. Событие 

А

  называется 

независимым

  от  события 

В

,  если  вероятность  события 

А

  не 

зависит от того, произошло событие 

В

  или  нет. Тогда  вероятность  того, что 

произойдут  оба  события 

Р(А 

и

  В)

,  равна 

Р(А)·Р(В)

.  Другими  словами,  два 

события 

независимы

, если частота, с которой происходят оба события, равна 

произведению частот обоих событий, взятых отдельно. 

Р(АВ) =

Р(А)·Р(В) 

(4). 

Следствие 1

. Если событие 

А

 не зависит от события 

В

, то и событие 

В

не зависит от события 

А

. 

Следствие  2.

  Вероятность  произведения  двух  независимых  событий 

равна произведению вероятностей этих событий. 

Рассмотрим  пример  из  области  генетики.  Вероятность  того,  что 

новорожденный  ребенок  окажется  мальчиком,  примерно  равна  1/2.  В 

действительности доля мальчиков в общем числе новорожденных не всегда и 

не везде одинакова, но чтобы упростить рассуждения, мы будем считать, что 

мальчики составляют ровно 1/2 общего числа новорожденных. 

А какова вероятность того, что в семье с двумя детьми оба мальчики? 

Казалось  бы,  здесь  уместно  следующее  рассуждение:  поскольку  возможно 

три  типа  семей:  1)  два  мальчика;  2)  две  девочки;  3)  один  мальчик  и  одна 

девочка,  то  вероятность  того,  что  в  семье  будет  два  мальчика,  равна  1/3. 

Однако  такое  рассуждение  неправильно,  потому  что  семьи  с  двумя 

разнополыми детьми более вероятны, чем семьи двух других типов. 

В данном случае есть два способа получить правильный ответ. Первый 

из них основан на том, что если учитывать последовательность рождений, то 

число  типов  семей  в  действительности  равно  не  3,  а  4:  мальчик  -  мальчик,